AP Statistics

phân phối chuẩn tắc

standard normal distribution

Còn gọi: z distribution

Phân phối chuẩn tắc là phân phối chuẩn đặc biệt có trung bình bằng 0 và độ lệch chuẩn (standard deviation) bằng 1.

Phân phối chuẩn tắc (standard normal distribution) là trường hợp riêng của phân phối chuẩn, được xây dựng bằng cách chuẩn hóa một biến ngẫu nhiên liên tục bất kỳ về cùng một thang đo thống nhất. Cụ thể, nếu $X$ là biến chuẩn với trung bình $\mu$ và độ lệch chuẩn $\sigma$ , ta biến đổi nó thành biến $Z$ theo công thức $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}.$ Công thức này đo xem một giá trị cách trung bình bao nhiêu lần độ lệch chuẩn, và kết quả thu được luôn có $\mu_Z = 0$ và $\sigma_Z = 1$ . Do đó, mọi bài toán liên quan đến phân phối chuẩn đều có thể quy về tra một bảng duy nhất — bảng $z$ — thay vì tính riêng cho từng bộ tham số $\mu$ và $\sigma$ . Giá trị $z$ thu được gọi là điểm chuẩn hóa và cho biết vị trí tương đối của một quan sát so với toàn bộ phân phối. Cụ thể hơn, $z = 1{,}5$ nghĩa là quan sát đó nằm cao hơn trung bình một rưỡi độ lệch chuẩn; $z = -2$ nghĩa là nó thấp hơn trung bình hai độ lệch chuẩn.

Vì vậy, phân phối chuẩn tắc xuất hiện ở mọi bước của suy luận thống kê trong thực hành. Khi áp dụng định lý giới hạn trung tâm (central limit theorem), trung bình mẫu $\bar{x}$ được chuẩn hóa thành $z$ để tính xác suất hoặc xây dựng khoảng tin cậy. Mặt khác, vì đường cong của phân phối này đối xứng qua $z = 0$ và diện tích toàn bộ dưới đường cong bằng 1, diện tích từ $-\infty$ đến một giá trị $z_0$ chính là xác suất $P(Z \leq z_0)$ mà bảng phân phối chuẩn tắc liệt kê trực tiếp.

Ký hiệu

• $Z \sim N(0,\,1)$
•điểm chuẩn hóa $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$

Trực giác: Hãy nghĩ đến việc đặt các thước đo khác nhau — nhiệt độ, chiều cao, điểm thi — lên cùng một cây thước chung: số 0 là vị trí trung bình, còn mỗi vạch đơn vị là một độ lệch chuẩn.

Công thức

z=\frac{x-\mu}{\sigma}

Dùng khi cần chuyển một giá trị từ phân phối chuẩn bất kỳ sang thang điểm z của phân phối chuẩn tắc có trung bình 0 và độ lệch chuẩn 1, nhằm tra xác suất trên bảng z hoặc máy tính cầm tay.

Trong đó

z

điểm z trên phân phối chuẩn tắc (z-score)

x

giá trị quan sát trong mẫu hoặc tổng thể

\mu

trung bình tổng thể (population mean)

\sigma

độ lệch chuẩn tổng thể (population standard deviation)

Thử nghiệm tương tác

Kéo hai vạch cắt trên trục z — nhìn diện tích đổi theo

Hay hiểu sai

Bảng z cho diện tích bên trái, không phải giá trị p (p-value).

Điểm z không phải là xác suất.

Chỉ nhân đôi diện tích đuôi khi giả thuyết đối là hai phía.

Phân phối chuẩn tắc chỉ là một trường hợp riêng, không phải mọi phân phối hình chuông.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Điểm bài thi chuẩn hoá đầu vào của một trường quốc tế được mô hình hoá bằng phân phối chuẩn với trung bình

\mu = 500

và độ lệch chuẩn (standard deviation)

\sigma = 100

. Một học sinh đạt

640

điểm. Bảng tra cho biết

P(Z \le 1{,}40) = 0{,}9192

aTrong bốn phát biểu sau về phân phối chuẩn tắc, những phát biểu nào đúng? (I) Trung bình bằng $0$ và độ lệch chuẩn bằng $1$ . (II) Mọi giá trị của $Z$ đều không âm. (III) Tổng diện tích dưới đường cong bằng $1$ và đường cong đối xứng qua $0$ . (IV) Chỉ dùng được khi cỡ mẫu lớn hơn $30$ .
bTính điểm chuẩn hoá của học sinh này và tìm tỉ lệ thí sinh có điểm cao hơn 640.

