Đang tải bài học…

AP Statistics

thống kê

statistic

Còn gọi: số thống kê · đại lượng thống kê · numerical summary

Thống kê là bất kỳ đại lượng số nào được tính toán từ dữ liệu mẫu, dùng để tóm tắt đặc điểm của mẫu hoặc làm cơ sở suy luận về tổng thể.

Khi chọn một mẫu ngẫu nhiên từ tổng thể, nhà nghiên cứu thường tính ra một con số tóm tắt — chẳng hạn trung bình (mean) mẫu $\bar{x}$ hay tỉ lệ (proportion) mẫu $\hat{p}$ — và con số đó được gọi là thống kê. Nói rộng hơn, mọi đại lượng rút ra từ dữ liệu mẫu, từ độ lệch chuẩn mẫu đến tứ phân vị, đều là thống kê.

Công thức tổng quát biểu diễn một thống kê $T$ dưới dạng hàm số của các quan sát mẫu: $T = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ Trong đó $x_1, x_2, \ldots, x_n$ là $n$ giá trị thu thập được từ mẫu, còn $f$ là quy tắc tính — có thể là phép cộng rồi chia để ra trung bình, hoặc phép đếm rồi chia để ra tỉ lệ. Vì $f$ chỉ phụ thuộc vào dữ liệu mẫu chứ không dựa vào bất kỳ giá trị tổng thể nào chưa biết, thống kê luôn tính được ngay sau khi thu thập xong mẫu.

Thống kê khác về bản chất với tham số (parameter): tham số là giá trị cố định mô tả toàn bộ tổng thể, trong khi thống kê chỉ mô tả phần mẫu được chọn. Do đó, hai mẫu ngẫu nhiên khác nhau thường cho ra hai giá trị thống kê khác nhau — hiện tượng này gọi là biến thiên mẫu. Ngược lại, tham số không thay đổi dù ta chọn mẫu bao nhiêu lần. Vì vậy, thống kê đóng vai trò kép trong phân tích: vừa tóm tắt phân phối qua các đại lượng như trung bình và độ lệch chuẩn, vừa làm nền tảng cho suy luận thống kê — quá trình dùng thống kê để ước lượng (estimator) tham số tổng thể. Khoảng cách giữa thống kê và tham số tương ứng được gọi là sai số lấy mẫu, và việc hiểu rõ mối quan hệ này là nền tảng của toàn bộ chương trình AP Statistics.

Ký hiệu

\bar{x}

\hat{p}

s

T

Trực giác: Thống kê giống như bản tin thời tiết của một thành phố: nó tóm tắt hàng ngàn phép đo nhiệt độ thành một con số dễ đọc, nhưng nếu bạn chọn thành phố khác thì con số ấy sẽ thay đổi.

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1749 (thuật ngữ Statistik), 1791 (vào tiếng Anh)Girolamo GhiliniGottfried AchenwallSir John SinclairJohn Graunt

Thử nghiệm tương tác

Rút một mẫu, ghi lại trung bình của nó — rồi rút vài trăm lần nữa

Hay hiểu sai

Thống kê tính từ mẫu, tham số tính từ tổng thể — không được đổi chỗ.

"Chệch" nói về trung bình của vô số mẫu, không nói về một mẫu cụ thể.

Thống kê kiểm định cho tỉ lệ dùng $p_0$ ở mẫu số, không dùng $\hat{p}$ .

Giá trị p không phải xác suất giả thuyết không đúng hay sai.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một hồ nuôi cá có đúng 4 200 con. Chủ hồ cân toàn bộ đàn cá và tính được khối lượng trung bình của cả đàn là 2.5 kg; phân bố khối lượng lệch phải vì có một số ít con rất lớn. Sau đó, một sinh viên thực tập mô phỏng trên máy tính: lấy 1 000 mẫu ngẫu nhiên độc lập, mỗi mẫu 10 con, và với mỗi mẫu tính cả trung bình mẫu

\bar{x}

lẫn trung vị mẫu

M

. Trung bình của 1 000 giá trị

\bar{x}

là 2.502 kg, còn trung bình của 1 000 giá trị

M

là 2.41 kg.

aTrong các con số 2.5; 2.502 và 2.41, con số nào là tham số của tổng thể, con số nào tóm tắt phân bố mẫu của một thống kê? Giải thích.
bDựa trên kết quả mô phỏng, thống kê nào có vẻ là ước lượng không chệch cho khối lượng trung bình của đàn cá, thống kê nào thể hiện tính chệch? Nêu rõ chiều của độ chệch.

