Đang tải bài học…

AP Statistics

định lý giới hạn trung tâm

central limit theorem

Còn gọi: CLT · định lý giới hạn trung ương · central limit theorem

Định lý giới hạn trung tâm là định lý nói rằng phân phối mẫu của trung bình mẫu xấp xỉ chuẩn khi cỡ mẫu đủ lớn, bất kể dạng tổng thể.

Khi lấy nhiều mẫu ngẫu nhiên kích thước $n$ từ một tổng thể có trung bình $\mu$ và độ lệch chuẩn (standard deviation) $\sigma$ , mỗi mẫu cho ra một trung bình mẫu $\bar{x}$ . Tập hợp tất cả các giá trị $\bar{x}$ đó tạo thành một phân phối — gọi là phân phối mẫu của $\bar{x}$ — và chính phân phối này mới là đối tượng mà định lý giới hạn trung tâm mô tả.

Định lý khẳng định rằng khi $n$ tăng lên, phân phối mẫu của $\bar{x}$ tiến dần đến phân phối chuẩn với trung bình $\mu_{\bar{x}} = \mu$ và độ lệch chuẩn $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Đại lượng $\sigma_{\bar{x}}$ còn được gọi là sai số chuẩn (standard error): nó đo mức độ dao động của các trung bình mẫu quanh trung bình tổng thể thực sự. Vì mẫu càng lớn thì $\sqrt{n}$ càng lớn, sai số chuẩn càng nhỏ — nghĩa là các trung bình mẫu tụ lại gần $\mu$ hơn.

Trên thực tế, ngưỡng $n \geq 30$ thường được dùng làm tiêu chí đủ lớn khi tổng thể không quá lệch. Tuy nhiên, nếu tổng thể đã có dạng chuẩn ngay từ đầu thì phân phối mẫu của $\bar{x}$ là chuẩn với mọi $n$ , kể cả $n = 1$ . Ngược lại, nếu tổng thể lệch mạnh hoặc có giá trị ngoại lai (outlier) rõ rệt, cỡ mẫu cần thiết để xấp xỉ chuẩn có thể lớn hơn đáng kể. Nhờ định lý này, các phương pháp suy luận thống kê dựa trên phân phối chuẩn — như khoảng tin cậy và kiểm định giả thuyết cho trung bình — đều áp dụng được rộng rãi trong thực tế.

Ký hiệu

• $\bar{x}$ : trung bình mẫu
• $\mu_{\bar{x}} = \mu$
• $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

luật số lớnlaw of large numbers

Khác nhau ở đâuLuật số lớn nói trung bình mẫu hội tụ về trung bình tổng thể khi n tăng, còn định lý giới hạn trung tâm nói về hình dạng phân phối của trung bình mẫu tiến tới phân phối chuẩn

Hay nhầm khiđề hỏi 'tại sao phân phối của trung bình mẫu gần chuẩn' thì cần định lý giới hạn trung tâm, không phải luật số lớn

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 13, 63–64.

Công thức

\htmlClass{fp-0}{\mu_{\bar{x}}} = \htmlClass{fp-1}{\mu}

Dùng để khẳng định rằng phân phối lấy mẫu của trung bình mẫu là ước lượng không chệch của trung bình tổng thể, bất kể hình dạng tổng thể ban đầu.

Trong đó

\mu_{\bar{x}}

trung bình của phân phối lấy mẫu (trung bình của tất cả các trung bình mẫu có thể có)

\mu

trung bình tổng thể

\htmlClass{fp-0}{\sigma_{\bar{x}}} = \htmlClass{fp-3}{\frac{\htmlClass{fp-1}{\sigma}}{\htmlClass{fp-2}{\sqrt{n}}}}

Dùng khi cần tính xác suất liên quan đến trung bình mẫu $\bar{x}$ , hoặc khi muốn thấy rằng tăng cỡ mẫu sẽ làm hẹp phân phối lấy mẫu lại.

Trong đó

\sigma_{\bar{x}}

sai số chuẩn của phân phối lấy mẫu

\sigma

độ lệch chuẩn của tổng thể

n

cỡ mẫu

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1733 (dạng sơ khai) — 1810 (dạng chuẩn) — 1920 (được đặt tên)Abraham de MoivrePierre-Simon LaplaceSiméon-Denis PoissonGeorge Pólya

Định lý giới hạn trung tâm được Abraham de Moivre phát hiện ở dạng sơ khai năm 1733 khi ông tìm cách tính gần đúng xác suất của phân phối nhị thức (binomial distribution), rồi được Pierre-Simon Laplace chứng minh ở dạng chuẩn năm 1810; tên gọi hiện nay do George Pólya đặt năm 1920.

