AP Statistics

trung bình

mean

Trung bình là đại lượng đo xu hướng trung tâm của một tập dữ liệu, tính bằng cách lấy tổng tất cả các giá trị chia cho số lượng quan sát.

Trung bình là thước đo vị trí trung tâm được dùng phổ biến nhất trong thống kê. Để tính trung bình của một tập dữ liệu gồm $n$ giá trị $x_1, x_2, \dots, x_n$ , ta cộng tất cả các giá trị lại rồi chia đều cho $n$ :

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$

Trong đó $\bar{x}$ là trung bình mẫu, $x_i$ là giá trị quan sát thứ $i$ , và $n$ là cỡ mẫu. Công thức này nói rằng mỗi quan sát đóng góp như nhau vào kết quả cuối cùng.

Tuy nhiên, tính chất đó cũng chính là điểm cần lưu ý. Vì mỗi giá trị đều được tính đủ trọng số, các giá trị ngoại lai (outlier) — tức những quan sát cách xa phần còn lại của dữ liệu — có thể kéo trung bình lệch đáng kể so với phần lớn dữ liệu. Do đó, khi phân phối lệch mạnh hoặc có giá trị ngoại lai rõ ràng, trung bình không còn là đại diện tốt cho xu hướng trung tâm nữa; trong trường hợp đó trung vị thường được ưu tiên hơn.

Trong thống kê suy luận, trung bình mẫu $\bar{x}$ đóng vai trò ước lượng cho trung bình tổng thể $\mu$ . Nhờ định lý giới hạn trung tâm (central limit theorem), phân phối mẫu của $\bar{x}$ xấp xỉ phân phối chuẩn khi cỡ mẫu đủ lớn, dù phân phối gốc của tổng thể có hình dạng thế nào. Vì vậy, trung bình mẫu là nền tảng của nhiều quy trình suy luận quan trọng như khoảng tin cậy và kiểm định giả thuyết cho trung bình tổng thể.

Ký hiệu

• $\bar{x}$ — trung bình mẫu
• $\mu$ — trung bình tổng thể

Trực giác: Nếu cả lớp cùng đổ hết điểm vào một túi rồi chia đều cho mỗi người, số điểm mỗi người nhận được chính là trung bình.

Công thức

\htmlClass{fp-1}{\bar{x}}=\htmlClass{fp-2}{\frac{\htmlClass{fp-0}{\sum x_i}}{n}}

Dùng khi cần tính trung bình (mean) của một mẫu gồm $n$ quan sát. Đây là công thức xuất hiện trực tiếp trên formula sheet của kỳ thi AP.

Trong đó

\bar{x}

trung bình mẫu

x_i

giá trị quan sát thứ

i

n

số quan sát trong mẫu

\sum x_i

tổng tất cả các giá trị quan sát

\mu=\frac{\sum x_i}{N}

Dùng khi tập dữ liệu là toàn bộ tổng thể (population) gồm $N$ phần tử, không phải mẫu.

Khái niệm này sinh ra từ đâu

khoảng 2000 trước Công nguyêncác nhà thiên văn BabylonAl-KhwarizmiCarl Friedrich GaussPythagorasAdolphe Quetelet

Thử nghiệm tương tác

Kéo chấm xa nhất ra khỏi đám đông — nhìn vạch trung bình bị lôi theo còn trung vị đứng yên

Hay hiểu sai

Học sinh hay đọc khoảng tin cậy $(12.2, 14.6)$ thành "95% xác suất trung bình tổng thể nằm trong khoảng".

Học sinh tưởng mẫu nhỏ hơn làm trung bình khác đi, nên $\mu_{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)}$ phải lệch khỏi 0.

Thấy ngoại lai trong biểu đồ hộp, học sinh vội kết luận dữ liệu không chuẩn, không suy luận được.

Bài phân vị: hỏi tuổi ở phân vị 90 lại trả lời $0.90$ , hoặc dùng $z = 0.90$ thay vì $1.28$ .

