Đang tải bài học…

AP Statistics

kỳ vọng

expected value

Còn gọi: giá trị kỳ vọng · E(X) · kì vọng

Kỳ vọng là giá trị trung bình lý thuyết của một biến ngẫu nhiên, bằng tổng của mỗi giá trị nhân với xác suất tương ứng của nó.

Khi một biến ngẫu nhiên rời rạc (discrete random variable) nhận các giá trị $x_1, x_2, \ldots, x_k$ với xác suất $p_1, p_2, \ldots, p_k$ , kỳ vọng (expected value) của nó được định nghĩa là:

$E(X) = \sum_{i} x_i \, p_i$

Như vậy, mỗi giá trị được "đặt trọng số" theo xác suất của nó rồi cộng lại. Do đó, đây không phải trung bình cộng đơn thuần, mà là trung bình có trọng số phản ánh mức độ khả năng của từng kết quả.

Kỳ vọng mang ý nghĩa dài hạn: nếu thí nghiệm được lặp lại rất nhiều lần, trung bình các kết quả quan sát được sẽ tiến gần về $E(X)$ . Vì vậy, kỳ vọng còn được ký hiệu là $\mu_X$ và là tham số trung tâm của phân phối xác suất (probability distribution). Chẳng hạn, với phân phối nhị thức (binomial distribution) có $n$ lần thử và xác suất thành công $p$ , kỳ vọng là $E(X) = np$ , cho biết trung bình bao nhiêu lần thành công sau $n$ lần thử.

Trong đề thi, kỳ vọng xuất hiện ở nhiều dạng bài khác nhau. Khi biến đổi tuyến tính $Y = a + bX$ , kỳ vọng biến đổi theo quy tắc $E(Y) = a + b\,E(X)$ ; ngoài ra, khi cộng hai biến ngẫu nhiên độc lập, $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ . Nhờ đó, kỳ vọng trở thành công cụ phân tích tổng và hiệu của các biến ngẫu nhiên — nền tảng của nhiều suy luận thống kê về sau.

Ký hiệu

E(X)

\mu_X

Trực giác: Hãy tưởng tượng bạn chơi một trò chơi hàng nghìn ván: kỳ vọng chính là số tiền thắng thua trung bình mỗi ván sau khi số ván đã đủ lớn để "triệt tiêu" may rủi.

Công thức

\mu_X = \htmlClass{fp-2}{\sum \htmlClass{fp-0}{x_i} \cdot \htmlClass{fp-1}{P(x_i)}}

Dùng khi biến ngẫu nhiên (random variable) rời rạc có phân phối xác suất đã biết; công thức tính trung bình lý thuyết — tức kỳ vọng — của biến đó.

Trong đó

\mu_X

kỳ vọng (expected value) của biến ngẫu nhiên

X

, còn ký hiệu là

E(X)

x_i

giá trị thứ

i

mà biến ngẫu nhiên

X

có thể nhận

P(x_i)

xác suất để

X

nhận đúng giá trị

x_i

\mu_X = np

Dùng riêng cho phân phối nhị thức (binomial distribution) với $n$ phép thử độc lập và xác suất thành công $p$ không đổi; đây là dạng rút gọn xuất hiện trực tiếp trên formula sheet của AP.

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1654 (bài toán gốc) — 1814 (định nghĩa tường minh)Blaise PascalPierre de FermatChevalier de MéréChristiaan HuygensPierre-Simon Laplace

Thử nghiệm tương tác

Kéo một cột xác suất — nhìn mũi nhọn μ trượt theo

Hay hiểu sai

Kỳ vọng không phải trung bình cộng của các giá trị.

Kỳ vọng không nhất thiết là một giá trị mà biến có thể nhận.

Trong bài xổ số, phải trừ giá vé trước khi nhân xác suất.

Ước lượng chệch được định nghĩa qua kỳ vọng, không qua một mẫu lẻ.

