AP Statistics

kỳ vọngexpected value

expected valueVietnamese: kỳ vọng

Còn gọi:Also called: giá trị kỳ vọng · E(X) · kì vọng

Kỳ vọng là giá trị trung bình lý thuyết của một biến ngẫu nhiên, bằng tổng của mỗi giá trị nhân với xác suất tương ứng của nó.The expected value is the theoretical mean of a random variable, found by summing each value times its probability.

Trực giác: Hãy tưởng tượng bạn chơi một trò chơi hàng nghìn ván: kỳ vọng chính là số tiền thắng thua trung bình mỗi ván sau khi số ván đã đủ lớn để "triệt tiêu" may rủi.Intuition: Picture playing a game thousands of times: the expected value is your average gain or loss per play once enough plays have occurred for luck to average out.

Công thức chínhKey formula

\mu_X = \sum x_i \cdot P(x_i)

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Kỳ vọng (expected value) của biến ngẫu nhiên rời rạc là trung bình có trọng số theo xác suất: nhân từng giá trị với xác suất tương ứng rồi cộng lại. Khi thí nghiệm được lặp rất nhiều lần, trung bình quan sát tiến gần kỳ vọng.

Kỳ vọng không nhất thiết là giá trị biến có thể nhận. Với phân phối nhị thức gồm $n$ phép thử và xác suất thành công $p$ , kỳ vọng là $np$ ; nếu $Y=a+bX$ , thì $E(Y)=a+bE(X)$ .

The expected value of a discrete random variable is its probability-weighted average: multiply each value by its probability and add the products. Over very many repetitions of the experiment, the observed mean approaches the expected value.

An expected value need not be a value the variable can actually take. For a binomial distribution with $n$ trials and success probability $p$ , the expected value is $np$ ; and if $Y=a+bX$ , then $E(Y)=a+bE(X)$ .

Ký hiệuNotation

E(X)

\mu_X

E(X)

\mu_X

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\mu_X = \htmlClass{fp-2}{\sum \htmlClass{fp-0}{x_i} \cdot \htmlClass{fp-1}{P(x_i)}}

\mu_X = \htmlClass{fp-2}{\sum \htmlClass{fp-0}{x_i} \cdot \htmlClass{fp-1}{P(x_i)}}

Dùng cho biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất đã biết để tính trung bình lý thuyết.Use this for a discrete random variable with a known probability distribution to find its theoretical mean.

Trong đóWhere

\mu_X

kỳ vọng (expected value) của biến ngẫu nhiên

X

, còn ký hiệu là

E(X)

expected value of the random variable

X

, also written

E(X)

x_i

giá trị thứ

i

mà biến ngẫu nhiên

X

có thể nhậnthe

i

th value that the random variable

X

can take

P(x_i)

xác suất để

X

nhận đúng giá trị

x_i

probability that

X

takes exactly the value

x_i

\mu_X = np

Dùng cho phân phối nhị thức với $n$ phép thử độc lập và xác suất thành công $p$ không đổi.Use this for a binomial distribution with $n$ independent trials and a constant success probability $p$ .

Trong đóWhere

n

số phép thửnumber of trials

p

xác suất thành công trong mỗi phép thửprobability of success on each trial

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Kỳ vọng không phải trung bình cộng đơn thuần.

Đây là trung bình có trọng số theo xác suất. Khi các giá trị đồng xác suất, công thức mới rút thành trung bình cộng.

Kỳ vọng không nhất thiết là giá trị biến có thể nhận.

Nó mô tả trung bình dài hạn, không phải một quan sát; vì vậy không tự ý làm tròn về giá trị khả dĩ.

Nếu biến là tiền thắng ròng, phải trừ giá vé.

Hãy trừ giá vé ở mọi kết quả, kể cả trường hợp không trúng, rồi mới tính kỳ vọng.

Expected value is not a plain arithmetic mean of the possible values.

It is an average weighted by probability, and it reduces to the simple mean only when all values are equally likely.

The expected value need not be a value the variable can take.

It describes the long-run average rather than any single observation, so do not round it to a possible outcome.

If the variable is net winnings, subtract the ticket price.

Deduct the price from every outcome, including the losing ones, before computing the expected value.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Trình bày phép tính, không chỉ ghi đáp số.

Viết công thức và các tích giữa giá trị với xác suất để thể hiện quy trình.

Diễn giải bằng trung bình dài hạn và đúng đơn vị.

Nêu quá trình lặp lại rất nhiều lần, cùng đại lượng và đơn vị trong bối cảnh.

Show the computation, not just the final number.

Write the formula and the value-times-probability products so your process is visible.

Interpret the answer as a long-run average with correct units.

Mention many repetitions and name the quantity and its units in context.

Tần suất trong đề AP StatisticsHow often it shows up on AP StatisticsThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1654 (bài toán gốc) — 1814 (định nghĩa tường minh)Blaise PascalPierre de FermatChevalier de MéréChristiaan HuygensPierre-Simon LaplacePafnuty Chebyshev

Năm 1654, Blaise Pascal và Pierre de Fermat phát triển ý tưởng kỳ vọng để chia công bằng tiền cược khi ván chơi bị bỏ dở.

In 1654, Blaise Pascal and Pierre de Fermat developed the idea of expected value to divide stakes fairly when a game was interrupted.

Vì sao mang đúng cái tên này? Cái tên nghe lạ vì nó không sinh ra từ ngôn ngữ toán học mà từ ngôn ngữ cá cược. Cả Pascal lẫn Huygens đều chưa dùng chữ "expectation" theo nghĩa hiện đại; với Huygens, đó là giá trị mà một cơ hội thắng đáng được trả trong một ván chơi sòng phẳng, và ông viết rằng nếu tôi có cơ hội ngang nhau để nhận $a$ hoặc $b$ thì "kỳ vọng" của tôi đáng giá $(a+b)/2$ . Nói cách khác, đây là số tiền hợp lý để mua lại một canh bạc dở dang, chứ không phải kết quả mà người chơi mong sẽ xảy ra. Hơn một trăm năm sau, Laplace công bố "Théorie analytique des probabilités" (1814) và định nghĩa khái niệm này một cách rõ ràng; đến giữa thế kỷ 19, Pafnuty Chebyshev là người đầu tiên suy nghĩ một cách hệ thống về kỳ vọng của các biến ngẫu nhiên (random variable). Vì vậy, khi làm bài thi, đừng đọc chữ "kỳ vọng" theo nghĩa thông thường là điều ta trông đợi — giá trị $E(X)$ có thể là một con số mà biến ngẫu nhiên không bao giờ nhận.

Nguồn đối chiếuSources

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Kéo một cột xác suất — nhìn mũi nhọn μ trượt theo

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termBiến ngẫu nhiên & phân phối xác suấtXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · khoácourse AP Statistics

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTham số của biến ngẫu nhiên: kỳ vọng và độ lệch chuẩnXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · khoácourse AP Statistics

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termPhân phối nhị thứcXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · khoácourse AP Statistics

Dẫn tớiLeads tophân phối nhị thứcbinomial distribution

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

trung bìnhmean

Khác nhau ở đâuHow they differKỳ vọng là giá trị trung bình lý thuyết suy từ phân phối xác suất, còn trung bình là giá trị tính trực tiếp từ dữ liệu quan sát trong một mẫu cụ thể

Hay nhầm khiMixed up whenkhi đề cho bảng phân phối xác suất nhưng học sinh lại tính trung bình cộng các giá trị mà bỏ qua trọng số xác suất

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 13, 63–64.