AP Statistics

phân phối nhị thứcbinomial distribution

binomial distributionVietnamese: phân phối nhị thức

Còn gọi:Also called: binomial model · mô hình nhị thức · Bin(n, p) · B(n, p) · binomial probability distribution

Phân phối nhị thức là phân phối của số lần thành công trong n phép thử độc lập, mỗi phép thử có hai kết quả với xác suất thành công không đổi.A binomial distribution gives the number of successes in n independent trials, where each trial has two outcomes and a constant probability of success.

Trực giác: Hãy hình dung bạn ném một quả bóng rổ $n$ lần: phân phối nhị thức cho biết xác suất để bạn ghi được đúng $k$ điểm, giả sử mỗi cú ném đều có cùng tỉ lệ vào rổ và không ảnh hưởng lẫn nhau.Intuition: Picture shooting a basketball $n$ times. The binomial distribution tells you the chance of making exactly $k$ shots, assuming every shot has the same chance of going in and no shot affects another.

Công thức chínhKey formula

P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Phân phối nhị thức mô hình hóa biến ngẫu nhiên $X$ đếm số thành công sau đúng $n$ phép thử. Mô hình yêu cầu $n$ cố định, mỗi phép thử chỉ có hai kết quả, xác suất thành công $p$ không đổi và các phép thử độc lập; ký hiệu $X\sim\mathrm{Bin}(n,p)$ . Khác phân phối hình học, nó cố định số phép thử thay vì đếm số lần thử đến thành công đầu tiên.

The binomial distribution models a random variable $X$ that counts the number of successes in exactly $n$ trials. Four conditions must hold: $n$ is fixed, each trial has only two outcomes, the probability of success $p$ stays the same, and the trials are independent; we write $X\sim\mathrm{Bin}(n,p)$ . Unlike the geometric distribution, it fixes the number of trials instead of counting trials until the first success.

Ký hiệuNotation

• $X \sim \text{Bin}(n,\,p)$ hoặc $B(n,\,p)$
•xác suất điểm $P(X=k)$
•kỳ vọng $\mu = np$
•độ lệch chuẩn $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$

• $X \sim \text{Bin}(n,\,p)$ or $B(n,\,p)$
•point probability $P(X=k)$
•expected value $\mu = np$
•standard deviation $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$

Công thức chi tiếtFormula details3 công thức3 formulas

P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

Dùng để tính xác suất có đúng $k$ thành công khi các điều kiện nhị thức được thỏa mãn.Gives the probability of exactly $k$ successes when the binomial conditions are met.

Trong đóWhere

n

số lần thử cố địnhfixed number of trials

k

số lần thành công cần tính xác suất, k \in \{0,1,\dots,n\}number of successes whose probability is being found, k \in \{0,1,\dots,n\}

p

xác suất thành công trong mỗi lần thửprobability of success on each trial

1-p

xác suất thất bại trong mỗi lần thửprobability of failure on each trial

\binom{n}{k}

số tổ hợp chập k của n, bằng

\dfrac{n!}{k!(n-k)!}

number of combinations of n items taken k at a time, equal to

\dfrac{n!}{k!(n-k)!}

\mu_X = np

Dùng để tính kỳ vọng của số lần thành công từ $n$ và $p$ .Gives the expected number of successes from $n$ and $p$ .

Trong đóWhere

\mu_X

giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên Xexpected value of the random variable X

n

số lần thửnumber of trials

p

xác suất thành công mỗi lần thửprobability of success on each trial

\sigma_X = \sqrt{np(1-p)}

Dùng để tính độ lệch chuẩn, tức mức dao động của số thành công quanh kỳ vọng trong mô hình nhị thức.Gives the standard deviation, which measures how much the number of successes varies around the mean in a binomial model.

Trong đóWhere

\sigma_X

độ lệch chuẩn của Xstandard deviation of X

n

số lần thửnumber of trials

p

xác suất thành côngprobability of success

1-p

xác suất thất bạiprobability of failure

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Kỳ vọng không phải kết quả của một mẫu và không cần là số nguyên.

Đó là trung bình dài hạn của số thành công qua nhiều lần lặp; làm tròn sẽ đổi đại lượng cần diễn giải.

“Thành công” phải khớp với biến đang được đếm.

Nếu biến đếm trường hợp không có đặc điểm, $p$ phải là xác suất không có đặc điểm; dùng xác suất bù sẽ làm sai kỳ vọng và độ lệch chuẩn.

Phân phối nhị thức không đếm thời gian chờ đến thành công đầu tiên.

