Đang tải bài học…

AP Statistics

phân phối nhị thức

binomial distribution

Còn gọi: binomial model · mô hình nhị thức · Bin(n, p) · B(n, p) · binomial probability distribution

Phân phối nhị thức là phân phối của số lần thành công trong n phép thử độc lập, mỗi phép thử có hai kết quả với xác suất thành công không đổi.

Phân phối nhị thức mô tả hành vi của một biến ngẫu nhiên (random variable) đếm số lần thành công khi lặp lại một thí nghiệm có hai kết quả — thành công hoặc thất bại — đúng $n$ lần. Để áp dụng mô hình này, bốn điều kiện sau phải được thỏa mãn đồng thời: số phép thử $n$ cố định trước, mỗi phép thử chỉ cho một trong hai kết quả, xác suất thành công $p$ giữ nguyên qua mọi phép thử, và các phép thử độc lập với nhau. Khi cả bốn điều kiện cùng hội đủ, ta nói biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối $\text{Bin}(n,\,p)$ .

Xác suất để $X$ nhận đúng giá trị $k$ lần thành công được tính bằng công thức:

$P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^{k}(1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n$

Trong đó $\binom{n}{k}$ là số cách chọn $k$ vị trí thành công từ $n$ phép thử, $p^k$ là xác suất của $k$ lần thành công liên tiếp, còn $(1-p)^{n-k}$ là xác suất của $n-k$ lần thất bại còn lại. Nói cách khác, công thức nhân xác suất của một kịch bản cụ thể với số kịch bản có cùng kết quả.

Từ công thức trên suy ra hai tham số tóm tắt phân phối: kỳ vọng $\mu = np$ và độ lệch chuẩn (standard deviation) $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ . Vì vậy, nếu tung một đồng xu lệch với $p = 0{,}6$ đúng $20$ lần thì số mặt ngửa kỳ vọng là $12$ và độ lệch chuẩn xấp xỉ $2{,}19$ . Khi $n$ đủ lớn sao cho $np \geq 10$ và $n(1-p) \geq 10$ , phân phối nhị thức xấp xỉ tốt bằng phân phối chuẩn, tạo cầu nối sang các phương pháp suy luận thống kê về tỉ lệ.

Ký hiệu

• $X \sim \text{Bin}(n,\,p)$ hoặc $B(n,\,p)$
•xác suất điểm $P(X=k)$
•kỳ vọng $\mu = np$
•độ lệch chuẩn $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$

Trực giác: Hãy hình dung bạn ném một quả bóng rổ $n$ lần: phân phối nhị thức cho biết xác suất để bạn ghi được đúng $k$ điểm, giả sử mỗi cú ném đều có cùng tỉ lệ vào rổ và không ảnh hưởng lẫn nhau.

Công thức

P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

Dùng khi đếm số lần thành công trong n phép thử độc lập, mỗi phép thử chỉ có hai kết quả và xác suất thành công p không đổi qua các lần.

Trong đó

n

số lần thử cố định

k

số lần thành công cần tính xác suất, k \in \{0,1,\dots,n\}

p

xác suất thành công trong mỗi lần thử

1-p

xác suất thất bại trong mỗi lần thử

\binom{n}{k}

số tổ hợp chập k của n, bằng

\dfrac{n!}{k!(n-k)!}

\mu_X = np

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1713Jakob BernoulliAbraham de Moivre

Phân phối này do nhà toán học Thụy Sĩ Jakob Bernoulli tìm ra, với chứng minh được công bố sau khi ông mất trong cuốn Ars Conjectandi năm 1713. Nó trả lời câu hỏi: lặp đi lặp lại cùng một phép thử với xác suất thành công không đổi thì khả năng thu được đúng

k

lần thành công là bao nhiêu.