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một nhóm nghiên cứu ghi lại tuổi (năm) của 8 con rùa khổng lồ Galápagos đang được theo dõi trong khu bảo tồn: 82, 95, 100, 104, 110, 118, 125, 146. (a) Tính tuổi trung bình của mẫu và so sánh với trung vị. (b) Sau đó nhóm phát hiện con rùa già nhất bị ghi nhầm: tuổi thật của nó là 246 năm chứ không phải 146. Trung bình và trung vị thay đổi thế nào?

1Bước 1: Trước hết ta cộng toàn bộ số liệu rồi chia cho cỡ mẫu, đúng theo định nghĩa của trung bình mẫu (sample mean). Tổng tám giá trị là

82+95+100+104+110+118+125+146=880

, và cỡ mẫu là

n=8

. Do đó

\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}=\frac{880}{8}=110.

Công thức này nói rằng nếu ta chia đều toàn bộ "tổng số tuổi" cho tám con rùa thì mỗi con nhận 110 năm; vì vậy trung bình luôn mang đơn vị giống dữ liệu gốc, ở đây là năm.

2Bước 2: Tiếp theo ta tìm trung vị để có một mốc so sánh. Dãy đã được sắp tăng dần, và vì

n=8

là số chẵn nên trung vị là trung bình cộng của hai giá trị đứng thứ tư và thứ năm:

M=\frac{104+110}{2}=107

. Như vậy

\bar{x}=110>M=107

, một dấu hiệu quen thuộc của phân bố hơi lệch phải, vì giá trị 146 ở đuôi trên kéo trung bình đi lên. Nói cách khác, trung bình bị "lôi" về phía đuôi dài, còn trung vị thì đứng yên ở vị trí giữa.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · bài “Thống kê mô tả cho một biến định lượng” — khoá AP Statistics

Cần trướckỳ vọng

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

trung vị (median)median

Khác nhau ở đâuTrung bình chịu ảnh hưởng của giá trị ngoại lệ (outlier), còn trung vị là thống kê bền vững nên không bị kéo lệch bởi các giá trị cực đoan.

Hay nhầm khiĐề cho phân phối lệch hoặc có giá trị ngoại lệ rồi hỏi đại lượng nào mô tả trung tâm tốt hơn — thí sinh hay chọn nhầm trung bình thay vì trung vị.

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 9, 13–14.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi của khái niệm này nói thẳng ra công dụng của nó. Trong tiếng Anh, "mean" bắt nguồn từ tiếng Pháp cổ "moien", nghĩa là ở giữa, và xa hơn nữa là từ tiếng Latin "medianus". Vì vậy ngay từ trong tên, đây là một đại lượng được đặt ra để đại diện cho chỗ giữa của một tập số, chứ không phải để mô tả một cá thể cụ thể nào. Tiếng Việt dịch là "trung bình" cũng giữ đúng tinh thần ấy: chữ "trung" là ở giữa. Tuy nhiên, nghĩa "ở giữa" từng rộng hơn nhiều so với công thức bạn học hôm nay. Với Pythagoras và các môn đồ, trung bình là một khái niệm của toán học thuần túy với định nghĩa rất chặt, dùng để nói về những tỉ lệ đẹp giữa các số, chứ hoàn toàn không dùng để phân tích dữ liệu. Chính vì cái gốc rộng đó mà đến nay tiếng Anh vẫn có nhiều loại "mean" khác nhau, và cái mà đề thi AP mặc định chỉ là trung bình cộng (arithmetic mean), bên cạnh trung bình nhân (geometric mean) ít gặp hơn. Bước ngoặt khiến trung bình rời khỏi bàn giấy của nhà toán học để bước vào khoa học xã hội gắn với Adolphe Quetelet, người đưa ra hình dung về "con người trung bình" (average man): lấy trung bình các số đo của cả một cộng đồng để dựng nên một cá thể tiêu biểu không có thật. Ý tưởng đó vừa mạnh vừa dễ gây hiểu lầm, và nó giải thích vì sao ngày nay sách vở luôn nhắc ta rằng $\bar{x}$ chỉ là điểm cân bằng của dữ liệu. Cụ thể, $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$ nghĩa là cộng tất cả $n$ giá trị quan sát $x_i$ rồi chia đều cho số quan sát — nên chẳng có gì bảo đảm rằng có một cá thể nào trong mẫu thật sự mang giá trị $\bar{x}$ .

