Đang tải bài học…

AP Statistics

mẫu

sample

Còn gọi: tập con của tổng thể · mẫu thống kê · mẫu (sample)

Mẫu là một tập hợp con được chọn ra từ tổng thể, dùng để thu thập dữ liệu và suy ra thông tin về toàn bộ nhóm lớn hơn mà không cần khảo sát từng cá thể.

Trong thực tế, tổng thể thường quá lớn để quan sát đầy đủ, vì vậy nhà thống kê chọn ra một mẫu — tức một tập hợp con của tổng thể — để tiến hành đo lường. Mục tiêu cốt lõi là dùng các đặc trưng tính được từ mẫu, chẳng hạn trung bình mẫu $\bar{x}$ hay tỉ lệ mẫu $\hat{p}$ , để ước lượng tham số tương ứng của tổng thể.

Chất lượng của mẫu phụ thuộc trực tiếp vào cách chọn. Khi mỗi tập con có cùng cỡ $n$ đều có xác suất bằng nhau để được chọn, ta gọi đó là mẫu ngẫu nhiên đơn giản (simple random sample). Nhờ tính ngẫu nhiên, mẫu có xu hướng đại diện cho tổng thể và giảm thiểu sai lệch hệ thống (bias). Ngược lại, một mẫu được chọn không ngẫu nhiên — chẳng hạn chỉ hỏi những người tình nguyện — thường mang sai lệch và khiến kết quả suy luận không còn đáng tin.

Cỡ mẫu, ký hiệu $n$ , ảnh hưởng trực tiếp đến độ chính xác của ước lượng. Sai số chuẩn của trung bình mẫu bằng $\sigma/\sqrt{n}$ , trong đó $\sigma$ là độ lệch chuẩn (standard deviation) của tổng thể; do đó khi $n$ tăng, sai số chuẩn giảm và ước lượng trở nên chính xác hơn. Tuy nhiên, tăng cỡ mẫu không thể bù đắp cho một phương pháp chọn mẫu có sai lệch — một mẫu lớn mà thiên lệch vẫn cho kết quả sai lệch.

Ký hiệu

• $n$ — cỡ mẫu
• $\bar{x}$ — trung bình mẫu
• $\hat{p}$ — tỉ lệ mẫu

Trực giác: Mẫu giống như một thìa súp múc lên để nếm thử — nếu khuấy đều trước khi múc, thìa đó phản ánh đúng hương vị cả nồi; nếu không khuấy, thìa múc chỗ nào cũng chỉ cho biết chỗ đó.

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1903Karl PearsonW. F. R. WeldonAnders Nicolai KiærArthur Lyon Bowley

Cặp khái niệm mẫu và tổng thể theo nghĩa thống kê hiện đại được Karl Pearson dùng trong bài viết trên tạp chí Biometrika năm 1903, sau khi đồng nghiệp của ông là nhà động vật học W. F. R. Weldon đã dùng chữ "sample" để chỉ các tập hợp quan trắc từ năm 1892.

Thử nghiệm tương tác

Đổi cách nhặt mẫu — nhìn con số trong khay lệch hay sát sự thật

Hay hiểu sai

Mẫu lớn không chữa được mẫu chệch.

Khoảng tin cậy nói về tổng thể, không nói về mẫu.

Trong kiểm định tỉ lệ, mẫu số dùng $p_0$ chứ không dùng $\hat{p}$ .

Vài giá trị ngoại lai (outlier) trong mẫu chưa đủ để bác bỏ điều kiện chuẩn.

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Ở một trường trung học, học sinh được tự do chọn ăn trưa tại căng tin hoặc mang cơm từ nhà. Một phóng viên của báo trường muốn tìm hiểu phản ứng của học sinh đối với thực đơn mới. Trong một khoảng thời gian 30 phút, mỗi khi có một học sinh bước ra khỏi căng tin, phóng viên tung một đồng xu cân đối để quyết định có chặn lại và hỏi ý kiến người đó hay không. Kết quả thu được 48 câu trả lời, trong đó 39 người nói rằng họ hài lòng. Bài báo sau đó viết: "Đa số học sinh trong trường hài lòng với thực đơn mới của căng tin."

aXác định tổng thể mà câu kết luận của bài báo muốn nói tới, và mô tả mẫu mà phóng viên thực sự thu thập được.
bViệc dùng đồng xu có làm cho mẫu này đại diện cho toàn bộ học sinh trong trường hay không? Giải thích.
cHãy đề xuất một cách lấy mẫu hợp lý hơn để trả lời câu hỏi mà bài báo đặt ra.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · bài “Chọn mẫu ngẫu nhiên” — khoá AP Statistics

Cần trướcquần thể (tổng thể)

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

quần thể (tổng thể)population

Khác nhau ở đâuQuần thể là toàn bộ đối tượng cần nghiên cứu, còn mẫu chỉ là một phần được chọn ra từ đó

Hay nhầm khiđề hỏi liệu con số đã cho là tham số hay thống kê — cần xác định nó được tính từ quần thể hay từ mẫu

tổng điều tracensus

Khác nhau ở đâuTổng điều tra thu thập dữ liệu từ toàn bộ quần thể, còn mẫu chỉ thu thập từ một phần

Hay nhầm khiđề mô tả một nghiên cứu thu thập dữ liệu và hỏi đây là mẫu hay tổng điều tra

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 22, 27, 60.