Bài toán khởi đầu rất cụ thể: tính xác suất trong các phép thử lặp đi lặp lại. Năm 1733, de Moivre nhận ra có thể xấp xỉ các xác suất của phân phối nhị thức bằng tích phân của $e^{-x^2}$ , dù lúc ấy chưa ai nghĩ hàm này là mật độ của một phân phối xác suất. Gần một thế kỷ sau, Laplace chứng minh dạng chuẩn của định lý vào năm 1810: tổng hoặc trung bình của một dãy vô hạn các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối, sau khi được co giãn thích hợp, sẽ tiến về phân phối chuẩn. Poisson tiếp nối mười bốn năm sau đó bằng một quá trình cải tiến và tổng quát hóa kéo dài, và phải đến thập niên 1920 định lý mới được phát biểu chính xác ở dạng hiện đại.

Vì sao mang đúng cái tên này? Điều thú vị là suốt gần hai trăm năm, kết quả này tồn tại mà không có tên. De Moivre không gọi phát hiện của mình là "định lý giới hạn trung tâm", và ông cũng không thể dùng chữ "Gauss" cho tích phân của mình vì Gauss sinh sau phát hiện đó tới bốn mươi bốn năm. Mãi đến năm 1920, khi định lý đã gần đạt dạng hoàn chỉnh, George Pólya mới đặt cho nó cái tên vẫn dùng đến hôm nay. Chữ "giới hạn" phản ánh đúng nội dung phát biểu: phân phối của trung bình mẫu đã chuẩn hóa hội tụ về phân phối chuẩn (normal distribution) khi cỡ mẫu tăng vô hạn, nghĩa là kết luận chỉ đúng ở dạng giới hạn chứ không đúng tuyệt đối với mọi $n$ . Còn phần "trung tâm" gắn với vị trí then chốt của định lý trong lý thuyết xác suất, bởi chính nó giải thích vì sao phân phối chuẩn xuất hiện thường xuyên đến thế và vì sao các phương pháp thống kê xây dựng cho phân phối chuẩn lại áp dụng được cho vô số bài toán có phân phối gốc hoàn toàn khác.

Nguồn đối chiếu

Hay hiểu sai

Định lý nói về phân phối của trung bình mẫu, không nói về dữ liệu trong một mẫu.

Mốc $n \ge 30$ chỉ là quy ước thực hành, không phải ranh giới thần kỳ.

Độ lệch chuẩn của trung bình mẫu là $\sigma/\sqrt{n}$ , không phải $\sigma$ .

Định lý không khẳng định $\bar{x}$ tiến dần về $\mu$ khi lấy thêm dữ liệu.

Mẹo phòng thi

Với câu hỏi về central limit theorem, hãy chọn phương án nói về sampling distribution of the sample mean.

Trong bài tự luận, phải viết ra điều kiện chứ không được ngầm hiểu.

Đừng đem mốc $n \ge 30$ sang bài toán về tỉ lệ.

Tần suất trong đề AP Statistics

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Thu nhập một năm của các hộ gia đình trong một thành phố có phân phối lệch phải rất mạnh, với trung bình

\mu = 62

(triệu đồng) và độ lệch chuẩn (standard deviation)

\sigma = 28

(triệu đồng). Một nhà nghiên cứu lấy nhiều mẫu ngẫu nhiên độc lập, mỗi mẫu gồm

n = 100

hộ, và với mỗi mẫu lại tính trung bình mẫu

\bar{x}

. Dưới đây là năm phát biểu về tình huống này: (A) Khi

n

đủ lớn, dữ liệu trong một mẫu cụ thể sẽ có dạng gần chuẩn. (B) Khi

n

đủ lớn, phân phối của các trung bình mẫu

\bar{x}

sẽ gần chuẩn. (C) Khi

n

đủ lớn, phân phối thu nhập của toàn bộ dân cư thành phố sẽ trở nên gần chuẩn. (D) Phân phối của

\bar{x}

có cùng độ lệch chuẩn với tổng thể, tức bằng 28. (E) Không thể nói gì về phân phối của

\bar{x}

vì tổng thể không chuẩn.

aPhát biểu nào được bảo chứng bởi định lý giới hạn trung tâm? Which of the following statements is justified by the central limit theorem?
bGiải thích ngắn gọn vì sao mỗi phát biểu còn lại là sai.
cNêu trung bình và độ lệch chuẩn của phân phối các trung bình mẫu khi $n = 100$ .

1Bước 1: Trước hết phải xác định định lý này nói về đối tượng nào. Nó không nói về dữ liệu trong một mẫu, cũng không nói về tổng thể, mà nói về phân phối của các trung bình mẫu (sampling distribution) — tức là phân phối tưởng tượng thu được nếu ta lấy đi lấy lại vô số mẫu cùng cỡ và ghi lại giá trị

\bar{x}

của từng mẫu. Do đó, ngay khi đọc đề trắc nghiệm dạng này, việc đầu tiên là gạch chân xem mỗi phương án đang mô tả tập hợp nào trong ba tập hợp: mẫu, tổng thể, hay tập các trung bình mẫu.

