Đang tải bài học…

AP Statistics

thống kê kiểm định

test statistic

Còn gọi: đại lượng kiểm định · statistic kiểm định · giá trị thống kê kiểm định · observed value of the test statistic

Thống kê kiểm định là số đo khoảng cách giữa ước lượng từ mẫu và giá trị của giả thuyết không, tính theo số lần sai số chuẩn của ước lượng.

Khi tiến hành kiểm định giả thuyết, người ta cần một con số ghi lại mức độ khác biệt giữa giá trị mẫu thu được và giá trị mà giả thuyết không (null hypothesis) cho là đúng. Thống kê kiểm định chính là con số đó; nó được tính bằng cách lấy ước lượng từ mẫu trừ đi giá trị giả định, rồi chia cho sai số chuẩn (standard error) của ước lượng. Công thức tổng quát có thể viết là $T = \frac{\hat{\theta} - \theta_0}{\operatorname{SE}(\hat{\theta})}$ trong đó $\hat{\theta}$ là thống kê mẫu, $\theta_0$ là tham số theo giả thuyết không, còn $\operatorname{SE}(\hat{\theta})$ là sai số chuẩn. Do đó, thống kê kiểm định đo khoảng cách không theo đơn vị gốc mà theo số lần sai số chuẩn.

Việc chia cho sai số chuẩn giúp loại bỏ ảnh hưởng của thang đo và độ biến thiên tự nhiên, nên hai tình huống khác nhau có thể so sánh được trên cùng một thước. Nếu giá trị tuyệt đối của thống kê kiểm định lớn, nghĩa là kết quả mẫu nằm khá xa so với điều giả thuyết không dự đoán; ngược lại, giá trị gần không cho thấy dữ liệu không mâu thuẫn mạnh với giả thuyết đó. Từ thống kê kiểm định, ta tra phân phối tương ứng để tìm giá trị p, tức xác suất thu được kết quả cực đoan như vậy nếu giả thuyết không đúng. Vì vậy, con số này là cầu nối giữa dữ liệu thực tế và quyết định thống kê.

Tùy theo đại lượng cần suy luận mà ta dùng các công thức khác nhau. Với tỉ lệ một mẫu, công thức thường là $z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$ còn với trung bình một mẫu khi chưa biết độ lệch chuẩn tổng thể, ta dùng $t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}.$ Cả hai đều có cùng ý nghĩa: số lần sai số chuẩn mà giá trị mẫu lệch khỏi giả thuyết không. Nhờ đó, khi đã biết tên phân phối và giá trị kiểm định, người làm thống kê có thể xác định mức ý nghĩa và đưa ra kết luận cho vấn đề nghiên cứu.

Ký hiệuKý hiệu hay gặp trong đề:

z

t

\chi^2

T

Trực giác: Như khi rút nhiều mẫu khác nhau từ một tổng thể, tính trung bình mỗi mẫu rồi so sánh với giá trị giả định: ta không chỉ nhìn chênh lệch tuyệt đối mà còn chia cho độ biến thiên thường thấy giữa các mẫu, tỉ số đó chính là thống kê kiểm định.

Công thức

z = \htmlClass{fp-2}{\frac{\htmlClass{fp-0}{\hat{p} - p_0}}{\htmlClass{fp-1}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}}}

Dùng khi kiểm định giả thuyết về tỉ lệ tổng thể với cỡ mẫu đủ lớn (điều kiện np₀ ≥ 10 và n(1−p₀) ≥ 10 thỏa mãn), để tính trị số kiểm định z so với phân phối chuẩn tắc.

Trong đó

z

trị số kiểm định (test statistic) trên thang phân phối chuẩn tắc

\hat{p}

tỉ lệ quan sát được từ mẫu

p_0

tỉ lệ giả định trong giả thuyết không

n

cỡ mẫu

t = \htmlClass{fp-2}{\frac{\htmlClass{fp-0}{\bar{x} - \mu_0}}{\htmlClass{fp-1}{s / \sqrt{n}}}}

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1908William Sealy GossetKarl PearsonE. A. W. ZimmermannJohn Sinclair

Ý tưởng dùng một con số duy nhất tính từ dữ liệu mẫu để quyết định chấp nhận hay bác bỏ một giả thuyết thành hình rõ nhất vào năm 1908, khi William Sealy Gosset — nhân viên hãng bia Guinness ở Ireland — công bố phép kiểm định t dưới bút danh "Student". Trước đó, chính từ "statistics" đã đi vào tiếng Anh từ năm 1787 với nghĩa hoàn toàn khác: số liệu mô tả các quốc gia.