Lý thuyết xác suất khởi đầu từ những câu hỏi về trò chơi may rủi mà Antoine Gombaud đặt ra cho Blaise Pascal năm 1654 và được chuyển tiếp cho Fermat. Trên nền đó, Bernoulli chuyển sự chú ý từ một ván bạc đơn lẻ sang chuỗi nhiều lần thử độc lập giống hệt nhau, và tính được xác suất của đúng $k$ lần thành công trong $n$ lần lặp. Ông còn muốn chứng minh rằng khi quan sát càng nhiều thì tần số tương đối càng tiến gần giá trị lý thuyết — chính là ý tưởng dẫn tới định luật số lớn (law of large numbers). Vì tính tay với $n$ lớn quá nặng, Abraham de Moivre về sau đưa ra xấp xỉ bằng đường cong chuẩn trong The Doctrine of Chances (1738), lần đầu tiên phân phối chuẩn được dùng.

Thử nghiệm tương tác

Chạy 500 lượt, mỗi lượt 45 người — xem đống chấm dồn quanh vạch trung bình

Hay hiểu sai

Trung bình của phân phối nhị thức không phải số thành công của một mẫu cụ thể.

Trung bình không nhất thiết là số nguyên, đừng làm tròn thành 3 người.

Phải xác định "thành công" theo đúng biến mà đề định nghĩa.

Nhị thức đếm số thành công trong $n$ lần cố định; đừng lẫn với phân phối hình học.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Tại một vùng dân cư, 94% người dân mang một đặc điểm nhất định trong máu. Người ta chọn ngẫu nhiên 45 người trong vùng này. Gọi

B

là số người trong mẫu không mang đặc điểm đó. Dân số của vùng lớn hơn nhiều so với 45.

aGiải thích vì sao $B$ có thể xem là tuân theo phân phối nhị thức, và chỉ rõ hai tham số của phân phối.
bTính trung bình và độ lệch chuẩn của $B$ , rồi diễn giải ý nghĩa của trung bình trong ngữ cảnh bài toán.
cTính xác suất trong mẫu có đúng 2 người không mang đặc điểm.

1Bước 1: Ta kiểm tra bốn điều kiện của mô hình nhị thức. Mỗi người được chọn cho đúng hai kết quả (mang hoặc không mang đặc điểm); số lần thử cố định là

n=45

; xác suất "không mang đặc điểm" giữ nguyên

p=1-0.94=0.06

ở mọi lần; và vì dân số của vùng lớn hơn rất nhiều so với cỡ mẫu nên các lần chọn coi như độc lập, thỏa điều kiện 10%. Do đó biến ngẫu nhiên (random variable)

B

có phân phối nhị thức với

n=45

và

p=0.06

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · bài “Phân phối nhị thức” — khoá AP Statistics

Cần trướcbiến ngẫu nhiên rời rạc

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

bối cảnh phân phối hình họcgeometric setting

Khác nhau ở đâuPhân phối nhị thức đếm số lần thành công trong n phép thử cố định; phân phối hình học đếm số phép thử cần thiết để đạt được thành công đầu tiên.

Hay nhầm khiĐề cho một dãy phép thử Bernoulli và hỏi xác suất của biến cố liên quan đến 'lần thành công thứ nhất' — học sinh dễ nhầm công thức nhị thức thay vì công thức hình học.

phân phối mẫu (của một thống kê)sampling distribution of a statistic

Khác nhau ở đâuPhân phối nhị thức mô tả xác suất của từng giá trị cụ thể của biến ngẫu nhiên X; phân phối mẫu mô tả sự biến thiên của một thống kê (như tỉ lệ mẫu) qua nhiều mẫu lặp lại.

Hay nhầm khiĐề hỏi về phân phối của tỉ lệ mẫu p̂ — học sinh nhầm giữa phân phối nhị thức của tổng số thành công X và phân phối mẫu của p̂ = X/n.

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 13, 36, 60.

Tính giá trị kỳ vọng (expected value) của số lần thành công khi biết n và p.