Nhân biến với hằng số: kỳ vọng và độ lệch chuẩn nhân theo, phương sai thì không.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một trường tiểu học tổ chức hội chợ sách hằng năm. Dựa trên dữ liệu nhiều năm, số sách mà một học sinh mua tại hội chợ có phân bố xác suất như sau: số sách nhận các giá trị

0,1,2,3,4,5,6,7

với xác suất lần lượt là

0{,}35

;

0{,}20

;

0{,}15

;

0{,}10

;

0{,}07

;

0{,}08

;

0{,}04

;

0{,}01

. Gọi

B

là số sách mà một học sinh mua ở hội chợ lần tới.

aKiểm tra bảng đã cho có phải là một phân bố xác suất hợp lệ hay không, rồi tính kỳ vọng của $B$ .
bGiải thích ý nghĩa của giá trị vừa tìm được trong ngữ cảnh hội chợ sách.
cNhà trường chọn ngẫu nhiên $40$ học sinh và dùng số sách trung bình của nhóm này để ước lượng số sách trung bình của toàn trường. Trung bình mẫu có phải là ước lượng không chệch hay không?

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · bài “Biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất” — khoá AP Statistics

Dẫn tớiphân phối nhị thức

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

trung bìnhmean

Khác nhau ở đâuKỳ vọng là giá trị trung bình lý thuyết suy từ phân phối xác suất, còn trung bình là giá trị tính trực tiếp từ dữ liệu quan sát trong một mẫu cụ thể

Hay nhầm khikhi đề cho bảng phân phối xác suất nhưng học sinh lại tính trung bình cộng các giá trị mà bỏ qua trọng số xác suất

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 13, 63–64.

Trong đó

n

số phép thử

p

xác suất thành công trong mỗi phép thử

Ý tưởng kỳ vọng nảy sinh giữa thế kỷ 17 từ "bài toán chia điểm" (problem of points) trong trao đổi thư từ năm 1654 giữa Blaise Pascal và Pierre de Fermat, nhằm chia tiền cược một cách công bằng khi ván chơi bị bỏ dở. Mãi đến năm 1814, Pierre-Simon Laplace mới định nghĩa khái niệm này một cách tường minh.

Câu chuyện bắt đầu ở bàn cờ bạc chứ không phải trong giảng đường. Năm 1654, Chevalier de Méré, một nhà văn Pháp kiêm nhà toán học nghiệp dư, đặt cho Pascal câu đố đã gây tranh cãi hàng thế kỷ: hai người đang chơi dở mà buộc phải dừng thì chia tiền cược thế nào cho công bằng? Méré còn quả quyết rằng bài toán không giải được, và điều đó cho thấy toán học bất lực trước đời sống thực. Pascal không chịu, ông cùng Fermat trao đổi thư từ và tìm ra lời giải. Từ đó nảy ra ý niệm rằng một cơ hội chưa ngã ngũ vẫn có thể quy về một con số duy nhất.

Vì sao mang đúng cái tên này? Cái tên nghe lạ vì nó không sinh ra từ ngôn ngữ toán học mà từ ngôn ngữ cá cược. Cả Pascal lẫn Huygens đều chưa dùng chữ "expectation" theo nghĩa hiện đại; với Huygens, đó là giá trị mà một cơ hội thắng đáng được trả trong một ván chơi sòng phẳng, và ông viết rằng nếu tôi có cơ hội ngang nhau để nhận $a$ hoặc $b$ thì "kỳ vọng" của tôi đáng giá $(a+b)/2$ . Nói cách khác, đây là số tiền hợp lý để mua lại một canh bạc dở dang, chứ không phải kết quả mà người chơi mong sẽ xảy ra. Hơn một trăm năm sau, Laplace công bố "Théorie analytique des probabilités" (1814) và định nghĩa khái niệm này một cách rõ ràng; đến giữa thế kỷ 19, Pafnuty Chebyshev là người đầu tiên suy nghĩ một cách hệ thống về kỳ vọng của các biến ngẫu nhiên (random variable). Vì vậy, khi làm bài thi, đừng đọc chữ "kỳ vọng" theo nghĩa thông thường là điều ta trông đợi — giá trị $E(X)$ có thể là một con số mà biến ngẫu nhiên không bao giờ nhận.