Thử nghiệm tương tác

Giữ nguyên chênh lệch 8 điểm phần trăm rồi kéo n — nhìn cây kim trượt dần ra đuôi

Hay hiểu sai

Mẫu số của thống kê kiểm định cho tỉ lệ phải dùng $p_0$ , không dùng $\hat{p}$ .

Giá trị p không phải xác suất để giả thuyết không đúng.

Mẫu số của $t$ hai mẫu là sai số chuẩn của hiệu hai trung bình, không phải tổng hai độ lệch chuẩn.

Không bác bỏ giả thuyết không không có nghĩa là đã chứng minh nó đúng.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Ở Hoa Kỳ, 36% dân số có nhóm máu A dương. Một nhà nghiên cứu lấy mẫu ngẫu nhiên 150 người ở Na Uy và thấy có 66 người mang nhóm máu A dương. Người này muốn kiểm định xem tỉ lệ người có nhóm máu A dương ở Na Uy có khác với tỉ lệ ở Hoa Kỳ hay không, ở mức ý nghĩa

\alpha = 0.05

aNêu cặp giả thuyết và tính độ lệch chuẩn được dùng để tính thống kê kiểm định.
bTính thống kê kiểm định và giải thích con số đó nói lên điều gì.
cTìm giá trị $p$ và kết luận trong ngữ cảnh bài toán.

1Bước 1: Trước hết ta xác định tham số quan tâm: gọi

p

là tỉ lệ người Na Uy có nhóm máu A dương. Vì câu hỏi là "có khác hay không", đối thuyết phải hai phía, nên ta viết

H_0: p = 0.36

và

H_a: p \neq 0.36

. Giả thuyết không (null hypothesis) ở đây đóng vai trò một giả định tạm: ta bước vào bài toán với niềm tin rằng Na Uy giống Hoa Kỳ, rồi xem dữ liệu có phá vỡ niềm tin đó không. Mọi phép tính phía sau đều đứng trên giá trị

p_0 = 0.36

này.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàySuy luận cho tỉ lệ (dữ liệu phân loại) · bài “Thiết lập kiểm định cho tỉ lệ tổng thể” — khoá AP Statistics

Cần trướcthống kê

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

z-scorez-score

Khác nhau ở đâuZ-score là một giá trị chuẩn hóa cụ thể trong phân phối chuẩn, còn thống kê kiểm định là khái niệm chung có thể là z, t hoặc chi bình phương

Hay nhầm khikhi đề chỉ cho giá trị tính được và hỏi đó là thống kê kiểm định hay z-score, nếu bài là kiểm định giả thuyết thì gọi là thống kê kiểm định

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 54, 67, 353.

Dùng khi kiểm định giả thuyết về trung bình tổng thể mà độ lệch chuẩn tổng thể chưa biết; trị số kiểm định t được so sánh với phân phối t có bậc tự do bằng n−1.

Trong đó

t

trị số kiểm định trên thang phân phối t

\bar{x}

trung bình mẫu

\mu_0

trung bình giả định trong giả thuyết không

s

độ lệch chuẩn mẫu

n

cỡ mẫu

\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}

Dùng trong kiểm định độ phù hợp (goodness-of-fit) hoặc kiểm định tính độc lập của bảng hai chiều; mỗi số hạng đo mức lệch bình phương giữa tần số quan sát O và tần số kỳ vọng (expected frequency) E tại một ô, rồi cộng lại toàn bảng.

