Đang tải bài học…

AP Statistics

mẫu ngẫu nhiên

random sample

Còn gọi: lấy mẫu ngẫu nhiên

Mẫu ngẫu nhiên (random sample) là mẫu rút từ tổng thể bằng cơ chế may rủi, mỗi phần tử có xác suất được chọn bằng nhau.

Trong thống kê, việc thu thập dữ liệu chỉ có giá trị suy luận khi mẫu phản ánh trung thực tổng thể. Mẫu ngẫu nhiên đáp ứng yêu cầu đó bằng cách loại bỏ sự can thiệp chủ quan của người nghiên cứu: mỗi phần tử được lựa chọn hoàn toàn nhờ cơ chế may rủi, và xác suất để bất kỳ phần tử nào trong tổng thể có mặt trong mẫu đều bằng $1/N$ , trong đó $N$ là kích thước tổng thể. Nhờ tính chất này, mẫu ngẫu nhiên được gọi là mẫu không thiên lệch (unbiased sample).

Cơ chế ngẫu nhiên đó có thể thực hiện bằng nhiều cách: bốc thăm, dùng bảng số ngẫu nhiên, hoặc dùng hàm sinh số ngẫu nhiên trên máy tính. Điều quan trọng không phải là công cụ, mà là đảm bảo rằng không có phần tử nào bị ưu tiên hay loại trừ một cách có hệ thống. Do đó, kích thước mẫu $n$ cần đủ lớn để sai số lấy mẫu (sampling error) — tức khoảng cách giữa thống kê mẫu và tham số tổng thể thực — được thu hẹp ở mức chấp nhận được.

Hệ quả quan trọng nhất của việc dùng mẫu ngẫu nhiên là nó cho phép áp dụng các phương pháp suy luận thống kê: khoảng tin cậy, kiểm định giả thuyết, và đặc biệt là định lý giới hạn trung tâm (central limit theorem). Ngược lại, nếu mẫu được thu thập theo cách thuận tiện hoặc tự nguyện, kết quả suy luận sẽ mất hiệu lực vì mẫu không còn đại diện cho tổng thể. Vì vậy, trên đề thi AP Statistics, câu hỏi thiết kế nghiên cứu thường yêu cầu thí sinh giải thích cụ thể cách chọn mẫu ngẫu nhiên, không chỉ nêu tên phương pháp.

Trực giác: Giống như rút thăm trúng thưởng công khai: mọi tấm vé đều có cơ hội như nhau, không ai được ưu tiên từ trước.

Công thức

P = \frac{n}{N}

Dùng để kiểm tra xem mỗi cá thể trong tổng thể có cùng xác suất được chọn vào mẫu hay không — điều kiện cốt lõi của mẫu ngẫu nhiên.

Trong đó

P

xác suất một cá thể bất kỳ trong tổng thể được chọn vào mẫu

n

kích thước mẫu

N

kích thước tổng thể

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1903 (thuật ngữ "random sample"); tiền thân từ 1895Karl PearsonAnders KiaerW. F. R. WeldonWalter A. Shewhart

Cặp khái niệm mẫu — tổng thể được Karl Pearson đặt cạnh nhau năm 1903 trên tạp chí Biometrika, khi ông viết rằng trong thực tế người ta chỉ lấy được một mẫu và mẫu ấy nên là mẫu ngẫu nhiên nếu có thể. Trước đó, năm 1895, Anders Kiaer — người sáng lập Cơ quan Thống kê Na Uy — đã công bố phương pháp lấy mẫu đầu tiên có thể xem là ngẫu nhiên.

Thử nghiệm tương tác

Đổi luật lấy mẫu — nhìn mảng lưới xám đi và đám chấm lệch khỏi vạch thật

Hay hiểu sai

Không cố ý chọn ai chưa phải là ngẫu nhiên; mẫu tiện lợi vẫn thiên lệch.

Ngẫu nhiên hóa bảo vệ tính đại diện, không xóa được biến động lấy mẫu.

Khoảng tin cậy nói về tham số của tổng thể, không nói về mẫu đã lấy.

