AP Statistics

trung vịmedian

medianVietnamese: trung vị

Trung vị (median) là giá trị nằm chính giữa một tập dữ liệu đã sắp xếp theo thứ tự, chia tập đó thành hai nửa có số lượng quan sát bằng nhau.The median is the middle value of a data set arranged in order, splitting the data into two halves with equally many observations.

Trực giác: Hãy tưởng tượng tất cả học sinh trong lớp xếp thành một hàng từ thấp nhất đến cao nhất — người đứng đúng giữa hàng chính là trung vị, bất kể có ai cao bất thường ở cuối hàng hay không.Intuition: Picture every student in a class lined up from shortest to tallest — whoever stands exactly in the middle of the line is the median, no matter how unusually tall the person at the end happens to be.

Công thức chínhKey formula

\frac{n+1}{2}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Trung vị là số đo xu hướng trung tâm xác định từ vị trí giữa trong dữ liệu đã sắp xếp. Nếu số quan sát lẻ, lấy giá trị giữa; nếu chẵn, lấy trung bình cộng của hai giá trị giữa. Một nửa dữ liệu không lớn hơn trung vị, nửa kia không nhỏ hơn nó.

Trung vị ít bị giá trị ngoại lai kéo lệch hơn trung bình cộng. Với phân phối lệch phải, trung bình thường lớn hơn trung vị; lệch trái thì ngược lại.

The median is a measure of center found from the middle position of ordered data. With an odd number of observations, the median is the middle value; with an even number, it is the average of the two middle values. Half the data lie at or below the median, and half lie at or above it.

The median is pulled around by outliers far less than the mean is. In a right-skewed distribution the mean is usually greater than the median; in a left-skewed distribution the reverse is true.

Ký hiệuNotation

M

\tilde{x}

M

\tilde{x}

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-1}{\frac{\htmlClass{fp-0}{n+1}}{2}}

\htmlClass{fp-1}{\frac{\htmlClass{fp-0}{n+1}}{2}}

Dùng khi số quan sát lẻ để xác định vị trí trung vị trong dãy đã sắp xếp.Use this when the number of observations is odd to locate the median's position in the ordered list.

Trong đóWhere

n

số lượng quan sát trong tập dữ liệunumber of observations in the data set

\tilde{x} = \htmlClass{fp-2}{\frac{\htmlClass{fp-0}{x_{n/2}} + \htmlClass{fp-1}{x_{n/2+1}}}{2}}

\tilde{x} = \htmlClass{fp-2}{\frac{\htmlClass{fp-0}{x_{n/2}} + \htmlClass{fp-1}{x_{n/2+1}}}{2}}

Dùng khi số quan sát chẵn để lấy trung bình cộng của hai giá trị giữa.Use this when the number of observations is even to average the two middle values.

Trong đóWhere

\tilde{x}

trung vị của tập dữ liệumedian of the data set

x_{n/2}

giá trị ở vị trí thứ n/2 trong dãy đã sắp xếpvalue at position n/2 in the ordered list

x_{n/2+1}

giá trị ở vị trí thứ n/2 + 1 trong dãy đã sắp xếpvalue at position n/2 + 1 in the ordered list

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Phải sắp xếp dữ liệu trước khi tìm trung vị.

Số đứng giữa dãy ban đầu có thể sai. Khi số quan sát chẵn, trung vị là trung bình cộng của hai giá trị giữa và có thể không xuất hiện trong dữ liệu.

Vị trí trung vị không phải giá trị trung vị.

Công thức vị trí chỉ cho biết số thứ tự trong dãy đã sắp xếp; phải đọc giá trị tương ứng, kể cả khi dùng tần số cộng dồn.

Quan hệ giữa trung vị và trung bình theo độ lệch chỉ là xu hướng.

Phân phối lệch phải thường có trung bình lớn hơn trung vị; phân phối đối xứng thường khiến hai đại lượng xấp xỉ nhau, nhưng không nên khẳng định tuyệt đối.

