Đang tải bài học…

AP Statistics

phân phối mẫu (của một thống kê)

sampling distribution of a statistic

Còn gọi: sampling distribution · phân bố mẫu · phân phối lấy mẫu

Phân phối mẫu của một thống kê là phân phối các giá trị mà thống kê đó nhận được khi lấy mọi mẫu cùng cỡ n từ cùng một tổng thể.

Khi lấy một mẫu ngẫu nhiên và tính trung bình mẫu $\bar{x}$ , mỗi lần lấy lại cho một con số khác. Hãy tưởng tượng ta lặp lại việc này cho tất cả các mẫu có cùng cỡ $n$ từ cùng một tổng thể rồi ghi lại giá trị trung bình của từng mẫu: tập các giá trị đó tạo thành một biến ngẫu nhiên (random variable), và phân phối của nó chính là phân phối mẫu của thống kê (statistic) đang xét. Vì tổng thể chỉ có một nhưng mỗi mẫu lại cho một ước lượng riêng, ta cần một công cụ để mô tả sự dao động ấy, và phân phối mẫu chính là công cụ đó.

Giống mọi phân phối xác suất, phân phối mẫu có trung tâm và độ phân tán. Trung tâm của phân phối mẫu của $\bar{x}$ bằng đúng trung bình tổng thể: $\mu_{\bar{x}} = \mu$ ; do đó, một ước lượng được gọi là không chệch nếu trung tâm phân phối mẫu của nó trùng với tham số cần ước lượng. Độ phân tán được đo bằng sai số chuẩn (standard error):

$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Công thức này nói rằng trung bình mẫu dao động quanh $\mu$ với độ lệch nhỏ dần theo căn bậc hai của cỡ mẫu, vì vậy mẫu càng lớn thì ước lượng càng ổn định.

Hình dạng của phân phối mẫu là thứ làm nên sức mạnh của suy luận thống kê. Theo định lý giới hạn trung tâm (central limit theorem), khi $n$ đủ lớn, phân phối mẫu của $\bar{x}$ xấp xỉ phân phối chuẩn ngay cả khi bản thân tổng thể không chuẩn. Ngược lại, với mẫu nhỏ lấy từ tổng thể lệch mạnh, xấp xỉ này có thể kém chính xác, nên các kết luận rút ra từ khoảng tin cậy hoặc kiểm định giả thuyết cần được xem xét thận trọng hơn.

Ký hiệu

\bar{x}

\hat{p}

\mu_{\bar{x}}

\sigma_{\bar{x}}

n

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

phân phối xác suất (probability distribution)probability distribution

Khác nhau ở đâuPhân phối xác suất mô tả giá trị của một biến ngẫu nhiên trong một lần quan sát, còn phân phối mẫu mô tả giá trị của một thống kê tính từ nhiều mẫu lặp lại

Hay nhầm khiđề hỏi về độ lệch chuẩn của

\bar{x}

, học sinh hay dùng độ lệch chuẩn của quần thể thay vì sai số chuẩn

\sigma/\sqrt{n}

phân phối lấy mẫu của trung bình mẫu (sampling distribution of sample means)sampling distribution of sample means

Khác nhau ở đâuPhân phối lấy mẫu của trung bình mẫu là trường hợp riêng khi thống kê được chọn là trung bình, còn phân phối mẫu của một thống kê là khái niệm tổng quát áp dụng cho bất kỳ thống kê nào

Hay nhầm khiđề dùng thống kê là tỉ lệ hoặc phương sai nhưng học sinh vẫn áp công thức dành riêng cho trung bình mẫu

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 334.

Công thức

\htmlClass{fp-0}{\mu_{\bar{x}}} = \htmlClass{fp-1}{\mu}

Dùng để khẳng định trung bình mẫu (sample mean) là ước lượng không chệch (unbiased estimator) của trung bình tổng thể. Công thức này đúng với mọi cỡ mẫu n.

Trong đó

\mu_{\bar{x}}

trung bình của phân phối mẫu của trung bình mẫu

\mu

trung bình của tổng thể

\htmlClass{fp-0}{\sigma_{\bar{x}}} = \htmlClass{fp-2}{\frac{\htmlClass{fp-1}{\sigma}}{\sqrt{n}}}

Dùng để tính độ phân tán của phân phối mẫu khi tổng thể có độ lệch chuẩn σ đã biết và mẫu được chọn ngẫu nhiên. Công thức yêu cầu điều kiện độc lập: cỡ mẫu n phải nhỏ hơn 10% tổng thể (quy tắc 10%).

