Đang tải bài học…

AP Statistics

phân phối lấy mẫu của trung bình mẫu

sampling distribution of sample means

Phân phối lấy mẫu của trung bình mẫu là phân phối xác suất của mọi giá trị trung bình mẫu thu được khi lấy mọi mẫu ngẫu nhiên cùng cỡ từ một tổng thể.

Khi một nhà thống kê (statistic) muốn ước lượng trung bình (mean) tổng thể $\mu$ , họ không thể đo toàn bộ tổng thể mà chỉ lấy một mẫu và tính trung bình mẫu $\bar{x}$ . Nếu ta hình dung lặp lại (replication) quá trình đó — lấy vô số mẫu cùng cỡ $n$ , mỗi lần tính $\bar{x}$ — thì toàn bộ các giá trị $\bar{x}$ ấy tạo nên một phân phối riêng, gọi là phân phối lấy mẫu của trung bình mẫu (sampling distribution of sample means). Phân phối này cho biết $\bar{x}$ dao động như thế nào quanh $\mu$ khi ta thay đổi mẫu.

Phân phối lấy mẫu của trung bình mẫu có hai tính chất cốt lõi liên quan đến trung tâm (center) và độ phân tán. Thứ nhất, kỳ vọng (expected value) của $\bar{x}$ bằng chính $\mu$ , tức là $E(\bar{x}) = \mu$ , nghĩa là trung bình mẫu là ước lượng không chệch của trung bình tổng thể — về lâu dài nó không hệ thống vượt cao hay hạ thấp hơn $\mu$ . Thứ hai, độ lệch chuẩn của phân phối này, còn gọi là sai số chuẩn (standard error), được tính bằng công thức $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ , trong đó $\sigma$ là độ lệch chuẩn tổng thể và $n$ là cỡ mẫu. Do đó, mẫu càng lớn thì các giá trị $\bar{x}$ càng tụ chặt quanh $\mu$ .

Về hình dạng, định lý giới hạn trung tâm khẳng định rằng khi $n$ đủ lớn — thực hành thường lấy mốc $n \geq 30$ — phân phối lấy mẫu của $\bar{x}$ xấp xỉ phân phối chuẩn (normal distribution) $N(\mu,\, \sigma/\sqrt{n})$ , bất kể tổng thể gốc có hình dạng ra sao. Ngược lại, nếu tổng thể đã có phân phối chuẩn từ đầu thì phân phối của $\bar{x}$ là chuẩn với mọi $n$ , kể cả $n$ nhỏ. Vì vậy, ta có thể tính xác suất (probability) liên quan đến $\bar{x}$ trong cả hai trường hợp bằng cách chuẩn hóa $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ rồi tra bảng phân phối chuẩn.

Ký hiệu

\bar{x} \sim N\!\left(\mu,\, \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

phân phối mẫu (của một thống kê)sampling distribution of a statistic

Khác nhau ở đâuPhân phối mẫu của một thống kê là khái niệm tổng quát cho mọi thống kê, còn phân phối lấy mẫu của trung bình mẫu chỉ áp dụng riêng cho thống kê trung bình

Hay nhầm khiđề hỏi về phân phối của tỉ lệ mẫu nhưng thí sinh nhầm sang dùng công thức dành cho trung bình mẫu

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 334.

Công thức

\mu_{\bar{x}} = \mu

Dùng để khẳng định trung bình của phân phối lấy mẫu luôn bằng trung bình tổng thể, bất kể cỡ mẫu; đây là lý do trung bình mẫu được gọi là ước lượng không chệch (unbiased estimator) của trung bình tổng thể.

Trong đó

\mu_{\bar{x}}

trung bình của phân phối lấy mẫu

\mu

trung bình tổng thể

\sigma_{\bar{x}} = \htmlClass{fp-1}{\frac{\sigma}{\htmlClass{fp-0}{\sqrt{n}}}}

Dùng khi cần tính sai số chuẩn (standard error) — độ lệch chuẩn của phân phối lấy mẫu — để đo mức biến động của trung bình mẫu; áp dụng khi biết độ lệch chuẩn tổng thể và mẫu được rút ngẫu nhiên.