Trong đó

\mu_X

giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X

n

số lần thử

p

xác suất thành công mỗi lần thử

\sigma_X = \sqrt{np(1-p)}

Tính độ lệch chuẩn (standard deviation) của phân phối nhị thức; đo mức độ dao động của số lần thành công quanh giá trị kỳ vọng.

Trong đó

\sigma_X

độ lệch chuẩn của X

n

số lần thử

p

xác suất thành công

1-p

xác suất thất bại

Vì sao mang đúng cái tên này? Cái tên nghe như tên một hằng đẳng thức đại số, và đúng là như vậy. Bernoulli chỉ ra rằng xác suất có $k$ lần thành công trong $n$ lần lặp bằng đúng số hạng thứ $k$ (đếm từ số hạng thứ 0) trong khai triển của biểu thức nhị thức $(p+q)^n$ , với $q=1-p$ . Toàn bộ dãy xác suất của biến đếm số lần thành công chính là dãy các số hạng của khai triển ấy, nên phân phối được gọi theo tên của biểu thức sinh ra nó. Cũng vì lý do đó mà hệ số $\binom{n}{k}$ trong công thức mang tên hệ số nhị thức (binomial coefficient), còn mỗi lần thử riêng lẻ với hai kết quả thành công — thất bại được gọi là phép thử Bernoulli (Bernoulli trial) để ghi công người đã dựng nên mô hình.

Chạy 500 lượt, mỗi lượt 45 người — xem đống chấm dồn quanh vạch trung bình

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mẹo phòng thi

Câu diễn giải trung bình phải có ba thành phần: giá trị, đơn vị, và cụm "trong dài hạn".

Viết ra $n$ , $p$ và ký hiệu xác suất trước khi bấm máy tính.

Phân biệt "đúng bằng", "nhiều nhất" và "ít nhất" trước khi chọn lệnh.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

2Bước 2: Áp dụng hai công thức tham số

\mu=np

và

\sigma=\sqrt{np(1-p)}

\mu_B=45(0.06)=2.7,\qquad \sigma_B=\sqrt{45(0.06)(0.94)}=\sqrt{2.538}\approx 1.593.

Trung bình cho biết tâm của phân phối, còn độ lệch chuẩn (standard deviation) đo mức dao động điển hình của số người không mang đặc điểm quanh con số 2.7.

3Bước 3: Khi diễn giải trung bình, phải nói về việc lặp lại phép chọn mẫu chứ không nói về một mẫu duy nhất. Cách diễn đạt đúng là: nếu lấy rất nhiều mẫu ngẫu nhiên, mỗi mẫu gồm 45 người từ vùng này, thì trung bình mỗi mẫu sẽ có khoảng 2.7 người không mang đặc điểm. Câu "mẫu này chắc chắn có 2.7 người" là sai, vì số người phải là số nguyên và mỗi mẫu cho một kết quả khác nhau.

4Bước 4: Với

k=2

, dùng công thức xác suất nhị thức

P(B=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.

Ở đây

\binom{45}{2}=990

là hệ số nhị thức (binomial coefficient), đếm số cách chọn ra 2 người trong 45 người để họ là hai người không mang đặc điểm.

5Bước 5: Thay số:

P(B=2)=990\,(0.06)^2(0.94)^{43}=990(0.0036)(0.06990)\approx 0.249

. Trên máy tính có thể bấm binompdf(45, 0.06, 2) và nhận cùng kết quả 0.249.

Vì số lần chọn cố định, hai kết quả, xác suất không đổi và các lần chọn độc lập nên $B$ tuân theo phân phối nhị thức với $n=45$ , $p=0.06$ . Trung bình $\mu_B=2.7$ người và độ lệch chuẩn $\sigma_B\approx 1.593$ người; nghĩa là qua rất nhiều mẫu ngẫu nhiên cỡ 45 người, trung bình mỗi mẫu có khoảng 2.7 người không mang đặc điểm. Xác suất một mẫu có đúng 2 người như vậy xấp xỉ $0.249$ , tức khoảng 24.9%.