Có mẫu ngẫu nhiên vẫn phải kiểm tra cỡ mẫu và tính độc lập.

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một trường trung học có 1200 học sinh, trong đó khoảng 480 em thường ăn trưa tại căng tin, số còn lại mang cơm nhà hoặc ra ngoài ăn. Phóng viên của báo trường muốn biết học sinh nghĩ gì về thực đơn mới của căng tin. Trong một khoảng thời gian 30 phút, cứ mỗi học sinh bước ra khỏi căng tin, phóng viên lại tung một đồng xu cân đối: nếu ra mặt ngửa thì chặn em đó lại và hỏi ý kiến, nếu ra mặt sấp thì để em đó đi. Cuối cùng phóng viên hỏi được 42 học sinh, trong đó 28 em nói rằng thích thực đơn mới. Bài báo viết: "Khoảng 67% học sinh toàn trường hài lòng với thực đơn mới."

aCách làm của phóng viên có tạo ra một mẫu ngẫu nhiên từ toàn bộ học sinh của trường hay không? Giải thích, và cho biết kết luận trong bài báo có khả năng lệch về phía nào.
bHãy mô tả một cách lấy mẫu ngẫu nhiên đơn giản gồm 60 học sinh từ 1200 học sinh của trường.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · bài “Chọn mẫu ngẫu nhiên” — khoá AP Statistics

Cần trướcquần thể (tổng thể)mẫu

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

mẫu đại diệnrepresentative sample

Khác nhau ở đâuMẫu ngẫu nhiên nói về cách chọn bằng xác suất, còn mẫu đại diện nói về mức độ phản ánh đúng đặc điểm quần thể — một mẫu ngẫu nhiên chưa chắc đã đại diện nếu kích thước quá nhỏ

Hay nhầm khiđề hỏi tại sao kết quả khảo sát không suy rộng được cho quần thể, học sinh nhầm 'chọn ngẫu nhiên' với 'đại diện'

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 27, 31–32.

Vào cuối thế kỷ 19, thống kê nhà nước vẫn quen với ý tưởng đếm toàn bộ dân số, và điều tra dân số là chuẩn mực. Anders Kiaer, người sáng lập Cơ quan Thống kê Na Uy, công bố năm 1895 một phương pháp chọn ra một phần dân số để suy ra cái toàn thể — cách làm đầu tiên có thể coi là lấy mẫu ngẫu nhiên. Ít năm sau, Karl Pearson đưa cụm từ vào ngôn ngữ chuyên môn: năm 1900 ông đặt "random sampling" ngay trong nhan đề một bài trên Philosophical Magazine, rồi năm 1903 viết trên Biometrika rằng nếu lấy được toàn bộ quần thể thì ta đã có sẵn các hằng số thống kê, nhưng thực tế chỉ lấy được một mẫu, và mẫu ấy nên ngẫu nhiên. Đồng nghiệp của ông, nhà động vật học W. F. R. Weldon, đã dùng chữ "sample" cho các tập quan sát từ năm 1892.

Vì sao mang đúng cái tên này? Cái tên gây hiểu lầm nằm ở chữ "random". Trong đời thường, từ này có nghĩa là hú họa, không theo quy luật nào — đúng như định nghĩa đầu tiên trong từ điển phổ thông: "không có khuôn mẫu hay mục đích cụ thể". Nhưng trong thống kê, nó không mô tả cái mẫu trông ra sao mà mô tả cách cái mẫu được lấy ra. Chính vì vậy Walter A. Shewhart, trong bài "Random Sampling" năm 1931, định nghĩa mẫu ngẫu nhiên là mẫu được rút trong những điều kiện khiến luật số lớn (law of large numbers) áp dụng được, và W. Edwards Deming về sau thuật lại quan điểm của ông một cách gay gắt hơn: với Shewhart, không hề tồn tại "mẫu ngẫu nhiên", mà chỉ tồn tại mẫu được chọn bằng một thao tác ngẫu nhiên. Do đó, tính từ trong tên gọi thuộc về quy trình chọn chứ không thuộc về tập dữ liệu thu được. Nửa còn lại của tên gọi cũng có gốc riêng: chữ "mẫu" chỉ mang nghĩa kỹ thuật khi Pearson đặt nó đối lập với quần thể (population) năm 1903, và từ cặp đối lập ấy mà toàn bộ ngôn ngữ về lấy mẫu ngẫu nhiên (random sampling) hiện nay được dựng lên.