Trong đó

\sigma_{\bar{x}}

sai số chuẩn của trung bình mẫu

\sigma

độ lệch chuẩn tổng thể

n

cỡ mẫu

Khái niệm này sinh ra từ đâu

đầu thế kỷ 20Carl Friedrich GaussWalter ShewhartW. Edwards Deming

Khái niệm hình thành từ nền móng của Carl Friedrich Gauss ở thế kỷ 18 về trung bình mẫu, rồi được đẩy lên hàng công cụ thực dụng vào đầu thế kỷ 20 khi Walter Shewhart và W. Edwards Deming dùng nó để kiểm soát chất lượng sản xuất. Nó trả lời câu hỏi: nếu lấy mẫu nhiều lần, các trung bình mẫu sẽ rơi rớt theo quy luật nào?

Ở thế kỷ 18, các nhà toán học mà tiêu biểu là Gauss đã đặt nền cho việc lấy trung bình của một nhóm số đo để ước lượng một đại lượng chưa biết. Tuy nhiên, phải đến đầu thế kỷ 20, khi các nhà máy cần biết dây chuyền của mình có đang chạy đúng chuẩn hay không, ý tưởng ấy mới thành công cụ hằng ngày. Người ta không thể đo hết mọi sản phẩm, nên chỉ bốc ra vài chục cái, tính trung bình, rồi lặp lại việc đó theo ca. Nhờ đó nảy ra câu hỏi cốt lõi: bản thân các trung bình ấy phân tán ra sao? Chính câu hỏi này sinh ra phân phối lấy mẫu và toàn bộ thống kê suy diễn (inferential statistics) về sau.

Vì sao mang đúng cái tên này? Cái tên nghe rối vì nó gộp hai tầng vào một cụm, và phải đọc ngược từ sau ra trước mới thông. "Trung bình mẫu" cho biết đơn vị được đem xếp thành phân phối không phải từng cá thể, mà là thống kê tính từ cả một mẫu; "lấy mẫu" cho biết phân phối ấy sinh ra từ việc tưởng tượng rút tất cả các mẫu cỡ $n$ có thể có từ cùng một tổng thể. Do đó đây là phân phối lý thuyết chứ không phải phân phối thực nghiệm: ta không bao giờ lấy đủ chừng ấy mẫu, ta chỉ suy ra hình dạng của nó. Định lý giới hạn trung tâm (central limit theorem) cho biết hình dạng đó là $\bar{x} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$ , nghĩa là các trung bình mẫu xúm quanh trung bình tổng thể $\mu$ với độ phân tán co lại theo $\sqrt{n}$ . Đại lượng $\sigma/\sqrt{n}$ vì thế mang tên riêng là sai số chuẩn (standard error), dùng để đo một trung bình mẫu thường nằm cách $\mu$ bao xa.

Nguồn đối chiếu

Hay hiểu sai

Phân phối của một mẫu cụ thể không phải là phân phối lấy mẫu của trung bình mẫu.

Độ lệch chuẩn của trung bình mẫu chia cho $\sqrt{n}$ , không chia cho $n$ .

Định lý giới hạn trung tâm không làm cho tổng thể trở nên đối xứng.

Ngưỡng $n \ge 30$ không phải điều kiện bắt buộc trong mọi bài.

Trung bình của phân phối lấy mẫu không thay đổi khi cỡ mẫu tăng.

Mẹo phòng thi

Viết rõ ba điều kiện trước khi tính, đừng nhảy thẳng vào con số.

Phân biệt $P(X < a)$ với $P(\bar{x} < a)$ ngay từ dòng đầu lời giải.

Chỉ dùng $\sigma/\sqrt{n}$ cho trung bình mẫu, tuyệt đối không dùng cho tỉ lệ mẫu.

Tần suất trong đề AP Statistics

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một nhà sản xuất công bố rằng thời lượng pin của mẫu điện thoại X có phân phối xấp xỉ chuẩn với trung bình

\mu = 18

giờ và độ lệch chuẩn (standard deviation)

\sigma = 2{,}4

giờ. Một tạp chí công nghệ chọn ngẫu nhiên 9 chiếc điện thoại thuộc mẫu này, đo thời lượng pin của từng chiếc rồi tính thời lượng trung bình của 9 chiếc đó.

aHãy mô tả hình dạng, tâm và độ phân tán của phân phối lấy mẫu của trung bình mẫu $\bar{x}$ .
bTính xác suất để thời lượng pin trung bình của 9 chiếc điện thoại vượt quá 19 giờ.