Trong đó

\chi^2

trị số kiểm định chi bình phương

O

tần số quan sát tại một ô

E

tần số kỳ vọng tại ô đó, tính từ giả thuyết không

Gosset tốt nghiệp Oxford ngành khoa học tự nhiên và toán, rồi năm 1899 vào làm Trưởng bộ phận nấu bia thực nghiệm tại Guinness. Công việc của ông là bảo đảm chất lượng nguyên liệu, mà nguyên liệu thì chỉ lấy mẫu được vài lô nhỏ chứ không thể đo hết. Từ nhu cầu rất đời thường ấy, Gosset xây dựng một cách quy toàn bộ chứng cứ trong mẫu về một con số rồi so nó với một phân phối đã biết. Guinness cho phép công bố với điều kiện giấu tên tác giả, để đối thủ không đoán ra hãng đang dùng phương pháp gì. Gosset chọn bút danh "Student" và đăng bài trên tạp chí Biometrika của Karl Pearson năm 1908.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi ghép từ hai mảnh có lịch sử rất khác nhau. Mảnh thứ hai, "statistic", bắt nguồn từ "statistics" — thuật ngữ mà Zimmermann đưa vào tiếng Anh năm 1787 và Sinclair củng cố năm 1790 với công trình khảo sát Scotland; gốc của nó là những từ Ý và Đức mang nghĩa "nhà nước" (state), vì buổi đầu nó chỉ có nghĩa là số liệu dân cư và kinh tế của một quốc gia. Về sau nghĩa hẹp lại thành "một đại lượng tính từ mẫu", đối lập với tham số (parameter) của tổng thể. Mảnh thứ nhất, "test", được thêm vào để chỉ rõ công dụng: con số đó không dùng để mô tả mà để kiểm định giả thuyết (hypothesis testing). Vì vậy đại lượng của Gosset không mang tên ông mà mang tên bút danh, thành "Student's t" — một cái tên nghe như của sinh viên nhưng thật ra sinh ra từ một nhà máy bia.

Giữ nguyên chênh lệch 8 điểm phần trăm rồi kéo n — nhìn cây kim trượt dần ra đuôi

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mẹo phòng thi

Viết công thức tổng quát bằng ký hiệu trước, rồi mới thay số.

Câu diễn giải giá trị p phải có đủ ba mảnh mới được trọn điểm.

Kiểm tra dấu và độ lớn của thống kê trước khi chọn đáp án.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

2Bước 2: Điều kiện cần được kiểm tra trước khi tính toán. Mẫu là mẫu ngẫu nhiên nên yêu cầu về tính đại diện được thỏa; số người Na Uy chắc chắn vượt quá

10 \times 150 = 1500

nên các quan sát coi như độc lập; cuối cùng

np_0 = 150(0.36) = 54

và

n(1-p_0) = 150(0.64) = 96

, cả hai đều lớn hơn 10. Nhờ đó phân bố mẫu của tỉ lệ mẫu xấp xỉ chuẩn và ta được phép dùng thống kê

z

3Bước 3: Độ lệch chuẩn dùng trong mẫu số phải tính từ

p_0

chứ không phải từ tỉ lệ mẫu — đây chính là chỗ đề thi hay gài. Vì ta đang giả định

H_0

đúng, sai số chuẩn (standard error) là

\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} = \sqrt{\frac{(0.36)(0.64)}{150}} = \sqrt{0.001536} \approx 0.0392.

Con số

0.0392

cho biết: nếu Na Uy thật sự có tỉ lệ 36%, thì tỉ lệ mẫu của các mẫu 150 người sẽ dao động quanh

0.36

với biên độ điển hình khoảng 3.9 điểm phần trăm.

4Bước 4: Tỉ lệ mẫu quan sát được là

\hat p = 66/150 = 0.44

. Thay vào công thức

z = \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}} = \frac{0.44 - 0.36}{0.0392} \approx 2.04.

Ý nghĩa của

2.04

rất cụ thể: tỉ lệ mẫu quan sát được nằm cao hơn giá trị giả định khoảng hai lần độ dao động điển hình. Thống kê kiểm định luôn là một phép đo khoảng cách như vậy, và vì nó đo bằng đơn vị dao động nên nó không còn phụ thuộc vào đơn vị gốc của dữ liệu.