1Bước 1: Trước hết ta phân định nguồn gốc của từng con số. Giá trị 2.5 kg được tính từ việc cân toàn bộ 4 200 con cá, tức là từ cả tổng thể, nên nó là một tham số (parameter) và được ký hiệu là

\mu

. Ngược lại, mỗi

\bar{x}

và mỗi

M

trong mô phỏng chỉ được tính từ 10 con cá rút ngẫu nhiên, nên chúng là các thống kê; hai con số 2.502 và 2.41 chính là trung bình của 1 000 giá trị thống kê đó, tức là ước tính cho trung tâm của phân bố mẫu (sampling distribution) tương ứng. Điểm mấu chốt cần nhớ là tham số cố định và thường không biết, còn thống kê thay đổi từ mẫu này sang mẫu khác.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · bài “Thống kê mô tả cho một biến định lượng” — khoá AP Statistics

Cần trướcmẫu

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

tham số (parameter)parameter

Khác nhau ở đâuThống kê tính được từ dữ liệu mẫu và thay đổi theo từng mẫu, còn tham số là con số cố định của quần thể mà ta thường không biết chính xác

Hay nhầm khiđề cho một con số rồi hỏi đó là statistic hay parameter — cần xác định con số đó xuất phát từ mẫu hay từ toàn bộ quần thể

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 15, 22, 27.

Chữ "statistic" bắt nguồn từ tiếng Latin và tiếng Ý chỉ việc nhà nước, được học giả người Ý Girolamo Ghilini dùng năm 1589 để chỉ tập hợp thông tin về một quốc gia, rồi được nhà chính trị học người Đức Gottfried Achenwall đặt thành thuật ngữ Statistik năm 1749. Thuật ngữ đi vào tiếng Anh năm 1791 qua bộ sách của Sir John Sinclair.

Buổi đầu, thứ mà châu Âu gọi là "thống kê" không phải môn toán mà là công việc của bộ máy cai trị: muốn thu thuế, tuyển lính hay định chính sách thì nhà nước phải biết dân số, thương mại và mùa màng của mình đang ở tình trạng nào. Năm 1663, John Graunt cho in Natural and Political Observations upon the Bills of Mortality, tài liệu sớm nhất ở châu Âu chứa dữ liệu thống kê, dựa trên các bảng khai tử của thành phố. Đến năm 1749, Achenwall dùng chữ Statistik cho việc phân tích dữ liệu về nhà nước — thứ mà tiếng Anh khi ấy gọi là số học chính trị (political arithmetic). Nghĩa "thu thập và phân loại dữ liệu" nói chung chỉ hình thành vào đầu thế kỷ 19.

Vì sao mang đúng cái tên này? Cái tên nghe chẳng liên quan gì đến toán, và đó chính là manh mối lịch sử. Gốc xa nhất là chữ Latin status nghĩa là "tình trạng", "hoàn cảnh" trong xã hội, rồi ở giai đoạn Latin muộn mang thêm nghĩa "nhà nước"; từ đó sinh ra cụm Latin mới statisticum collegium tức "hội đồng nhà nước" và chữ Ý statista tức "chính khách". Vì vậy, khi Achenwall dựng chữ Statistik, ông hiểu nó là "khoa học về nhà nước" — một bản tóm lược xem mọi việc trong nước đang đứng ở đâu. Chữ này vào tiếng Anh khoảng năm 1770 qua tiếng Đức với nghĩa nghiên cứu thể chế chính trị, và mang nghĩa hiện đại từ thập niên 1790 nhờ Sir John Sinclair, người xuất bản tập đầu tiên trong bộ 21 tập Statistical Account of Scotland năm 1791. Cần phân biệt số ít với số nhiều: dạng số nhiều chỉ cả ngành thống kê, còn dạng số ít "statistic" ngày nay chỉ một hàm tính trên mẫu và giá trị mà hàm đó trả về — đúng nghĩa "thống kê" mà đề thi hay đối lập với tham số (parameter).