Cuối thế kỷ 19, các nhà nghiên cứu ngày càng phải làm việc với những tập dữ liệu chỉ là một phần nhỏ của cái mà họ thật sự muốn biết. Weldon đo đạc trên các nhóm sinh vật và gọi mỗi nhóm quan trắc như vậy là một "sample". Đến năm 1903, Pearson viết rõ ý tưởng cốt lõi: nếu lấy được toàn bộ tổng thể (population) thì ta sẽ có những hằng số thống kê xác định, nhưng trên thực tế ta chỉ có thể lấy một mẫu. Cùng thời gian đó, nhu cầu điều tra xã hội đã thúc đẩy kỹ thuật lấy mẫu: Anders Nicolai Kiær đưa ra ý tưởng lấy mẫu phân tầng (stratified sampling) năm 1895, và Arthur Lyon Bowley đưa kỹ thuật lấy mẫu ngẫu nhiên vào các khảo sát đời sống ở London từ năm 1906.

Vì sao mang đúng cái tên này? Điểm đáng chú ý là chữ "sample" vốn là một từ đời thường, nghĩa là mẩu hàng đem ra thử, chứ không phải một thuật ngữ kỹ thuật được đặt ra riêng cho ngành. Chính vì vậy nó chỉ có nghĩa thống kê khi được đặt cạnh một từ đối lập: Pearson dùng nó trong thế đối lập với tổng thể, và chính sự đối lập ấy sinh ra ý niệm rằng phần nhỏ ta cầm trong tay chỉ là hình bóng của cái toàn thể ta không với tới được. Các tên gọi phái sinh về sau đều mô tả cách lấy phần nhỏ đó: mẫu ngẫu nhiên (random sample) nhấn vào cơ chế chọn, còn mẫu phân tầng nhấn vào việc chia tổng thể thành các tầng trước khi chọn.

Đổi cách nhặt mẫu — nhìn con số trong khay lệch hay sát sự thật

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Viết rõ ký hiệu mẫu và ký hiệu tổng thể ngay từ dòng đầu bài làm.

Kiểm tra điều kiện phải nêu cả cách lấy mẫu lẫn cỡ mẫu, kèm con số cụ thể.

Khi đề hỏi một nhận định có được dữ liệu ủng hộ hay không, hãy trích số ra để so sánh.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

Bước 1: Trước hết phải tách bạch hai tập hợp. Câu kết luận trong bài báo nói về "học sinh trong trường", nên tổng thể (population) ở đây là toàn bộ học sinh của trường, kể cả những em không bao giờ ăn ở căng tin. Trong khi đó, mẫu chỉ gồm 48 học sinh đã ăn tại căng tin trong đúng một khoảng 30 phút và được đồng xu "chọn trúng". Như vậy mẫu là một tập con của nhóm học sinh ăn căng tin, chứ không phải tập con lấy ra từ toàn trường.

2Bước 2: Tiếp theo, xét xem đồng xu đã sửa được gì. Đồng xu chỉ quyết định trong số những người đã bước ra khỏi căng tin thì hỏi ai, nên nó loại bỏ được thiên lệch do phóng viên tự chọn người trông có vẻ dễ tính. Tuy nhiên, những học sinh mang cơm từ nhà — rất có thể chính là nhóm không ưa thực đơn mới — không hề có cơ hội được chọn, xác suất được vào mẫu của họ bằng

0

. Đây là lỗi thiếu bao phủ (undercoverage), và không một phép tung đồng xu nào ở bước sau cứu được nhóm đã bị bỏ ra ngoài ngay từ đầu.

3Bước 3: Do đó tỉ lệ hài lòng quan sát được

39/48 = 0{,}8125

vẫn là một con số đáng tin cho nhóm học sinh ăn căng tin, nhưng gần như chắc chắn cao hơn tỉ lệ thật của toàn trường. Người ăn căng tin là người đã chấp nhận thực đơn; người chê thực đơn thì ở nhà mang cơm đi. Vì vậy sai lệch ở đây có hướng rõ ràng: kết quả bị thổi lên chứ không dao động ngẫu nhiên quanh giá trị đúng.

4Bước 4: Cách sửa là lấy mẫu từ đúng tổng thể mà ta muốn kết luận. Chẳng hạn, lấy danh sách toàn bộ học sinh của trường, đánh số từ

1

đến

N

, rồi dùng máy tính hoặc bảng số ngẫu nhiên chọn ra

100

số khác nhau và phỏng vấn đúng

100

học sinh mang các số đó; ai vắng thì phải liên hệ lại chứ không thay bằng người khác. Đó là một mẫu ngẫu nhiên đơn giản (simple random sample), trong đó mọi mẫu cỡ

100

đều có cùng cơ hội được chọn.