Đổi luật lấy mẫu — nhìn mảng lưới xám đi và đám chấm lệch khỏi vạch thật

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Khi đề hỏi mẫu có ngẫu nhiên không, phải nêu rõ ai bị loại khỏi khung lấy mẫu.

Diễn giải khoảng tin cậy phải đủ ba mảnh: mức tin cậy, tham số, tổng thể cụ thể. Tránh dùng "probability" thay cho "confident".

Đọc kỹ đề hỏi tỉ lệ hay số lượng trước khi khoanh đáp án.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

Trước hết phải xác định rõ tổng thể mà kết luận nhắm tới. Bài báo phát biểu về "học sinh toàn trường", tức tổng thể gồm cả 1200 em. Trong khi đó, danh sách những người có cơ hội được hỏi chỉ gồm các học sinh bước ra khỏi căng tin trong đúng 30 phút đó.

2Bước 2: Tiếp theo, kiểm tra điều kiện cốt lõi: mọi cá thể của tổng thể phải có xác suất được chọn khác 0. Học sinh mang cơm nhà hoặc ra ngoài ăn có xác suất được chọn đúng bằng 0, vì các em không hề đi qua cửa căng tin. Với các em có mặt, việc tung đồng xu quả thật cho mỗi người xác suất

0{,}5

như nhau, nên phần ngẫu nhiên hoá được thực hiện tử tế; nhưng nó chỉ ngẫu nhiên hoá bên trong một nhóm con, chứ không phải bên trong cả trường. Vì vậy đây không phải mẫu ngẫu nhiên từ tổng thể 1200 học sinh.

3Bước 3: Bây giờ xét chiều của sai lệch. Đây là kiểu thiên lệch do thiếu bao phủ (undercoverage): cả một bộ phận tổng thể bị bỏ ra ngoài khung chọn mẫu. Điều đáng nói là bộ phận bị bỏ sót không hề trung lập — học sinh không ăn căng tin có lẽ chính là những em ít hài lòng nhất với căng tin. Do đó tỉ lệ mẫu

\hat{p} = 28/42 \approx 0{,}667

nhiều khả năng cao hơn tỉ lệ hài lòng thật của toàn trường, và con số 67% trong bài báo là một ước lượng lệch lên.

4Bước 4: Sang ý (b), muốn có mẫu ngẫu nhiên đơn giản (simple random sample) thì mọi nhóm 60 học sinh đều phải có cùng cơ hội được chọn. Ta lấy danh sách toàn trường và đánh số cho từng em từ 001 đến 1200. Sau đó dùng máy tính hoặc bảng số ngẫu nhiên sinh ra các số có ba chữ số; số nào lớn hơn 1200 hoặc đã xuất hiện trước đó thì bỏ qua, cứ tiếp tục cho tới khi thu đủ 60 số khác nhau. Sáu mươi học sinh mang các số đó chính là mẫu cần lấy, và phóng viên phải cố gắng phỏng vấn đúng những em này thay vì thay thế bằng người dễ gặp hơn.

Cách làm của phóng viên không cho mẫu ngẫu nhiên đại diện cho toàn trường: những học sinh không ăn ở căng tin không có cơ hội nào được chọn, nên mẫu chỉ đại diện cho nhóm khách quen của căng tin. Vì nhóm bị bỏ sót nhiều khả năng khắt khe hơn với thực đơn, con số 67% là ước lượng lệch lên và không được phép suy rộng cho 1200 học sinh. Muốn kết luận có giá trị cho cả trường, phóng viên nên đánh số toàn bộ danh sách từ 001 đến 1200, dùng máy tính chọn ngẫu nhiên 60 số khác nhau và phỏng vấn đúng 60 học sinh tương ứng.