Trong đó

\sigma_{\bar{x}}

độ lệch chuẩn của phân phối mẫu (sai số chuẩn của trung bình mẫu)

\sigma

độ lệch chuẩn của tổng thể

n

cỡ mẫu

Khái niệm này sinh ra từ đâu

Girolamo Ghilini — người đưa ra từ "statistic" năm 1589Gottfried Achenwall — người dùng từ này theo nghĩa hiện đại từ 1749John Graunt — tác giả công trình thống kê sớm ở châu Âu, 1663

Phân phối mẫu của một thống kê là khái niệm nền của thống kê suy diễn (inferential statistics): nó mô tả cách một đại lượng tính từ mẫu thay đổi khi ta lấy đi lấy lại các mẫu cùng cỡ từ cùng một tổng thể. Bản thân chữ "thống kê" trong tên gọi có gốc xa hơn nhiều, đi từ tiếng Latinh "status" qua các học giả châu Âu thế kỷ 16–18.

Hãy hình dung một bể cá giống sắp được thả xuống hồ và người ta muốn biết chiều dài trung bình của cả bể. Đo hết từng con thì quá tốn công, nên chỉ hai mươi con được bắt ngẫu nhiên và trung bình mẫu được dùng để ước lượng trung bình tổng thể. Vấn đề nảy sinh ngay lập tức: nếu bắt hai mươi con khác thì con số thu được sẽ khác. Chính nhu cầu mô tả cái "khác" ấy một cách có quy luật đã sinh ra phân phối mẫu, thứ trả lời câu hỏi trung bình mẫu thường lệch khỏi trung bình tổng thể bao nhiêu. Từ đó sai số chuẩn (standard error) trở thành thước đo cho khoảng cách này.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi gồm hai phần và mỗi phần đều nói lên một điều. Phần "thống kê" bắt nguồn từ chữ Latinh "status" nghĩa là tình trạng, hoàn cảnh của xã hội; đến giai đoạn Latinh muộn nó mang nghĩa "nhà nước", rồi được Achenwall chuyển thành từ Đức "statistik", tức bản tóm lược tình hình quốc gia. Ban đầu đây là công việc của người cai trị muốn nắm dân số và tài sản, chứ chưa dính gì đến xác suất. Từ này vào tiếng Anh khoảng năm 1770 và mang nghĩa toán học như ngày nay từ thập niên 1790. Phần "mẫu" mới là chỗ dễ hiểu nhầm nhất. Phân phối này không phải phân phối của các cá thể trong một mẫu, mà là phân phối của những con số tính được từ toàn bộ các mẫu cùng cỡ có thể lấy ra. Nói cách khác, đơn vị được đem đi đếm không còn là từng quan trắc mà là từng mẫu, và mỗi mẫu đóng góp đúng một giá trị. Vì vậy đây là một phân phối lý thuyết (theoretical distribution): ta hầu như không bao giờ lấy hết mọi mẫu, ta chỉ lập luận về việc điều gì sẽ xảy ra nếu làm như thế. Cách đặt tên cũng giải thích vì sao mỗi thống kê lại có phân phối mẫu riêng của nó. Trung bình mẫu, trung vị mẫu, độ lệch chuẩn (standard deviation) mẫu hay hệ số tương quan mẫu đều là những hàm khác nhau của dữ liệu, nên chúng dao động theo những kiểu khác nhau. Do đó trong đề thi, cụm "of a statistic" luôn cần được đọc kỹ để biết đang nói về đại lượng nào.

Nguồn đối chiếu

Hay hiểu sai

Phân phối mẫu không phải phân phối của dữ liệu trong một mẫu.

Định lý giới hạn trung tâm không làm cho tổng thể trở nên chuẩn.

Sai số chuẩn nhỏ đi khi cỡ mẫu tăng, còn độ lệch chuẩn của tổng thể thì không.

Phân phối mẫu là khái niệm lý thuyết, không phải kết quả của vài lần lấy mẫu thật.

Mẹo phòng thi

Luôn viết rõ ba chữ "phân phối mẫu của…" kèm tên thống kê.

Kiểm tra điều kiện phải kèm số, không chỉ kèm tên.

Trước khi tính xác suất, hỏi ngay: bài đang nói về một cá thể hay về trung bình mẫu?

Tần suất trong đề AP StatisticsHay gặp

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một lớp học phụ đạo chỉ có 4 học sinh, và số giờ tự học trong tuần của các em lần lượt là 2, 4, 6, 8 giờ. Xem đây là toàn bộ tổng thể. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 2 trong 4 học sinh (chọn không hoàn lại, mọi bộ đôi có cùng khả năng được chọn) rồi tính số giờ tự học trung bình của hai em được chọn, ký hiệu là

\bar{x}

aLiệt kê mọi mẫu cỡ 2 có thể có và lập phân phối mẫu của $\bar{x}$ .
bTính trung bình của phân phối mẫu vừa lập và so sánh với trung bình tổng thể $\mu$ . Kết quả này nói lên điều gì về $\bar{x}$ ?
cTính xác suất để trung bình mẫu đạt từ 6 giờ trở lên.