Rút một mẫu, ghi lại trung bình của nó — rồi rút vài trăm lần nữa

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mẹo phòng thi

Viết rõ ký hiệu trước khi thay số: $\hat{p}$ , $\bar{x}$ , $s$ cho mẫu và $p$ , $\mu$ , $\sigma$ cho tổng thể.

Khi tính thống kê kiểm định, hãy viết ra công thức có thay số rồi mới bấm máy.

Diễn giải giá trị p theo đúng khuôn bốn thành phần thì không bao giờ mất điểm.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

2Bước 2: Tiếp theo ta so sánh trung tâm của từng phân bố mẫu với tham số

\mu = 2.5

. Với trung bình mẫu, mô phỏng cho

E(\bar{x}) \approx 2.502

, lệch khỏi

\mu

chỉ

2.502 - 2.5 = 0.002

kg. Sai lệch cỡ vài phần nghìn ki-lô-gam này hoàn toàn có thể quy cho biến thiên ngẫu nhiên của 1 000 lần mô phỏng, chứ không phải một khuynh hướng hệ thống. Do đó

\bar{x}

hành xử đúng như một ước lượng không chệch (unbiased estimator): trung bình dài hạn của nó trùng với giá trị cần ước lượng.

3Bước 3: Với trung vị mẫu thì câu chuyện khác hẳn. Ta có

2.41 - 2.5 = -0.09

kg, nghĩa là trung tâm phân bố mẫu của

M

nằm thấp hơn

\mu

tới 90 gam, và độ lệch này lặp lại có hệ thống ở cả 1 000 mẫu chứ không dao động quanh 0. Kết quả đó phù hợp với hình dạng lệch phải của khối lượng cá: vài con rất nặng kéo trung bình lên cao hơn trung vị. Vì vậy nếu dùng

M

để ước lượng

\mu

, ta mắc tính chệch (bias) theo chiều đánh giá thấp.

Con số 2.5 kg là tham số $\mu$ của đàn cá, còn 2.502 kg và 2.41 kg lần lượt mô tả trung tâm phân bố mẫu của hai thống kê $\bar{x}$ và $M$ . Vì $E(\bar{x}) \approx \mu$ nên trung bình mẫu là ước lượng không chệch cho khối lượng trung bình của đàn cá; ngược lại, trung vị mẫu có kỳ vọng nhỏ hơn $\mu$ khoảng 0.09 kg nên nó là ước lượng chệch, có xu hướng đánh giá thấp khối lượng trung bình thật của đàn cá trong hồ.

2Ví dụ 2/2

Ở Hoa Kỳ, 36% dân số có nhóm máu A dương. Một nhóm nghiên cứu lấy mẫu ngẫu nhiên 150 người Na Uy và thấy 66 người trong mẫu có nhóm máu A dương. Họ muốn kiểm định xem tỉ lệ người có nhóm máu A dương ở Na Uy có khác với tỉ lệ ở Hoa Kỳ hay không, với mức ý nghĩa

\alpha = 0.05

aViết cặp giả thuyết và cho biết độ lệch chuẩn nào được dùng trong công thức tính thống kê kiểm định; tính giá trị của nó.
bTính giá trị thống kê kiểm định và giá trị p, rồi nêu kết luận trong ngữ cảnh.
cDiễn giải ý nghĩa của giá trị p trong ngữ cảnh bài toán.