Kéo một cột xác suất — nhìn mũi nhọn μ trượt theo

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mẹo phòng thi

Viết ra công thức $\mu_X=\sum x_iP(x_i)$ và ít nhất vài tích trước khi ra đáp số.

Câu diễn giải phải có cụm "trung bình về lâu dài" và đơn vị trong ngữ cảnh.

Trước khi tính, cộng cột xác suất xem có bằng $1$ không.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

Bước 1: Trước khi tính bất cứ thứ gì, phải chắc rằng bảng đúng là một phân bố xác suất: mọi xác suất đều nằm trong đoạn từ

0

đến

1

, và tổng của chúng bằng

1

. Cộng lại ta có

0{,}35+0{,}20+0{,}15+0{,}10+0{,}07+0{,}08+0{,}04+0{,}01=1{,}00

. Vì tổng đúng bằng

1

và không có giá trị âm, đây là phân bố xác suất hợp lệ của một biến ngẫu nhiên rời rạc (discrete random variable).

2Bước 2: Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên rời rạc là trung bình của các giá trị, trong đó mỗi giá trị được cân theo xác suất của nó:

E(B)=\mu_B=\sum b_i\,p_i.

Ở đây

b_i

là các giá trị mà

B

có thể nhận và

p_i

là xác suất tương ứng. Nói cách khác, ta nhân từng số sách với xác suất của nó rồi cộng tất cả lại.

3Bước 3: Thay số vào và tính từng tích một cách gọn gàng:

0(0{,}35)=0

;

1(0{,}20)=0{,}20

;

2(0{,}15)=0{,}30

;

3(0{,}10)=0{,}30

;

4(0{,}07)=0{,}28

;

5(0{,}08)=0{,}40

;

6(0{,}04)=0{,}24

;

7(0{,}01)=0{,}07

. Cộng dồn tám tích này ta được

E(B)=0+0{,}20+0{,}30+0{,}30+0{,}28+0{,}40+0{,}24+0{,}07=1{,}79.

Vậy kỳ vọng của

B

bằng

1{,}79

quyển sách.

4Bước 4: Phần diễn giải là chỗ giám khảo trừ điểm nhiều nhất, nên phải nói bằng ngôn ngữ của bài toán chứ không chỉ đọc lại con số. Không học sinh nào mua được

1{,}79

quyển sách; con số này mô tả cái xảy ra về lâu dài. Nếu quan sát rất nhiều học sinh dự hội chợ, số sách trung bình mỗi em mua sẽ tiến dần về

1{,}79

quyển. Nhờ đó nhà trường có thể ước lượng lượng sách cần chuẩn bị: với

500

học sinh, kỳ vọng tổng số sách bán ra là

500\times 1{,}79=895

quyển.

5Bước 5: Với ý (c), điều cần nhớ là kỳ vọng của trung bình mẫu bằng đúng trung bình của tổng thể:

E(\bar{B})=\mu_B=1{,}79

. Vì tâm của phân bố mẫu (sampling distribution) trùng khít với tham số cần ước lượng, trung bình mẫu là một ước lượng không chệch (unbiased estimator). Ngược lại, nếu kỳ vọng của một thống kê lệch khỏi tham số thì thống kê đó bị chệch (biased), và độ chệch không hề nhỏ đi khi ta lặp lại việc lấy mẫu nhiều lần.

Bảng đã cho là phân bố xác suất hợp lệ vì tổng các xác suất bằng $1$ , và $E(B)=1{,}79$ quyển sách. Nghĩa là qua rất nhiều học sinh dự hội chợ, mỗi em mua trung bình khoảng $1{,}79$ quyển sách. Vì $E(\bar{B})=1{,}79$ đúng bằng trung bình của tổng thể, trung bình của mẫu $40$ học sinh là ước lượng không chệch cho số sách trung bình của toàn trường.