2Bước 2: Chiếu tiêu chí đó vào từng phương án, chỉ có (B) nói đúng đối tượng. Nội dung của định lý là: với cỡ mẫu đủ lớn, phân phối của

\bar{x}

xấp xỉ phân phối chuẩn (normal distribution) bất kể tổng thể ban đầu có hình dạng gì. Vì

n = 100 \ge 30

nên điều kiện cỡ mẫu lớn được thỏa mãn, và độ lệch phải của tổng thể không cản trở kết luận này. Vậy đáp án là (B).

3Bước 3: Bốn phương án còn lại đều là những hiểu nhầm quen thuộc mà đề AP cố tình gài. Phương án (A) sai vì khi tăng cỡ mẫu thì biểu đồ dữ liệu của một mẫu càng giống hình dạng tổng thể, nghĩa là càng lệch phải rõ hơn chứ không hề chuẩn hóa. Phương án (C) sai vì tổng thể là cái có sẵn, việc ta lấy mẫu không làm thay đổi được phân phối thu nhập của cả thành phố. Ngược lại, (D) sai vì trung bình mẫu biến động ít hơn hẳn một quan sát đơn lẻ, còn (E) sai vì chính điểm mạnh của định lý là nó không đòi hỏi tổng thể phải chuẩn.

4Bước 4: Cuối cùng, tính hai tham số của phân phối các trung bình mẫu theo hai công thức

\mu_{\bar{x}} = \mu = 62 \qquad \text{và} \qquad \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{28}{\sqrt{100}} = \frac{28}{10} = 2{,}8.

Công thức thứ nhất nói rằng trung bình mẫu là ước lượng không chệch của trung bình tổng thể, còn công thức thứ hai — gọi là sai số chuẩn (standard error) — cho thấy độ biến động của

\bar{x}

nhỏ hơn độ biến động của từng hộ đúng

\sqrt{100} = 10

lần.

Phát biểu (B) là phát biểu duy nhất được định lý giới hạn trung tâm bảo chứng: dù thu nhập hộ gia đình lệch phải mạnh, với $n = 100$ thì phân phối của các trung bình mẫu vẫn xấp xỉ chuẩn, có trung bình $62$ triệu đồng và độ lệch chuẩn $2{,}8$ triệu đồng. Các phương án còn lại lần lượt nhầm phân phối mẫu với phân phối các trung bình mẫu, nhầm sang tổng thể, quên chia cho $\sqrt{n}$ , hoặc áp đặt sai điều kiện tổng thể phải chuẩn.

2Ví dụ 2/2

Thời gian một khách hàng phải chờ tại quầy thủ tục của một sân bay có phân phối lệch phải, với trung bình

\mu = 12{,}5

phút và độ lệch chuẩn

\sigma = 4{,}5

phút. Ban quản lý chọn ngẫu nhiên

81

khách hàng trong một ngày và ghi lại thời gian chờ của họ.

aMô tả hình dạng, trung bình và độ lệch chuẩn của phân phối các trung bình mẫu $\bar{x}$ , kèm lý do vì sao được phép mô tả hình dạng như vậy.
bTính xác suất để thời gian chờ trung bình của $81$ khách này vượt quá $13{,}4$ phút.
cNếu chỉ chọn $9$ khách hàng thay vì $81$ , lời giải ở ý (b) còn dùng được không?

1Bước 1: Vì cỡ mẫu

n = 81

lớn hơn ngưỡng

30

thường dùng, định lý giới hạn trung tâm cho phép xem phân phối của

\bar{x}

là xấp xỉ chuẩn, dù thời gian chờ của từng khách lệch phải. Tâm và độ phân tán của phân phối này được tính trực tiếp:

\mu_{\bar{x}} = 12{,}5 \qquad \text{và} \qquad \sigma_{\bar{x}} = \frac{4{,}5}{\sqrt{81}} = \frac{4{,}5}{9} = 0{,}5.

Nói cách khác, trung bình của

81

khách dao động quanh

12{,}5

phút với biên độ điển hình chỉ nửa phút, nhỏ hơn nhiều so với

4{,}5

phút của từng cá nhân.

2Bước 2: Chuyển giá trị cần xét về đơn vị độ lệch chuẩn của phân phối các trung bình mẫu:

z = \frac{\bar{x} - \mu_{\bar{x}}}{\sigma_{\bar{x}}} = \frac{13{,}4 - 12{,}5}{0{,}5} = \frac{0{,}9}{0{,}5} = 1{,}8.

Kết quả này cho biết mức

13{,}4

phút nằm cao hơn tâm đúng

1{,}8

lần sai số chuẩn. Lưu ý mẫu số là

0{,}5

chứ không phải

4{,}5

; đổi nhầm mẫu số là lỗi phổ biến nhất ở dạng câu này.