Nó cố định $n$ rồi đếm số thành công; phân phối hình học đếm số phép thử đến thành công đầu tiên. Với mẫu không hoàn lại, phải kiểm tra điều kiện 10% trước khi dùng mô hình nhị thức.

The expected value is not the outcome of one sample and need not be a whole number.

It is the long-run average number of successes over many repetitions, and rounding it changes the quantity you are supposed to interpret.

"Success" must match the characteristic the variable actually counts.

If the variable counts cases without the characteristic, $p$ is the probability of not having it; using the complement throws off both the mean and the standard deviation.

The binomial distribution does not count the wait until the first success.

It fixes $n$ and counts successes, while the geometric distribution counts trials up to the first success; for sampling without replacement, check the 10% condition before using a binomial model.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Ghi $n$ , $p$ và xác suất cần tìm trước khi tính.

Trong bài tự luận, phần thiết lập phải nêu biến có phân phối nhị thức và đại lượng cần tính; đừng chỉ chép kết quả máy tính.

Phân biệt “bằng”, “nhiều nhất” và “ít nhất”.

“Bằng” là xác suất tại một giá trị; “nhiều nhất” là xác suất tích lũy; “ít nhất $k$ ” có thể tính bằng $1-P(X\le k-1)$ .

Write down $n$ , $p$ , and the probability you want before computing anything.

On free-response questions the setup must name the variable as binomial and state the quantity being found — don't just copy a calculator output.

Distinguish "exactly," "at most," and "at least." "Exactly" is the probability at a single value, "at most" is a cumulative probability, and "at least $k$ " can be found as $1-P(X\le k-1)$ .

Tần suất trong đề AP StatisticsHow often it shows up on AP StatisticsThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1713Jakob BernoulliAbraham de Moivre

Năm 1713, chứng minh của Jakob Bernoulli được công bố sau khi ông mất để tính xác suất đúng

k

thành công trong các phép thử lặp độc lập.

In 1713, Jakob Bernoulli's proof for the probability of exactly

k

successes in repeated independent trials was published after his death.

Vì sao mang đúng cái tên này? Cái tên nghe như tên một hằng đẳng thức đại số, và đúng là như vậy. Bernoulli chỉ ra rằng xác suất có $k$ lần thành công trong $n$ lần lặp bằng đúng số hạng thứ $k$ (đếm từ số hạng thứ 0) trong khai triển của biểu thức nhị thức $(p+q)^n$ , với $q=1-p$ . Toàn bộ dãy xác suất của biến đếm số lần thành công chính là dãy các số hạng của khai triển ấy, nên phân phối được gọi theo tên của biểu thức sinh ra nó. Cũng vì lý do đó mà hệ số $\binom{n}{k}$ trong công thức mang tên hệ số nhị thức (binomial coefficient), còn mỗi lần thử riêng lẻ với hai kết quả thành công — thất bại được gọi là phép thử Bernoulli (Bernoulli trial) để ghi công người đã dựng nên mô hình.

Nguồn đối chiếuSources

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Chạy 500 lượt, mỗi lượt 45 người — xem đống chấm dồn quanh vạch trung bình

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termPhân phối nhị thứcXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · khoácourse AP Statistics

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termBiến ngẫu nhiên & phân phối xác suấtXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · khoácourse AP Statistics

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTham số của biến ngẫu nhiên: kỳ vọng và độ lệch chuẩnXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · khoácourse AP Statistics

Cần trướcLearn firstbiến ngẫu nhiên rời rạcdiscrete random variable biến cố độc lậpindependent events

Dẫn tớiLeads tokiểm định giả thuyếthypothesis testing

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

bối cảnh phân phối hình họcgeometric setting

Khác nhau ở đâuHow they differPhân phối nhị thức đếm số lần thành công trong n phép thử cố định; phân phối hình học đếm số phép thử cần thiết để đạt được thành công đầu tiên.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho một dãy phép thử Bernoulli và hỏi xác suất của biến cố liên quan đến 'lần thành công thứ nhất' — học sinh dễ nhầm công thức nhị thức thay vì công thức hình học.

phân phối mẫu (của một thống kê)sampling distribution of a statistic

Khác nhau ở đâuHow they differPhân phối nhị thức mô tả xác suất của từng giá trị cụ thể của biến ngẫu nhiên X; phân phối mẫu mô tả sự biến thiên của một thống kê (như tỉ lệ mẫu) qua nhiều mẫu lặp lại.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề hỏi về phân phối của tỉ lệ mẫu p̂ — học sinh nhầm giữa phân phối nhị thức của tổng số thành công X và phân phối mẫu của p̂ = X/n.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 13, 36, 60.