1Bước 1: Đếm số mẫu có thể có. Vì chọn 2 trong 4 phần tử mà không quan tâm thứ tự, số mẫu là

\binom{4}{2}=6

, và mỗi mẫu có xác suất được chọn bằng nhau là

1/6

. Sáu mẫu đó là

\{2,4\},\{2,6\},\{2,8\},\{4,6\},\{4,8\},\{6,8\}

2Bước 2: Tính

\bar{x}

cho từng mẫu:

\frac{2+4}{2}=3

\frac{2+6}{2}=4

\frac{2+8}{2}=5

\frac{4+6}{2}=5

\frac{4+8}{2}=6

\frac{6+8}{2}=7

. Gom các giá trị trùng nhau lại, ta được phân phối mẫu:

P(\bar{x}=3)=\tfrac{1}{6}

P(\bar{x}=4)=\tfrac{1}{6}

P(\bar{x}=5)=\tfrac{2}{6}

P(\bar{x}=6)=\tfrac{1}{6}

P(\bar{x}=7)=\tfrac{1}{6}

. Tổng các xác suất bằng

1

, nên bảng phân phối hợp lệ.

3Bước 3: Tính trung bình của phân phối mẫu bằng cách lấy trung bình của sáu giá trị

\bar{x}

\frac{3+4+5+5+6+7}{6}=\frac{30}{6}=5

. Trong khi đó trung bình tổng thể là

\mu=\frac{2+4+6+8}{4}=\frac{20}{4}=5

. Hai số bằng nhau, tức là

\mu_{\bar{x}}=\mu

4Bước 4: Diễn giải kết quả ở Bước 3. Vì trung bình của tất cả các giá trị

\bar{x}

đúng bằng tham số cần ước lượng, ta nói

\bar{x}

là một ước lượng không chệch (unbiased estimator) của

\mu

. Điều này không có nghĩa mỗi mẫu đều cho kết quả đúng — mẫu

\{2,4\}

lệch xuống còn mẫu

\{6,8\}

lệch lên — mà chỉ nghĩa là các sai lệch triệt tiêu nhau về lâu dài.

5Bước 5: Trả lời câu (c) bằng cách cộng xác suất của các giá trị thỏa mãn:

P(\bar{x}\ge 6)=P(\bar{x}=6)+P(\bar{x}=7)=\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{6}=\tfrac{2}{6}\approx 0{,}333

Phân phối mẫu của $\bar{x}$ nhận các giá trị 3, 4, 5, 6, 7 với xác suất lần lượt $\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{6},\tfrac{2}{6},\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{6}$ . Trung bình của phân phối này bằng 5 giờ, đúng bằng trung bình tổng thể, nên trung bình mẫu là ước lượng không chệch cho số giờ tự học trung bình của cả lớp. Xác suất giáo viên chọn được cặp học sinh có số giờ tự học trung bình từ 6 giờ trở lên là khoảng $0{,}333$ .

2Ví dụ 2/2

Tại một thành phố có 40 000 hộ gia đình, lượng nước sinh hoạt dùng mỗi ngày của một hộ có phân phối lệch phải với trung bình

\mu = 3{,}2

m³ và độ lệch chuẩn

\sigma = 1{,}4

m³. Công ty cấp nước chọn ngẫu nhiên 50 hộ và ghi lại lượng nước trung bình

\bar{x}

của 50 hộ này.

aMô tả hình dạng, trung bình và độ lệch chuẩn của phân phối mẫu của $\bar{x}$ , có kiểm tra các điều kiện cần thiết.
bTính xác suất để lượng nước trung bình của 50 hộ được chọn vượt quá 3,5 m³.

1Bước 1: Kiểm tra điều kiện độc lập. Mẫu được chọn ngẫu nhiên, và cỡ mẫu 50 nhỏ hơn 10% tổng thể vì

50 < 0{,}10 \times 40\,000 = 4\,000

. Điều kiện 10% (10% condition) được thỏa mãn nên có thể coi các quan sát là độc lập.

2Bước 2: Kiểm tra điều kiện về hình dạng. Phân phối của từng hộ lệch phải chứ không chuẩn, nhưng cỡ mẫu

n = 50 \ge 30

đủ lớn, nên theo định lý giới hạn trung tâm (central limit theorem), phân phối mẫu của

\bar{x}

vẫn xấp xỉ chuẩn. Lưu ý rằng độ lệch phải nằm ở phân phối của từng hộ, không phải ở phân phối của trung bình mẫu.

3Bước 3: Tính hai tham số của phân phối mẫu:

\mu_{\bar{x}} = \mu = 3{,}2

và

\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{1{,}4}{\sqrt{50}} = \dfrac{1{,}4}{7{,}0711} \approx 0{,}198

. Đại lượng

\sigma_{\bar{x}}

này chính là sai số chuẩn (standard error) của trung bình mẫu, và nó nhỏ hơn hẳn

1{,}4

vì lấy trung bình đã làm dịu bớt dao động giữa các hộ.