2Ví dụ 2/2

Một con xúc xắc cân đối sáu mặt, đánh số từ 1 đến 6, được tung tổng cộng 15 lần. Gọi

\bar{x}_1

là trung bình của 10 lần tung đầu và

\bar{x}_2

là trung bình của 5 lần tung còn lại. (a) Tìm trung bình

\mu_{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)}

của phân bố mẫu (sampling distribution) của hiệu hai trung bình mẫu. (b) Tìm độ lệch chuẩn (standard deviation) của phân bố mẫu đó.

1Bước 1: Điểm xuất phát là trung bình của một lần tung, tức kỳ vọng (expected value) của biến ngẫu nhiên

X

nhận sáu giá trị

1,\dots,6

với xác suất bằng nhau

1/6

. Ta có

\mu_X=\sum x\,P(x)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=3.5.

Con số

3.5

không phải là kết quả có thể xảy ra của một lần tung, nhưng nó là tâm của phân bố, tức giá trị trung bình về lâu dài nếu tung rất nhiều lần.

2Bước 2: Với mọi cỡ mẫu

n

, trung bình của phân bố mẫu của

\bar{x}

luôn bằng trung bình tổng thể:

\mu_{\bar{x}}=\mu_X

. Đây chính là tính chất ước lượng không chệch của trung bình mẫu, và nó không phụ thuộc vào việc

n

lớn hay nhỏ. Do đó

\mu_{\bar{x}_1}=3.5

cho 10 lần tung đầu và

\mu_{\bar{x}_2}=3.5

cho 5 lần tung sau; cỡ mẫu khác nhau chỉ làm thay đổi độ phân tán chứ không làm dịch chuyển tâm.

3Bước 3: Trung bình của hiệu hai biến ngẫu nhiên luôn bằng hiệu hai trung bình, bất kể chúng độc lập hay không:

\mu_{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)}=\mu_{\bar{x}_1}-\mu_{\bar{x}_2}=3.5-3.5=0.

Kết quả bằng 0 rất hợp trực giác, vì hai nhóm tung cùng một con xúc xắc cân đối nên không có lý do gì để nhóm này trung bình cao hơn nhóm kia.

4Bước 4: Sang phần độ lệch chuẩn, ta cần phương sai của một lần tung. Vì

E(X^2)=\frac{1+4+9+16+25+36}{6}=\frac{91}{6}

nên

\sigma_X^2=E(X^2)-\mu_X^2=\frac{91}{6}-3.5^2=15.1\overline{6}-12.25=\frac{35}{12}\approx 2.9167.

Từ đó

\sigma_{\bar{x}_1}^2=\frac{\sigma_X^2}{10}\approx 0.2917

và

\sigma_{\bar{x}_2}^2=\frac{\sigma_X^2}{5}\approx 0.5833

; chia cho

n

phản ánh việc trung bình của nhiều lần tung thì ổn định hơn trung bình của ít lần tung.

5Bước 5: Vì các lần tung độc lập nên phương sai của hiệu bằng TỔNG hai phương sai chứ không phải hiệu — đây là lỗi rất phổ biến trong bài thi. Ta có

\sigma_{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)}=\sqrt{\frac{35/12}{10}+\frac{35/12}{5}}=\sqrt{0.2917+0.5833}=\sqrt{0.875}\approx 0.935.

Vậy hiệu hai trung bình mẫu dao động quanh 0 với độ lệch chuẩn khoảng

0.935

đơn vị chấm.

Trung bình của phân bố mẫu của hiệu là $\mu_{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)}=3.5-3.5=0$ : về lâu dài, trung bình của 10 lần tung đầu và trung bình của 5 lần tung sau không lệch nhau một cách có hệ thống. Độ phân tán của hiệu này được đo bởi $\sigma_{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)}=\sqrt{0.875}\approx 0.935$ chấm, nghĩa là một hiệu quan sát được cỡ $\pm 1$ chấm là hoàn toàn bình thường với con xúc xắc cân đối.