AP Statistics

luật số lớn

law of large numbers

Còn gọi: quy luật số lớn · định luật số lớn

Luật số lớn là nguyên lý nói rằng khi số lần thử tăng lên, tần suất tương đối của một biến cố tiến dần đến xác suất lý thuyết của nó.

Luật số lớn (law of large numbers) xuất phát từ quan sát rằng xác suất không phải là tính chất của một lần thử đơn lẻ, mà là tính chất của chuỗi dài các lần thử. Nếu gọi $f$ là số lần biến cố xảy ra trong $n$ lần thử, thì tần suất tương đối được tính bằng $f/n$ . Luật số lớn khẳng định rằng khi $n$ tăng không giới hạn, $f/n$ sẽ tiệm cận xác suất lý thuyết $p$ của biến cố, nghĩa là sai lệch giữa $f/n$ và $p$ trở nên tùy ý nhỏ.

Điều quan trọng cần lưu ý là luật này mô tả xu hướng dài hạn, không phải hành vi ngắn hạn. Trong vài chục lần tung đồng xu, tỉ lệ mặt ngửa có thể dao động khá xa mốc 0,5. Tuy nhiên, sau hàng nghìn lần tung, tỉ lệ đó gần như chắc chắn sẽ nằm sát 0,5. Do đó, xác suất được hiểu là tần suất tương đối trong dài hạn — đây chính là nền tảng để giải thích ý nghĩa của con số xác suất trong thực tế.

Một hệ quả thực tiễn của luật số lớn là lý do các công ty bảo hiểm và sòng bài vẫn có lợi nhuận ổn định dù mỗi khách hàng hay mỗi ván bài mang kết quả ngẫu nhiên. Ngược lại, luật số lớn không hề ủng hộ quan niệm sai lầm rằng sau chuỗi thua liên tiếp thì lần thắng sắp đến — nếu các lần thử là độc lập với nhau, xác suất của lần thử tiếp theo hoàn toàn không phụ thuộc vào kết quả trước. Không tồn tại "quy luật số nhỏ" hay "quy luật bù trừ" nào tương tự.

Trực giác: Giống như điểm trung bình học kỳ sau ba bài kiểm tra có thể lên xuống thất thường, nhưng nếu cộng thêm hàng trăm bài nữa thì điểm trung bình sẽ phản ánh đúng năng lực thực sự của học sinh.

Công thức

\hat{p}_n = \htmlClass{fp-1}{\frac{\htmlClass{fp-0}{X_n}}{n}}

Dùng để tính tần số tương đối (relative frequency) sau $n$ phép thử; luật số lớn phát biểu rằng $\hat{p}_n \to p$ khi $n \to \infty$ .

Trong đó

\hat{p}_n

tần số tương đối sau

n

phép thử

X_n

số lần kết quả quan tâm xuất hiện trong

n

phép thử

n

tổng số phép thử

p

xác suất lý thuyết của kết quả

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1713Jacob BernoulliSiméon Denis PoissonPafnuty ChebyshevAndrey Kolmogorov

Luật số lớn được Jacob Bernoulli chứng minh chặt chẽ lần đầu vào năm 1713 trong cuốn sách xuất bản sau khi ông mất, nhằm trả lời câu hỏi liệu quan sát càng nhiều lần thì tỉ lệ thu được có tiến gần tới xác suất thật hay không. Cái tên hiện dùng do Siméon Denis Poisson đặt năm 1837.

Thử nghiệm tương tác

Quay thử nhiều lần — nhìn tần suất bò dần về xác suất lý thuyết

Hay hiểu sai

Đồng xu không nhớ những lần tung trước.

Luật số lớn nói về tỉ lệ, không nói về hiệu số đếm được.

Luật số lớn khác định lý giới hạn trung tâm.

Mẫu lớn không cứu được mẫu thiên lệch.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một vận động viên bóng rổ có xác suất ném phạt thành công thật sự là

p = 0{,}72

và các lần ném được xem là độc lập với nhau (independent). Người ta cho máy tính mô phỏng chuỗi ném phạt của anh ta và ghi lại số lần thành công tích lũy tại ba mốc: sau 20 lần ném có 11 lần vào rổ, sau 200 lần ném có 137 lần vào rổ, và sau 2000 lần ném có 1431 lần vào rổ.

aTính tần suất tương đối (relative frequency) của biến cố "vào rổ" tại ba mốc và cho biết dãy số liệu này minh họa điều gì.
bTrong trận đấu tối đó, vận động viên đã ném hỏng 5 quả phạt liên tiếp. Một khán giả nói: "Quả tiếp theo chắc chắn vào, vì anh ấy đang nợ một quả trúng." Hãy đánh giá nhận định này.
cSau 20 lần ném đầu tiên, vận động viên mới có 11 lần vào rổ trong khi "đáng lẽ" phải có khoảng $0{,}72 \times 20 = 14{,}4$ lần. Có phải trong những lần ném kế tiếp anh ta sẽ ném trúng nhiều hơn bình thường để bù lại phần thiếu hụt đó không?

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · bài “Giới thiệu xác suất” — khoá AP Statistics

Dẫn tớiđịnh lý giới hạn trung tâm

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

định lý giới hạn trung tâmcentral limit theorem

Khác nhau ở đâuLuật số lớn nói về sự hội tụ của trung bình mẫu về kỳ vọng, còn định lý giới hạn trung tâm nói về hình dạng phân phối của trung bình mẫu tiến gần phân phối chuẩn

Hay nhầm khiđề hỏi tại sao phân phối của trung bình mẫu xấp xỉ chuẩn — đó là định lý giới hạn trung tâm, không phải luật số lớn

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 12, 270–271.

1Bước 1: Tần suất tương đối là số lần biến cố xảy ra chia cho tổng số phép thử. Lần lượt tại ba mốc ta có

11/20 = 0{,}550

137/200 = 0{,}685

và

1431/2000 = 0{,}7155

. Ba con số này chính là ước lượng của xác suất thật dựa trên dữ liệu quan sát được tính đến từng thời điểm.

2Bước 2: So sánh mỗi tần suất với xác suất thật

p = 0{,}72

bằng khoảng cách tuyệt đối:

|0{,}550 - 0{,}72| = 0{,}170

, rồi

|0{,}685 - 0{,}72| = 0{,}035

, và cuối cùng

|0{,}7155 - 0{,}72| = 0{,}0045

. Khoảng cách giảm dần khi số phép thử tăng lên, đúng như luật số lớn phát biểu: càng lặp lại nhiều, tần suất tương đối càng có xu hướng tiến sát xác suất thật. Đây là toàn bộ nội dung của ý (a) — xác suất chính là tần suất tương đối về lâu dài.

3Bước 3: Sang ý (b), điều cần nhớ là luật số lớn hoàn toàn không nói gì về hành vi ngắn hạn. Vì các lần ném độc lập, kết quả của 5 quả hỏng vừa rồi không hề làm thay đổi xác suất của quả thứ sáu; xác suất ấy vẫn đúng bằng

0{,}72

. Nhận định của khán giả là một dạng ngụy biện con bạc (gambler's fallacy), tức là niềm tin rằng quá khứ phải được "trả nợ" trong tương lai gần.

4Bước 4: Ý (c) hỏi cùng một sai lầm nhưng ở dạng tinh vi hơn, nên phải chỉ ra cơ chế thật sự. Sau 20 lần ném, phần thiếu hụt là

14{,}4 - 11 = 3{,}4

quả, và không có lực nào kéo con số này về không cả. Tần suất tương đối tiến về

0{,}72

không phải vì các kết quả sau bù cho các kết quả trước, mà vì mẫu số ngày càng lớn làm cho phần lệch ban đầu bị pha loãng đi. Chẳng hạn ở mốc 2000 lần, phần thiếu hụt tuyệt đối là

0{,}72 \times 2000 - 1431 = 9

quả, lớn hơn 3,4 quả lúc đầu, nhưng chia cho 2000 thì chỉ còn ảnh hưởng

0{,}0045

đến tần suất.

2Ví dụ 2/2

Bàn quay roulette kiểu Mỹ có 38 ô, trong đó 18 ô đỏ, 18 ô đen và 2 ô xanh. Mỗi lần quay là một phép thử độc lập với các lần khác. Một người chơi đặt 1 đô la vào màu đỏ: nếu ra đỏ anh ta được thêm 1 đô la, nếu ra màu khác anh ta mất 1 đô la. Sau khi chứng kiến 6 lần quay ra đen liên tiếp, người chơi tuyên bố "đỏ đang tới hạn phải ra" và đặt cược.

aTính xác suất lần quay thứ bảy ra màu đỏ và bình luận về lập luận của người chơi.
bTính giá trị kỳ vọng của tiền lãi mỗi lần cược 1 đô la, rồi giải thích vì sao sòng bạc có thể thua trong một buổi tối nhưng vẫn lãi đều đặn qua nhiều năm.

1Bước 1: Vì mỗi lần quay độc lập với các lần trước, chuỗi 6 lần đen không để lại dấu vết nào lên bàn quay. Do đó xác suất ra đỏ ở lần thứ bảy vẫn là

18/38 \approx 0{,}474

. Không tồn tại cái gọi là "luật số nhỏ" hay "luật trung bình" buộc màu đỏ phải xuất hiện để cân bằng lại; đây lại là ngụy biện con bạc.

2Bước 2: Gọi

X

là tiền lãi của người chơi trong một lần cược 1 đô la, khi đó

X = 1

với xác suất

18/38

và

X = -1

với xác suất

20/38

. Giá trị kỳ vọng (expected value) là

E(X) = (1)\left(\frac{18}{38}\right) + (-1)\left(\frac{20}{38}\right) = -\frac{2}{38} \approx -0{,}0526.

Trung bình mỗi lần cược 1 đô la, người chơi mất khoảng 5,3 xu, tức là sòng bạc lãi khoảng 5,3 xu.

3Bước 3: Trong một buổi tối chỉ có vài chục ván, tần suất thắng của khách hoàn toàn có thể cao hơn

18/38

và sòng bạc lỗ nặng, bởi luật số lớn không hứa hẹn gì cho những dãy ngắn. Ngược lại, khi số ván lên tới hàng triệu, tiền lãi trung bình mỗi ván của sòng bạc sẽ bám sát

0{,}0526

đô la. Với 1 000 000 ván cược 1 đô la, lợi nhuận kỳ vọng là

1\,000\,000 \times \frac{2}{38} \approx 52\,632

đô la, và độ dao động quanh con số này là nhỏ so với chính nó.

Xác suất ra đỏ ở lần quay thứ bảy vẫn là $18/38 \approx 0{,}474$ , nên lập luận "đỏ đang tới hạn" không có cơ sở: các lần quay độc lập nên quá khứ không điều chỉnh tương lai. Mỗi lần cược 1 đô la, người chơi lỗ kỳ vọng khoảng $0{,}053$ đô la; do luật số lớn, khi số ván rất lớn thì lãi trung bình thực tế của sòng bạc hội tụ về đúng con số đó, cho nên sòng bạc chấp nhận rủi ro thua trong ngắn hạn mà vẫn chắc chắn có lợi nhuận về lâu dài.