Tổng thể là toàn bộ học sinh của trường, còn mẫu chỉ gồm 48 học sinh ăn căng tin trong một khoảng 30 phút được đồng xu chọn. Vì học sinh mang cơm từ nhà không có cơ hội nào lọt vào mẫu, mẫu này không đại diện cho toàn trường và tỉ lệ hài lòng $0{,}8125$ nhiều khả năng cao hơn sự thật; kết luận của bài báo chỉ có giá trị cho nhóm học sinh thường ăn căng tin. Muốn khái quát cho cả trường, phóng viên phải chọn ngẫu nhiên học sinh từ danh sách toàn trường.

2Ví dụ 2/2

Ở Hoa Kỳ, 36% dân số có nhóm máu A dương. Người ta lấy một mẫu ngẫu nhiên gồm 150 người ở Na Uy và thấy có 66 người mang nhóm máu A dương. Các nhà nghiên cứu muốn kiểm định xem tỉ lệ người có nhóm máu A dương ở Na Uy có khác với tỉ lệ ở Hoa Kỳ hay không, với giả thuyết

H_0: p = 0{,}36

và

H_a: p \neq 0{,}36

aTính tỉ lệ người có nhóm máu A dương trong mẫu và cho biết con số này là tham số hay đại lượng thống kê.
bKiểm tra các điều kiện cần thiết và tính độ lệch chuẩn dùng để lập giá trị thống kê kiểm định.
cTính giá trị thống kê kiểm định và nêu ý nghĩa của nó.

1Bước 1: Tỉ lệ mẫu (sample proportion) được tính trực tiếp từ 150 người đã được chọn:

\hat{p} = \dfrac{66}{150} = 0{,}44

. Đây là một đại lượng thống kê vì nó tính từ mẫu và sẽ thay đổi nếu ta chọn 150 người khác; ngược lại, con số

p_0 = 0{,}36

mô tả cả tổng thể nên là tham số. Phân biệt hai loại số này rất quan trọng, bởi mọi công thức suy luận đều dùng thống kê để đoán về tham số.

2Bước 2: Điều kiện thứ nhất là tính ngẫu nhiên: đề bài nói rõ 150 người được lấy ngẫu nhiên, nên

\hat{p}

là một ước lượng không chệch cho

p

. Điều kiện thứ hai là cỡ mẫu đủ lớn để dùng xấp xỉ chuẩn:

np_0 = 150(0{,}36) = 54

và

n(1-p_0) = 150(0{,}64) = 96

, cả hai đều lớn hơn

10

. Điều kiện thứ ba là tính độc lập: dân số Na Uy vượt xa

10 \times 150 = 1500

người, nên việc chọn không hoàn lại vẫn chấp nhận được.

3Bước 3: Khi kiểm định giả thuyết, độ lệch chuẩn phải được tính theo giá trị mà

H_0

giả định, tức

p_0 = 0{,}36

, chứ không theo

\hat{p}

\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} = \sqrt{\frac{(0{,}36)(0{,}64)}{150}} = \sqrt{0{,}001536} \approx 0{,}0392.

Con số này cho biết nếu giả thuyết đúng thì các tỉ lệ mẫu từ những mẫu 150 người khác nhau sẽ dao động quanh

0{,}36

với biên độ điển hình khoảng

0{,}0392

4Bước 4: Từ đó tính giá trị thống kê kiểm định (test statistic):

z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sigma_{\hat{p}}} = \frac{0{,}44 - 0{,}36}{0{,}0392} \approx 2{,}04.

Nghĩa là tỉ lệ quan sát được ở mẫu Na Uy nằm cách giá trị giả định khoảng hai lần độ lệch chuẩn về phía trên. Với kiểm định hai phía, giá trị

p

tương ứng xấp xỉ

2(0{,}0207) \approx 0{,}041

, nhỏ hơn mức ý nghĩa quen dùng

\alpha = 0{,}05

Mẫu 150 người Na Uy cho tỉ lệ $\hat{p} = 0{,}44$ , và nếu tỉ lệ thật ở Na Uy đúng bằng $0{,}36$ như ở Hoa Kỳ thì các tỉ lệ mẫu cỡ này chỉ dao động quanh $0{,}36$ với độ lệch chuẩn khoảng $0{,}0392$ . Giá trị quan sát được lệch tới $z \approx 2{,}04$ độ lệch chuẩn, ứng với giá trị $p$ khoảng $0{,}041 < 0{,}05$ . Vì vậy có đủ bằng chứng để kết luận rằng tỉ lệ người mang nhóm máu A dương ở Na Uy khác với tỉ lệ 36% ở Hoa Kỳ.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.