phân phối xác suất

Một biến ngẫu nhiên nhận nhiều giá trị khác nhau, nhưng không phải giá trị nào cũng xuất hiện thường xuyên như nhau. Phân phối xác suất (probability distribution) mô tả chính xác điều đó: nó cho biết mỗi giá trị có bao nhiêu khả năng xảy ra. Chẳng hạn, khi gieo một con xúc xắc cân đối, mỗi mặt từ 1 đến 6 đều có xác suất (probability) $1/6$; tập hợp sáu xác suất bằng nhau ấy chính là một phân phối xác suất.

Với biến ngẫu nhiên rời rạc, phân phối được mô tả bằng hàm khối xác suất $P(X = x_i) = p_i$, trong đó mỗi $p_i \geq 0$ và $\sum p_i = 1$. Ngược lại, với biến ngẫu nhiên liên tục, xác suất không gán cho từng điểm riêng lẻ mà trải dọc theo một đường cong gọi là hàm mật độ xác suất $f(x)$. Khi đó, xác suất rơi vào khoảng $[a, b]$ được tính bằng diện tích dưới đường cong: $P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,dx$, và toàn bộ diện tích luôn bằng 1.

Từ phân phối xác suất, ta tính được kỳ vọng $\mu = \sum x_i p_i$ và phương sai $\sigma^2 = \sum (x_i - \mu)^2 p_i$. Vì vậy, phân phối xác suất không chỉ liệt kê các kết quả có thể xảy ra mà còn là nền tảng để suy ra mọi tham số (parameter) đặc trưng cho hình dạng của phân phối. Do đó, nắm vững phân phối xác suất giúp học sinh hiểu rõ cả độ phân tán lẫn xu hướng tập trung của một biến ngẫu nhiên.