2Ví dụ 2/2

Tại Hoa Kỳ, 36% dân số có nhóm máu A dương. Một nhà nghiên cứu lấy một mẫu ngẫu nhiên gồm 150 người Na Uy và thấy 66 người trong mẫu có nhóm máu A dương. Dân số Na Uy vào khoảng 5,4 triệu người. Nhà nghiên cứu muốn xét xem tỉ lệ người có nhóm máu A dương ở Na Uy có khác với tỉ lệ ở Hoa Kỳ hay không, ở mức ý nghĩa

\alpha = 0{,}05

aNêu giả thuyết, kiểm tra các điều kiện của kiểm định và tính độ lệch chuẩn dùng cho thống kê kiểm định.
bTính giá trị của thống kê kiểm định, tìm giá trị p và kết luận trong ngữ cảnh.

1Bước 1: Gọi

p

là tỉ lệ toàn bộ người Na Uy có nhóm máu A dương. Vì câu hỏi là "có khác hay không", ta dùng đối thuyết hai phía:

H_0: p = 0{,}36

và

H_a: p \neq 0{,}36

. Giá trị

0{,}36

lấy từ tỉ lệ đã biết của Hoa Kỳ và đóng vai trò giá trị giả định trong mọi phép tính tiếp theo.

2Bước 2: Điều kiện thứ nhất là ngẫu nhiên, và đề đã nói rõ đây là mẫu ngẫu nhiên gồm 150 người Na Uy; chính giả thiết này cho phép ta suy rộng kết quả từ 150 người ra cả nước. Điều kiện thứ hai là độc lập:

150

nhỏ hơn

10\%

của

5\,400\,000

, nên việc lấy mẫu không hoàn lại vẫn chấp nhận được. Điều kiện thứ ba là đếm lớn (large counts condition):

np_0 = 150(0{,}36) = 54

và

n(1-p_0) = 150(0{,}64) = 96

, cả hai đều lớn hơn 10, nên phân bố mẫu của

\hat{p}

xấp xỉ chuẩn.

3Bước 3: Độ lệch chuẩn của phân bố mẫu được tính bằng giá trị giả định

p_0

, chứ không phải bằng tỉ lệ quan sát được:

\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} = \sqrt{\frac{(0{,}36)(0{,}64)}{150}} = \sqrt{0{,}001536} \approx 0{,}0392.

Con số này cho biết trong các mẫu ngẫu nhiên cỡ 150, tỉ lệ mẫu thường dao động quanh

0{,}36

với biên độ chừng

3{,}9

điểm phần trăm.

4Bước 4: Tỉ lệ quan sát được là

\hat{p} = 66/150 = 0{,}44

. Thay vào công thức của thống kê kiểm định (test statistic):

z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sigma_{\hat{p}}} = \frac{0{,}44 - 0{,}36}{0{,}0392} \approx 2{,}04.

Nghĩa là mẫu này nằm cao hơn giá trị giả định khoảng hai độ lệch chuẩn.

5Bước 5: Vì đối thuyết hai phía, giá trị p bằng hai lần diện tích đuôi phải:

2 \times P(Z > 2{,}04) \approx 2(0{,}0207) = 0{,}041

. So sánh với

\alpha = 0{,}05

, ta có

0{,}041 < 0{,}05

nên bác bỏ

H_0

Độ lệch chuẩn dùng cho thống kê kiểm định là $\sqrt{(0{,}36)(0{,}64)/150} \approx 0{,}0392$ , cho $z \approx 2{,}04$ và giá trị p khoảng $0{,}041$ . Vì giá trị p nhỏ hơn $0{,}05$ , ta bác bỏ $H_0$ : có bằng chứng thuyết phục rằng tỉ lệ người Na Uy có nhóm máu A dương khác với tỉ lệ 36% ở Hoa Kỳ, và mẫu gợi ý tỉ lệ này cao hơn. Kết luận suy rộng cho cả nước Na Uy được phép đưa ra chính vì 150 người kia là một mẫu ngẫu nhiên; nếu họ chỉ là những người tình nguyện hiến máu tại một bệnh viện, ta sẽ không có cơ sở nào để nói về toàn dân số.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.