1Bước 1: Gọi

p

là tỉ lệ người Na Uy có nhóm máu A dương. Vì câu hỏi là "có khác hay không", ta dùng kiểm định hai phía với

H_0: p = 0.36

và

H_a: p \neq 0.36

. Mẫu được lấy ngẫu nhiên, dân số Na Uy vượt xa

10 \times 150 = 1500

người, và dưới giả thuyết không (null hypothesis) ta có

np_0 = 150(0.36) = 54

cùng

n(1-p_0) = 150(0.64) = 96

, cả hai đều lớn hơn 10. Nhờ đó phân bố mẫu của

\hat{p}

xấp xỉ chuẩn và ta được phép dùng kiểm định

z

cho một tỉ lệ.

2Bước 2: Điểm dễ sai nhất nằm ở chỗ chọn độ lệch chuẩn (standard deviation). Trong kiểm định giả thuyết, mọi tính toán đều giả định

H_0

đúng, nên ta dùng

p_0 = 0.36

chứ không dùng

\hat{p}

của mẫu:

\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}} = \sqrt{\dfrac{(0.36)(0.64)}{150}} = \sqrt{0.001536} \approx 0.0392.

Con số 0.0392 cho biết nếu tỉ lệ ở Na Uy thật sự là 0.36 thì các tỉ lệ mẫu cỡ 150 người sẽ dao động quanh 0.36 với độ lệch chuẩn khoảng 3.92 điểm phần trăm.

3Bước 3: Tỉ lệ mẫu quan sát được là

\hat{p} = 66/150 = 0.44

. Thay vào công thức của thống kê kiểm định (test statistic), ta có

z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sigma_{\hat{p}}} = \frac{0.44 - 0.36}{0.0392} \approx 2.04.

Như vậy tỉ lệ mẫu nằm cao hơn giá trị giả định khoảng 2.04 độ lệch chuẩn — bản thân

z

cũng là một thống kê, vì nó được tính hoàn toàn từ dữ liệu mẫu.

4Bước 4: Vì kiểm định là hai phía nên giá trị p phải gộp cả hai đuôi:

\text{p-value} = 2P(Z \geq 2.04) \approx 2(0.0207) = 0.0414

. So sánh với mức ý nghĩa, ta thấy

0.0414 < 0.05

, do đó ta bác bỏ

H_0

. Kết luận này chỉ nói rằng dữ liệu đủ mạnh để phản bác con số 0.36, chứ không chứng minh được một giá trị cụ thể nào cho tỉ lệ ở Na Uy.

5Bước 5: Khi diễn giải giá trị p, câu trả lời phải luôn có dạng "xác suất có điều kiện, tính với giả thiết

H_0

đúng". Ở đây, nếu tỉ lệ người Na Uy có nhóm máu A dương thật sự bằng 0.36, thì xác suất một mẫu ngẫu nhiên 150 người cho tỉ lệ mẫu cách 0.36 ít nhất bằng khoảng cách đã quan sát (tức là

\hat{p} \leq 0.28

hoặc

\hat{p} \geq 0.44

) chỉ vào khoảng 0.0414. Tuyệt đối không được nói 0.0414 là xác suất

H_0

đúng, cũng không được nói đó là xác suất kết luận sai.

Độ lệch chuẩn dùng trong thống kê kiểm định là $\sqrt{(0.36)(0.64)/150} \approx 0.0392$ , tính theo tỉ lệ giả định của giả thuyết không. Với $\hat{p} = 0.44$ , ta được $z \approx 2.04$ và giá trị p hai phía xấp xỉ 0.041; vì $0.041 < 0.05$ , ta bác bỏ $H_0$ và kết luận có bằng chứng thuyết phục rằng tỉ lệ người Na Uy có nhóm máu A dương khác với tỉ lệ 36% ở Hoa Kỳ. Giá trị p 0.041 nghĩa là: giả sử tỉ lệ ở Na Uy đúng bằng 0.36, thì chỉ khoảng 4.1% số mẫu ngẫu nhiên gồm 150 người cho kết quả lệch khỏi 0.36 nhiều như mẫu này hoặc hơn.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.