5Bước 5: Vì đối thuyết hai phía, ta phải cộng cả hai đuôi:

P\text{-value} = 2P(Z > 2.04) \approx 2(0.0207) \approx 0.041

. So sánh với mức ý nghĩa,

0.041 < 0.05

, nên ta bác bỏ

H_0

Thống kê kiểm định là $z \approx 2.04$ với độ lệch chuẩn $\approx 0.0392$ , dẫn tới $P\text{-value} \approx 0.041$ . Vì giá trị này nhỏ hơn $\alpha = 0.05$ , ta bác bỏ giả thuyết không và kết luận rằng có bằng chứng thuyết phục cho thấy tỉ lệ người Na Uy có nhóm máu A dương khác với tỉ lệ 36% của Hoa Kỳ.

2Ví dụ 2/2

Một nhà xã hội học nghi ngờ rằng mức lương trung bình của người có bằng cử nhân và người có bằng thạc sĩ là khác nhau. Từ mẫu ngẫu nhiên 32 người có bằng cử nhân, lương trung bình là 55,000 đô-la với độ lệch chuẩn 3,500 đô-la. Từ một mẫu ngẫu nhiên độc lập gồm 28 người có bằng thạc sĩ, lương trung bình là 58,000 đô-la với độ lệch chuẩn 4,000 đô-la. Kiểm định ở mức ý nghĩa

\alpha = 0.05

aTính thống kê kiểm định cho kiểm định t hai mẫu (two-sample t-test) về hiệu hai trung bình.
bDựa vào giá trị $p$ , đưa ra kết luận trong ngữ cảnh.

1Bước 1: Gọi

\mu_1

là lương trung bình của toàn bộ người có bằng cử nhân và

\mu_2

là lương trung bình của người có bằng thạc sĩ. Cặp giả thuyết là

H_0: \mu_1 - \mu_2 = 0

và

H_a: \mu_1 - \mu_2 \neq 0

. Hai mẫu đều ngẫu nhiên và độc lập với nhau, đồng thời

n_1 = 32

và

n_2 = 28

đều lớn hơn 30, nên phân bố mẫu của hiệu hai trung bình mẫu xấp xỉ chuẩn.

2Bước 2: Cấu trúc của thống kê kiểm định không đổi so với trường hợp tỉ lệ: vẫn là hiệu giữa số liệu quan sát và giá trị giả định, chia cho độ dao động điển hình. Ở đây tử số là

\bar x_1 - \bar x_2 = 55000 - 58000 = -3000

, còn mẫu số là

\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}} = \sqrt{\frac{3500^2}{32} + \frac{4000^2}{28}}.

Hai phương sai được cộng lại chứ không trừ đi nhau, bởi sai số từ mỗi mẫu đều làm hiệu số dao động thêm.

3Bước 3: Tính từng phần:

3500^2/32 = 12{,}250{,}000/32 = 382{,}812.5

và

4000^2/28 = 16{,}000{,}000/28 \approx 571{,}428.6

. Cộng lại được

954{,}241.1

, lấy căn bậc hai cho

\approx 976.9

. Vậy

t = \frac{-3000}{976.9} \approx -3.07.

Dấu âm chỉ ra rằng nhóm cử nhân có lương mẫu thấp hơn, còn độ lớn

3.07

cho biết khoảng cách đó bằng hơn ba lần sai số điển hình của hiệu hai trung bình.

4Bước 4: Với bậc tự do (degrees of freedom) do máy tính đưa ra là

df \approx 54.1

, giá trị

p

hai phía là

2P(T > 3.07) \approx 0.003

. Nếu dùng cách ước lượng thận trọng

df = \min(32-1,\, 28-1) = 27

thì giá trị

p

vào khoảng

0.005

; cả hai con số đều nhỏ hơn

0.05

rất nhiều, nên kết luận không thay đổi. Vì vậy ta bác bỏ

H_0

Thống kê kiểm định là $t \approx -3.07$ với $df \approx 54.1$ , tương ứng $P\text{-value} \approx 0.003$ . Vì $0.003 < 0.05$ , ta bác bỏ giả thuyết không và kết luận có bằng chứng thuyết phục rằng lương trung bình của người có bằng cử nhân khác lương trung bình của người có bằng thạc sĩ, cụ thể là thấp hơn.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.