Order the data before locating the median.

The number sitting in the middle of the original, unsorted list can be wrong. With an even number of observations the median is the average of the two middle values, so it may not be a value that actually appears in the data.

The median's position is not the median's value.

A position formula only tells you which rank to look at in the ordered list; you still have to read off the value at that rank, including when you work from cumulative frequencies.

The link between median, mean, and skew is only a tendency.

Right-skewed distributions usually have a mean larger than the median, and symmetric distributions usually make the two nearly equal, but neither holds as an absolute rule.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Đọc dấu hiệu lệch trên boxplot trước khi so sánh trung vị với trung bình.

Vạch trung vị lệch trái, râu phải dài và ngoại lai bên phải là bằng chứng lệch phải; khi đó trung vị thường nhỏ hơn trung bình.

Khi dữ liệu thay đổi, hãy kiểm tra giá trị giữa trước.

Nếu chỉ các quan sát cùng một phía thay đổi mà không vượt qua trung vị, thứ hạng giữ nguyên và trung vị hầu như không đổi.

Read the signs of skew on a boxplot before comparing the median with the mean.

A median line shifted left, a long right whisker, and outliers on the right all point to right skew, and in that case the median is usually smaller than the mean.

When the data change, check the middle value first.

If only observations on one side change and none cross the median, the ranks stay put and the median barely moves.

Tần suất trong đề AP StatisticsHow often it shows up on AP StatisticsThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

thế kỷ 19 (Cournot 1843, Galton 1881)Antoine Augustin CournotGustav Theodor FechnerFrancis GaltonEdward WrightF. Y. Edgeworth

Năm 1599, Edward Wright khuyên tìm điểm giữa của các mũi tên để ước đoán vị trí chiếc bia đã bị dỡ.

In 1599 Edward Wright advised finding the midpoint of a cluster of arrows to estimate where a target that had been removed once stood.

Vì sao mang đúng cái tên này? Chữ "median" đi vào tiếng Anh từ tiếng Latin "medianus" nghĩa là "thuộc về chính giữa", bắt nguồn từ "medius" — "ở giữa". Điều thú vị là ban đầu nó không phải thuật ngữ toán học chút nào: từ những năm 1540–1590 nó là từ giải phẫu học, dùng để chỉ tĩnh mạch, động mạch hay dây thần kinh nằm ở vị trí giữa cơ thể; mãi đến khoảng năm 1883 nghĩa thống kê "số đứng giữa một dãy" mới được ghi nhận. Cái tên vì thế mô tả đúng bản chất: nó cắt dữ liệu làm hai nửa bằng nhau. Bản thân Galton cũng phải mò mẫm mới chọn được chữ này — năm 1869 ông gọi là "middle-most value", năm 1880 gọi là "the medium", rồi năm 1881 mới dừng lại ở "median". Cũng vì cùng gốc "medianus" mà tiếng Việt gọi nó là trung vị, còn số bình quân là trung bình cộng (arithmetic mean) — hai cái tên gần nhau nhưng hai đại lượng rất khác, nhất là khi dữ liệu có giá trị ngoại lai (outlier).

Nguồn đối chiếuSources

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Kéo chấm lớn nhất chạy xa — nhìn trung bình đuổi theo còn vạch trung vị đứng yên

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termThống kê mô tả cho một biến định lượngDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · khoácourse AP Statistics

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termMô tả phân phối của một biến định lượngDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · khoácourse AP Statistics

Cần trướcLearn firstdữ liệu định lượngquantitative data

Dẫn tớiLeads toboxplotboxplot

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

trung bìnhmean

Khác nhau ở đâuHow they differTrung vị là giá trị chính giữa sau khi sắp xếp và không bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lệ, còn trung bình là tổng chia cho số lượng và bị kéo về phía đuôi phân phối

Hay nhầm khiMixed up whenđề hỏi số đo nào phù hợp hơn để mô tả trung tâm của phân phối lệch hoặc có giá trị ngoại lệ

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 45, 49, 63.