1Bước 1: Xét từng phát biểu ở ý (a) theo đúng định nghĩa. Phân phối chuẩn tắc là phân phối chuẩn đã được dời gốc về

0

và co giãn cho

\sigma = 1

, nên (I) đúng ngay từ định nghĩa. Vì đường cong trải dài về cả hai phía của

0

và một nửa diện tích nằm ở phần âm, phát biểu (II) sai; ngược lại (III) đúng, bởi mọi phân phối xác suất liên tục đều có tổng diện tích bằng

1

và tính đối xứng qua

0

chính là điều cho phép ta viết

P(Z \le -a) = P(Z \ge a)

. Phát biểu (IV) sai vì điều kiện cỡ mẫu là của định lý giới hạn trung tâm (central limit theorem), không phải thuộc tính của bản thân đường cong. Vậy đáp án là (I) và (III).

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · bài “Phân phối chuẩn (Normal)” — khoá AP Statistics

Dẫn tớikiểm định giả thuyết

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

phân phối chuẩnnormal distribution

Khác nhau ở đâuPhân phối chuẩn tắc luôn có trung bình bằng 0 và độ lệch chuẩn bằng 1, còn phân phối chuẩn tổng quát nhận bất kỳ giá trị nào cho hai tham số này

Hay nhầm khihọc sinh tra trực tiếp giá trị x trên bảng z thay vì chuẩn hóa thành z-score trước khi tính xác suất

2Ví dụ 2/2

Ban giám hiệu cho rằng quá nửa học sinh toàn trường ủng hộ việc đổi lịch học sang ca sáng. Một khảo sát ngẫu nhiên trên

n = 250

học sinh thu được

138

em ủng hộ. Người ta kiểm định

H_0: p = 0{,}50

với giả thuyết đối (alternative hypothesis)

H_a: p > 0{,}50

ở mức ý nghĩa (significance level)

\alpha = 0{,}05

. Bảng tra cho

P(Z \le 1{,}64) = 0{,}9495

aTính thống kê kiểm định và giải thích vì sao được dùng phân phối chuẩn tắc ở đây.
bTìm p-value và nêu kết luận trong ngữ cảnh bài toán.

1Bước 1: Trước hết tính tỉ lệ mẫu:

\hat p = \dfrac{138}{250} = 0{,}552

. Điều kiện dùng xấp xỉ chuẩn được thoả vì mẫu là ngẫu nhiên và

np_0 = 250 \times 0{,}50 = 125 \ge 10

n(1-p_0) = 125 \ge 10

. Do đó phân phối lấy mẫu của

\hat p

xấp xỉ chuẩn, và sau khi chuẩn hoá ta được đúng đường cong chuẩn tắc để tra bảng.

2Bước 2: Áp dụng công thức thống kê kiểm định cho một tỉ lệ:

z = \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}.

Mẫu số là độ lệch chuẩn của

\hat p

khi

H_0

đúng:

\sqrt{\dfrac{0{,}50 \times 0{,}50}{250}} = \sqrt{0{,}001} \approx 0{,}0316

. Vậy

z = \dfrac{0{,}552 - 0{,}500}{0{,}0316} = \dfrac{0{,}052}{0{,}0316} \approx 1{,}64

3Bước 3: Vì giả thuyết đối có dấu

>

, p-value là diện tích đuôi phải kể từ

z = 1{,}64

trở đi. Bảng cho diện tích bên trái nên phải lấy phần bù:

\text{p-value} = P(Z \ge 1{,}64) = 1 - 0{,}9495 = 0{,}0505.

Con số này nói rằng nếu thật sự chỉ có

50\%

học sinh ủng hộ, thì khoảng

5{,}05\%

số mẫu cỡ

250

sẽ cho tỉ lệ ủng hộ từ

0{,}552

trở lên.

4Bước 4: So sánh với mức ý nghĩa:

0{,}0505 > 0{,}05

, tuy chỉ hơn một chút nhưng vẫn lớn hơn. Vì vậy ta không bác bỏ (fail to reject)

H_0

. Lưu ý rằng nếu vội vàng lấy

0{,}9495

làm p-value thì kết luận sẽ ngược hẳn; đuôi cần tra luôn phải khớp với chiều của giả thuyết đối.

Thống kê kiểm định là $z \approx 1{,}64$ và p-value bằng $0{,}0505$ . Vì $0{,}0505$ lớn hơn $\alpha = 0{,}05$ , ta không bác bỏ $H_0$ : dữ liệu chưa cung cấp đủ bằng chứng để kết luận rằng quá nửa học sinh toàn trường ủng hộ việc đổi sang ca sáng.