2Ví dụ 2/2

Một hội từ thiện tổ chức xổ số gây quỹ. Ban tổ chức bán

2000

vé, mỗi vé giá $\

1{,}00

. Có

32

vé trúng thưởng:

20

giải trị giá $\

25

10

giải trị giá $\

50

và

2

giải trị giá $\

300

. Gọi

W

là số tiền lời (tiền thưởng nhận được trừ đi giá vé) của một người mua đúng một vé.

aLập phân bố xác suất của $W$ và tính $E(W)$ .
bNếu bán hết $2000$ vé, hội từ thiện kỳ vọng thu được bao nhiêu tiền quỹ?
cPhải bán vé với giá bao nhiêu để trò chơi trở nên công bằng?

1Bước 1: Trước hết phải xác định đúng các giá trị mà

W

nhận được. Vì mỗi người đã bỏ ra $\

1

để mua vé, tiền lời bằng giá trị giải thưởng trừ đi

1

. Do đó

W

nhận bốn giá trị:

24

(trúng giải $\

25

49

(trúng giải $\

50

299

(trúng giải $\

300

) và

-1

(không trúng gì cả). Nhầm lẫn thường gặp là quên trừ giá vé ở các nhánh trúng thưởng.

2Bước 2: Xác suất của mỗi giá trị chính là tỉ lệ số vé tương ứng trên tổng

2000

vé:

P(W=24)=\dfrac{20}{2000}=0{,}010

P(W=49)=\dfrac{10}{2000}=0{,}005

P(W=299)=\dfrac{2}{2000}=0{,}001

. Số vé trượt là

2000-32=1968

, nên

P(W=-1)=\dfrac{1968}{2000}=0{,}984

. Bốn xác suất này cộng lại đúng bằng

1

, nên bảng phân bố đã đầy đủ.

3Bước 3: Áp dụng công thức kỳ vọng, ta nhân từng giá trị với xác suất của nó rồi cộng lại:

E(W)=24(0{,}010)+49(0{,}005)+299(0{,}001)+(-1)(0{,}984).

Bốn tích lần lượt là

0{,}240

;

0{,}245

;

0{,}299

và

-0{,}984

. Tổng ba số dương đầu là

0{,}784

, nên

E(W)=0{,}784-0{,}984=-0{,}20

, tức là trung bình mỗi vé làm người mua mất $\

0{,}20

4Bước 4: Ý (b) chỉ là hệ quả trực tiếp của kỳ vọng vừa tính. Cái mà người mua mất chính là cái mà hội từ thiện được, nên với

2000

vé bán hết, số tiền quỹ kỳ vọng là

2000

\times$ 0{,}20=\

400

. Có thể kiểm chứng lại bằng con đường khác: tổng tiền thưởng là $20(25)+10(50)+2(300)=500+500+600=\

1600

, trong khi doanh thu là $\

2000

, chênh lệch đúng bằng $\

400

. Hai cách tính khớp nhau nên kết quả đáng tin.

5Bước 5: Một trò chơi công bằng (fair game) là trò chơi có kỳ vọng tiền lời bằng

0

. Gọi

c

là giá vé, tiền thưởng trung bình mỗi vé là

\dfrac{1600}{2000}=0{,}80

đô la, nên

E(W)=0{,}80-c

. Đặt

0{,}80-c=0

ta được $c=\

0{,}80

. Tuy nhiên, khi đó hội từ thiện không còn đồng nào gây quỹ, nên mức giá $\

1

với kỳ vọng âm chính là phần người mua tự nguyện đóng góp.

Biến $W$ nhận các giá trị $24$ ; $49$ ; $299$ và $-1$ với xác suất lần lượt $0{,}010$ ; $0{,}005$ ; $0{,}001$ và $0{,}984$ , cho $E(W)=-\ $0{,}20$ : về lâu dài, mỗi vé mua ra khiến người chơi lỗ trung bình $20$ xu. Nếu bán hết $2000$ vé, hội từ thiện kỳ vọng gây quỹ được $\ $400$ . Muốn trò chơi công bằng thì giá vé phải hạ xuống $\ $0{,}80$ , khi đó kỳ vọng tiền lời bằng $0$ và quỹ cũng không thu được gì.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.