2Ví dụ 2/2

Một công ty giống cây trồng công bố rằng mỗi hạt giống của họ nảy mầm với xác suất 0.9, độc lập với các hạt khác. Một người nông dân gieo 20 hạt lấy ngẫu nhiên từ lô hàng. Gọi

X

là số hạt nảy mầm trong 20 hạt đó.

aTính và diễn giải trung bình cùng độ lệch chuẩn của $X$ .
bTính xác suất có ít nhất 19 hạt nảy mầm.
cNgười nông dân chỉ thấy 15 hạt nảy mầm. Kết quả này có đủ bất thường để nghi ngờ lời công bố của công ty không?

1Bước 1: Số hạt gieo cố định là

n=20

, mỗi hạt chỉ có hai khả năng nảy mầm hoặc không, xác suất nảy mầm giữ nguyên

p=0.9

và các hạt độc lập theo giả thiết. Vì vậy

X

có phân phối nhị thức với

n=20

và

p=0.9

, và ta được phép dùng các công thức tham số của mô hình này.

2Bước 2: Tính hai tham số:

\mu_X=20(0.9)=18,\qquad \sigma_X=\sqrt{20(0.9)(0.1)}=\sqrt{1.8}\approx 1.342.

Nếu lặp lại việc gieo 20 hạt rất nhiều lần thì trung bình mỗi lần có khoảng 18 hạt nảy mầm, và số hạt nảy mầm của từng lần thường lệch khỏi 18 khoảng 1.342 hạt.

3Bước 3: Biến cố "ít nhất 19 hạt nảy mầm" gồm hai trường hợp rời nhau là

X=19

và

X=20

, nên

P(X\ge 19)=P(X=19)+P(X=20)

. Ta tính lần lượt:

P(X=20)=(0.9)^{20}\approx 0.1216

và

P(X=19)=\binom{20}{19}(0.9)^{19}(0.1)=20(0.13509)(0.1)\approx 0.2702

4Bước 4: Cộng lại được

P(X\ge 19)\approx 0.1216+0.2702=0.392

. Trên máy tính, kết quả này tương ứng với 1 − binomcdf(20, 0.9, 18), cũng cho khoảng 0.392.

5Bước 5: Để đánh giá mức bất thường của kết quả 15 hạt, ta không tính

P(X=15)

mà tính xác suất của kết quả đó hoặc tệ hơn, tức

P(X\le 15)

. Cộng các xác suất từ

k=16

đến

k=20

được

0.0898+0.1901+0.2852+0.2702+0.1216=0.9568

, do đó

P(X\le 15)=1-0.9568\approx 0.043

6Bước 6: Xác suất 0.043 nhỏ hơn ngưỡng quen thuộc 0.05, nghĩa là nếu lời công bố đúng thì việc chỉ có 15 hạt trở xuống nảy mầm chỉ xảy ra khoảng 4.3% số lần gieo. Kết quả 15 hạt nằm cách trung bình khoảng

(15-18)/1.342\approx -2.24

độ lệch chuẩn, cùng chỉ về một hướng: đây là kết quả khá hiếm dưới giả thiết

p=0.9

Với $n=20$ và $p=0.9$ , trung bình là 18 hạt và độ lệch chuẩn xấp xỉ 1.342 hạt, tức qua nhiều lần gieo 20 hạt thì trung bình mỗi lần khoảng 18 hạt nảy mầm. Xác suất có ít nhất 19 hạt nảy mầm là khoảng 0.392. Vì $P(X\le 15)\approx 0.043$ chỉ vào cỡ 4.3%, kết quả 15 hạt là bằng chứng đủ mạnh để người nông dân nghi ngờ rằng tỉ lệ nảy mầm thực tế thấp hơn 0.9 như công ty công bố.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.