1Bước 1: Trước hết phải phân biệt rõ hai phân phối. Phân phối của từng chiếc điện thoại có trung bình 18 giờ và độ lệch chuẩn

2{,}4

giờ, còn phân phối lấy mẫu là phân phối của đại lượng

\bar{x}

khi ta lặp lại việc chọn mẫu cỡ 9 vô số lần. Vì đề bài đã cho tổng thể xấp xỉ chuẩn, ta không cần viện đến định lý giới hạn trung tâm (central limit theorem): mọi trung bình mẫu lấy từ tổng thể chuẩn đều có phân phối chuẩn, dù cỡ mẫu chỉ là 9.

2Bước 2: Tâm của phân phối lấy mẫu chính là trung bình tổng thể, tức

\mu_{\bar{x}} = \mu = 18

giờ. Điều này nói rằng trung bình mẫu là một ước lượng không chệch (unbiased estimator) cho

\mu

: nếu tính trung bình của tất cả các giá trị

\bar{x}

có thể có, ta thu lại đúng 18 giờ.

3Bước 3: Độ phân tán được đo bằng

\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2{,}4}{\sqrt{9}} = \frac{2{,}4}{3} = 0{,}8.

Con số

0{,}8

giờ cho biết các trung bình mẫu dao động quanh 18 giờ với biên độ nhỏ hơn hẳn so với từng chiếc điện thoại riêng lẻ, vì việc lấy trung bình đã triệt tiêu bớt các dao động ngẫu nhiên. Ở đây mẫu được chọn ngẫu nhiên và 9 chiếc chắc chắn chiếm chưa tới 10% toàn bộ lô hàng, nên điều kiện độc lập (10% condition) được thỏa mãn.

4Bước 4: Chuyển giá trị 19 giờ sang điểm chuẩn hóa trên phân phối lấy mẫu:

z = \frac{\bar{x} - \mu_{\bar{x}}}{\sigma_{\bar{x}}} = \frac{19 - 18}{0{,}8} = 1{,}25.

Nghĩa là mức 19 giờ nằm cách tâm đúng

1{,}25

lần độ lệch chuẩn của phân phối lấy mẫu.

5Bước 5: Tra bảng chuẩn được

P(Z < 1{,}25) = 0{,}8944

, do đó

P(\bar{x} > 19) = 1 - 0{,}8944 = 0{,}1056.

Đây là phần diện tích nằm bên phải mốc 19 giờ dưới đường cong chuẩn có tâm 18 và độ lệch chuẩn

0{,}8

Phân phối lấy mẫu của $\bar{x}$ có dạng chuẩn với $\mu_{\bar{x}} = 18$ giờ và $\sigma_{\bar{x}} = 0{,}8$ giờ. Xác suất để trung bình thời lượng pin của 9 chiếc điện thoại được chọn ngẫu nhiên vượt quá 19 giờ là khoảng $0{,}1056$ , tức chỉ chừng 11 trong 100 mẫu cỡ 9 cho kết quả cao như vậy.

2Ví dụ 2/2

Thời gian khách phải chờ tại một quầy thủ tục sân bay có phân phối lệch phải rõ rệt, với trung bình

\mu = 4{,}2

phút và độ lệch chuẩn

\sigma = 3{,}0

phút. Trong một ngày cao điểm có hơn 5000 lượt khách qua quầy này, ban quản lý chọn ngẫu nhiên 50 lượt khách và ghi lại thời gian chờ trung bình của họ.

aKiểm tra các điều kiện và cho biết vì sao vẫn có thể xem phân phối lấy mẫu của $\bar{x}$ là xấp xỉ chuẩn dù tổng thể lệch phải.
bTính xác suất để thời gian chờ trung bình của 50 lượt khách này nhỏ hơn 3,5 phút.

1Bước 1: Điều kiện đầu tiên là tính độc lập. Mẫu được chọn ngẫu nhiên, và 50 lượt khách so với hơn 5000 lượt trong ngày thì

50 < 0{,}1 \times 5000 = 500

, nên yêu cầu mẫu không vượt quá 10% tổng thể được thỏa mãn. Nhờ đó các quan sát có thể coi là độc lập với nhau.

2Bước 2: Điều kiện thứ hai liên quan đến hình dạng. Tổng thể lệch phải nên bản thân từng thời gian chờ không có phân phối chuẩn, tuy nhiên cỡ mẫu

n = 50

đã đủ lớn theo quy ước

n \geq 30

. Vì vậy định lý giới hạn trung tâm bảo đảm phân phối lấy mẫu của trung bình mẫu vẫn xấp xỉ chuẩn, dù dữ liệu gốc lệch.

3Bước 3: