Đang tải bài học…

AP Statistics

xác suất

probability

Còn gọi: P(A) · P(B) · prob · P(E) · xác suất của một biến cố

Xác suất là con số từ 0 đến 1 đo khả năng xảy ra của một biến cố; 0 nghĩa là không bao giờ xảy ra, 1 nghĩa là chắc chắn xảy ra.

Xác suất của biến cố (probability of an event) là nền tảng để thống kê suy luận từ mẫu sang tổng thể. Khi ta tiến hành một phép thử ngẫu nhiên — chẳng hạn tung đồng xu, rút một học sinh từ danh sách hay đo huyết áp của một bệnh nhân được chọn ngẫu nhiên — kết quả không thể biết trước, nhưng ta có thể gán cho mỗi biến cố một con số phản ánh khả năng xảy ra của nó. Con số đó chính là xác suất $P(A)$ của biến cố $A$ .

Do đó, để xây dựng lý thuyết chặt chẽ, xác suất phải thỏa mãn ba tiên đề cơ bản: $0 \le P(A) \le 1$ với mọi biến cố $A$ ; xác suất của không gian mẫu bằng 1, tức $P(S) = 1$ ; và nếu $A$ , $B$ là hai biến cố xung khắc (mutually exclusive events) thì $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ . Từ ba tính chất này, vì vậy mọi quy tắc tính xác suất khác đều được suy ra, trong đó có quy tắc bù $P(A^c) = 1 - P(A)$ , nghĩa là xác suất của biến cố đối lập bằng một trừ đi xác suất của biến cố gốc.

Trong thực hành, xác suất có thể được ước lượng theo hai cách. Cách thứ nhất là xác suất lý thuyết: nếu không gian mẫu gồm $N$ kết quả đồng khả năng thì $P(A) = k/N$ , trong đó $k$ là số kết quả thuộc $A$ . Ngược lại, khi không thể đếm trực tiếp, ta dùng cách thứ hai là xác suất thực nghiệm hay xác suất tương đối tần số (frequency): sau $n$ lần thử, nếu $A$ xuất hiện $f$ lần thì $\hat{P}(A) = f/n$ . Theo luật số lớn (law of large numbers), $\hat{P}(A)$ tiến gần đến $P(A)$ khi $n$ tăng lên; do đó, mô phỏng với số lần lặp đủ lớn là công cụ hợp lệ để ước lượng xác suất khi tính toán lý thuyết trở nên phức tạp.

Ký hiệu

• $P(A)$ , $P(B)$ , $P(E)$ — xác suất của biến cố $A$ , $B$ , hoặc $E$ tương ứng
• $P(A^c) = 1 - P(A)$ — xác suất của biến cố đối lập.

Trực giác: Xác suất giống như tỉ lệ phần trăm của một vùng trên tấm bia bắn: nếu mũi tên rơi hoàn toàn ngẫu nhiên, vùng nào rộng hơn thì khả năng trúng cao hơn.

Công thức

P(A) = \htmlClass{fp-1}{\frac{\htmlClass{fp-0}{n(A)}}{n(S)}}

Dùng khi không gian mẫu hữu hạn và mỗi kết quả có khả năng xảy ra như nhau (xác suất cổ điển).

Trong đó

P(A)

Xác suất của sự kiện A, nhận giá trị trong đoạn [0, 1].

n(A)

Số kết quả thuộc sự kiện A.

n(S)

Tổng số kết quả trong không gian mẫu (sample space) S.

0 \leq P(A) \leq 1

Ràng buộc nền tảng: xác suất không thể âm và không thể vượt quá 1; mọi quy tắc tính xác suất đều phải thỏa mãn bất đẳng thức này.

Trong đó

Thử nghiệm tương tác

Chọn biến cố, rồi quay thử — xem tần suất bò về đúng con số xác suất

Hay hiểu sai

"Ít nhất 8" không phải là "đúng bằng 8".

Xác suất là tần suất tương đối về lâu dài, không phải lời hứa cho từng lần thử.

Đừng gán nhầm số mũ cho hai chiều thành công và thất bại.

Chuyển câu chữ sang bất đẳng thức trước, đổi sang $z$ sau.

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một thí nghiệm nếm thử "mù" được tiến hành với 9 tình nguyện viên nhằm xem người ta có phân biệt được nước đóng chai với nước máy hay không. Mỗi người nếm nước từ hai cốc rồi chỉ ra cốc nào chứa nước máy. Giả sử thực tế không ai phân biệt được vị của hai loại nước này, nên mỗi người chỉ đơn thuần đoán ngẫu nhiên, và các lựa chọn của 9 người là độc lập với nhau.

aGọi tên phân phối của số người chỉ đúng cốc nước máy và nêu các tham số của nó.
bTính xác suất có ít nhất 8 trong 9 người chỉ đúng cốc nước máy.
cNếu kết quả thật sự có 8 người chỉ đúng, điều đó gợi ý gì về giả định rằng người ta không phân biệt được hai loại nước?

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · bài “Giới thiệu xác suất” — khoá AP Statistics

Dẫn tớiphân phối xác suất

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

xác suất có điều kiệnconditional probability

Khác nhau ở đâuXác suất thông thường tính trên toàn không gian mẫu, còn xác suất có điều kiện (conditional probability) thu hẹp không gian mẫu xuống một biến cố đã biết xảy ra

Hay nhầm khiđề cho bảng hai chiều và hỏi "xác suất A" so với "xác suất A biết B" — học sinh hay tính nhầm mẫu số

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 27, 35, 60.

P(A)

Xác suất của sự kiện A bất kỳ.

P(A^c) = 1 - P(A)

Dùng để tính xác suất của sự kiện đối lập (complement) khi biết xác suất của sự kiện gốc — đặc biệt hữu ích trong bài toán "ít nhất một lần".

Trong đó

A^c

Sự kiện bù (complement) của A, tức là tập hợp mọi kết quả không thuộc A.

P(A)

Xác suất sự kiện A xảy ra.

Chọn biến cố, rồi quay thử — xem tần suất bò về đúng con số xác suất

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Viết ký hiệu xác suất đầy đủ trước khi bấm máy tính.

Câu trắc nghiệm hỏi "biểu thức nào" thì đừng mất thời gian tính ra số.

Kiểm tra nhanh: mọi xác suất phải nằm trong khoảng từ 0 đến 1 và phải hợp lý về độ lớn.

Tần suất trong đề AP StatisticsHay gặp

Bước 1: Trước hết ta đặt tên cho đại lượng cần tính xác suất, vì mọi bài toán loại này đều bắt đầu bằng việc mô tả rõ ta đang đếm cái gì. Gọi

X

là số người trong 9 người chỉ đúng cốc chứa nước máy. Mỗi người chỉ có hai kết cục (đúng hoặc sai), số lần thử cố định là

n=9

, các lần thử độc lập, và vì giả định là không ai phân biệt được vị nên mỗi người chỉ đoán ngẫu nhiên giữa hai cốc, tức

p=0.5

với mọi người. Bốn điều kiện đó chính là dấu hiệu của phân phối nhị thức (binomial distribution), nên ta viết

X \sim B(n=9,\ p=0.5)

2Bước 2: Tiếp theo phải dịch cụm "ít nhất 8" thành biên giá trị cụ thể, bởi đây là chỗ thí sinh mất điểm nhiều nhất. Vì

X

chỉ nhận các giá trị nguyên từ 0 đến 9, biến cố "ít nhất 8 người đúng" gồm đúng hai trường hợp rời nhau là

X=8

và

X=9

. Do hai trường hợp này không thể cùng xảy ra, ta được

P(X \ge 8)=P(X=8)+P(X=9)

3Bước 3: Bây giờ mới thay vào công thức xác suất của phân phối nhị thức,

P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

, trong đó

\binom{n}{k}

là số cách chọn

k

người đúng trong

n

người. Với

p=1-p=0.5

, mọi số hạng đều rút gọn về lũy thừa của

0.5

P(X=8)=\binom{9}{8}(0.5)^8(0.5)^1=9(0.5)^9=\frac{9}{512},\qquad P(X=9)=\binom{9}{9}(0.5)^9=\frac{1}{512}.

Công thức này nói rằng xác suất của một kết cục cụ thể là

(0.5)^9

, còn hệ số

\binom{9}{8}=9

đếm xem có bao nhiêu cách để "đúng 8 người" xảy ra.

4Bước 4: Cộng hai số hạng lại ta có

P(X \ge 8)=\frac{9}{512}+\frac{1}{512}=\frac{10}{512}\approx 0.0195

. Nên trình bày cả biểu thức lẫn số thập phân, chứ đừng chỉ ghi cú pháp máy tính, vì bài chấm đòi hỏi thấy được phân phối, tham số và biên giá trị. Con số

0.0195

nhỏ hơn ngưỡng quen thuộc

0.05

, nghĩa là nếu quả thật không ai phân biệt được vị thì kết quả "ít nhất 8 người đúng" chỉ xảy ra khoảng 2 lần trong 100 lần lặp lại thí nghiệm.

Số người chỉ đúng cốc nước máy tuân theo phân phối nhị thức với $n=9$ và $p=0.5$ , và xác suất có ít nhất 8 trong 9 người chỉ đúng là $P(X \ge 8)=10/512 \approx 0.0195$ . Vì đây là một kết quả hiếm dưới giả định rằng không ai phân biệt được nước đóng chai với nước máy, việc quan sát thấy 8 người đoán đúng là bằng chứng đáng kể chống lại giả định đó: nhiều khả năng người ta thật sự nếm ra được sự khác biệt giữa hai loại nước.

2Ví dụ 2/2

Một trò chơi trong công viên giải trí yêu cầu người chơi phải cao từ

48

inch trở lên. Chiều cao của trẻ sáu tuổi có phân phối xấp xỉ chuẩn với trung bình

45.2

inch và độ lệch chuẩn (standard deviation)

1.75

inch.

aTính xác suất một trẻ sáu tuổi được chọn ngẫu nhiên KHÔNG đủ chiều cao để chơi trò này.
bChọn ngẫu nhiên và độc lập 4 trẻ sáu tuổi. Tính xác suất có ít nhất một trẻ đủ chiều cao.

1Bước 1: Khác với thí nghiệm nếm thử ở trên, chiều cao là đại lượng liên tục nên xác suất ở đây là diện tích dưới đường cong chứ không phải tổng của vài số hạng rời rạc. Gọi

H

là chiều cao của một trẻ sáu tuổi được chọn ngẫu nhiên, ta có

H \sim N(\mu=45.2,\ \sigma=1.75)

. Trẻ không đủ điều kiện chơi khi

H < 48

, vậy đại lượng cần tìm là

P(H<48)

2Bước 2: Để tra được bảng chuẩn, ta chuyển giá trị biên

48

về điểm

z

(z-score) bằng công thức

z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}

, tức là đếm xem giá trị đó cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn. Thay số:

z=\frac{48-45.2}{1.75}=\frac{2.8}{1.75}=1.6.

Kết quả này cho biết mốc

48

inch nằm cao hơn chiều cao trung bình đúng

1.6

độ lệch chuẩn, nên phần lớn trẻ sáu tuổi sẽ nằm bên trái mốc đó.

3Bước 3: Tra bảng xác suất chuẩn tại

z=1.6

ta được diện tích bên trái là

0.9452

, do đó

P(H<48)=P(Z<1.6)\approx 0.945

. Vậy khoảng

94.5\%

trẻ sáu tuổi không đạt yêu cầu chiều cao, và phần còn lại

P(H \ge 48)=1-0.9452=0.0548

mới đủ điều kiện chơi. Việc lấy

1

trừ đi diện tích đã biết chính là quy tắc phần bù (complement rule), công cụ sẽ dùng tiếp ở ý (b).

4Bước 4: Với 4 trẻ được chọn độc lập, tính trực tiếp "ít nhất một trẻ đủ cao" sẽ phải cộng bốn trường hợp rời nhau, rất dài. Ngược lại, biến cố đối của nó chỉ có một trường hợp duy nhất là cả 4 trẻ đều không đủ cao, và vì độc lập nên xác suất bằng tích:

P(\text{at least one}) = 1-(0.9452)^4 = 1-0.7982 = 0.2018.

Nói cách khác, chỉ cần một lần lấy phần bù là ta thay bốn phép cộng bằng một phép nhân, đúng theo lối rút gọn quen thuộc trong các câu hỏi dạng "ít nhất một".

Xác suất một trẻ sáu tuổi được chọn ngẫu nhiên không đạt yêu cầu chiều cao $48$ inch là khoảng $0.945$ , tức gần $95\%$ trẻ ở tuổi này còn quá thấp để chơi trò đó. Khi chọn ngẫu nhiên 4 trẻ độc lập, xác suất có ít nhất một trẻ đủ cao chỉ vào khoảng $0.202$ , nghĩa là trong khoảng một phần năm số nhóm bốn trẻ sáu tuổi mới có ít nhất một em được lên tàu.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.