biến ngẫu nhiên rời rạc

Bảng xác suất tích lũy không phải bảng phân bố xác suất.

Cột $P(Y\le y)$ trong phân bố xác suất tích lũy (cumulative probability distribution) cộng dồn mọi giá trị từ nhỏ nhất lên tới $y$, nên nó luôn tăng dần và luôn kết thúc ở $1$. Muốn có xác suất riêng của từng giá trị, phải lấy hiệu hai ô liên tiếp: $P(Y=y)=P(Y\le y)-P(Y\le y-1)$. Với bảng $0;\,0.2;\,0.4;\,0.6;\,0.8;\,1.0$, phép trừ này cho ra năm xác suất bằng nhau, mỗi giá trị $0.2$ — tức phân bố đều chứ không phải một phân bố dồn về phía nào cả.

Đừng đọc hình dạng phân bố từ cột tích lũy.

Cột tích lũy tăng đều từ $0$ lên $1$ ở mọi phân bố, nên nhìn vào đó rồi kết luận lệch trái (skewed to the left) là kết luận từ một thứ không mang thông tin về hình dạng. Hình dạng chỉ hiện ra khi ta vẽ các xác suất riêng $P(Y=y)$ theo từng giá trị. Trong bài phỏng vấn, năm cột đó cao bằng nhau, nên phân bố đối xứng và lời khẳng định của Khaleed sai ngay từ chỗ này.

Kỳ vọng không phải trung bình cộng của các giá trị có thể nhận.

Kỳ vọng (expected value) là trung bình có trọng số, tính bằng $\mu_Y=\sum y_i\,p_i$, trong đó mỗi giá trị được nhân với xác suất của chính nó rồi cộng lại. Học sinh thường cộng $6,7,8,9,10$ rồi chia $5$ và tình cờ ra đúng $8$, nhưng đó là may mắn: cách làm ấy chỉ trùng kết quả khi các xác suất bằng nhau. Chỉ cần một giá trị nặng hơn các giá trị khác, trung bình cộng trần trụi sẽ lệch khỏi $\mu_Y$ ngay. Ngoài ra, $\mu_Y$ không bắt buộc phải là một giá trị mà biến nhận được — số con trung bình $2.3$ là hoàn toàn hợp lệ.

Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên không tính bằng công thức của dữ liệu mẫu.

Ở đây không có $n$ quan sát để chia, mà mỗi độ lệch được cân bằng chính xác suất của nó: $\sigma_Y^2=\sum (y_i-\mu_Y)^2\,p_i$ và $\sigma_Y=\sqrt{\sigma_Y^2}$. Vì vậy, khi bấm máy với danh sách giá trị và danh sách xác suất, con số cần lấy là $\sigma_x$ chứ không phải $S_x$. Lấy nhầm $S_x$ là mất điểm ở những câu hỏi độ lệch chuẩn (standard deviation) của phân bố, dù mọi bước trước đó đều đúng.