Đang tải bài học…

AP Statistics

trung vị

median

Trung vị (median) là giá trị nằm chính giữa một tập dữ liệu đã sắp xếp theo thứ tự, chia tập đó thành hai nửa có số lượng quan sát bằng nhau.

Trung vị (median) là một trong những đại lượng đo xu hướng trung tâm cơ bản nhất trong thống kê mô tả. Để xác định trung vị, trước hết ta phải sắp xếp tất cả các quan sát từ nhỏ đến lớn, sau đó tìm giá trị nằm ở vị trí chính giữa của dãy số. Nếu số quan sát $n$ là số lẻ, trung vị nằm ở vị trí $(n+1)/2$ ; nếu $n$ chẵn, trung vị bằng trung bình cộng của hai giá trị ở vị trí $n/2$ và $n/2+1$ . Dù $n$ chẵn hay lẻ, trung vị luôn chia tập dữ liệu thành hai nửa: một nửa có giá trị nhỏ hơn hoặc bằng nó, nửa kia có giá trị lớn hơn hoặc bằng nó.

Do trung vị chỉ phụ thuộc vào thứ tự sắp xếp chứ không phụ thuộc vào độ lớn của từng giá trị, nó không bị kéo mạnh bởi giá trị ngoại lai (outlier). Ngược lại, trung bình cộng (mean) nhạy cảm hơn nhiều với những giá trị cực đoan, bởi mọi quan sát đều tham gia trực tiếp vào phép tính. Vì vậy, trong các tập dữ liệu có vài giá trị bất thường lớn hoặc nhỏ — chẳng hạn thu nhập hộ gia đình hay giá nhà — trung vị thường phản ánh "mức điển hình" sát hơn trung bình cộng.

Tuy nhiên, mối quan hệ giữa trung vị và trung bình còn tiết lộ hình dạng của phân phối. Khi phân phối đối xứng, hai đại lượng này xấp xỉ bằng nhau. Khi phân phối lệch phải (right-skewed), trung bình bị kéo về phía đuôi dài nên thường lớn hơn trung vị; khi lệch trái thì ngược lại. Nhờ đó, việc so sánh trung vị với trung bình giúp ta bước đầu nhận ra độ lệch của dữ liệu trước khi vẽ đồ thị.

Ký hiệu

M

\tilde{x}

Trực giác: Hãy tưởng tượng tất cả học sinh trong lớp xếp thành một hàng từ thấp nhất đến cao nhất — người đứng đúng giữa hàng chính là trung vị, bất kể có ai cao bất thường ở cuối hàng hay không.

Công thức

\htmlClass{fp-1}{\frac{\htmlClass{fp-0}{n+1}}{2}}

Dùng để xác định vị trí của trung vị trong dãy số đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần.

Trong đó

n

số lượng quan sát trong tập dữ liệu

\tilde{x} = \htmlClass{fp-2}{\frac{\htmlClass{fp-0}{x_{n/2}} + \htmlClass{fp-1}{x_{n/2+1}}}{2}}

Dùng khi số lượng quan sát n là số chẵn, vì không có một giá trị duy nhất nằm ở chính giữa dãy.

Trong đó

\tilde{x}

trung vị của tập dữ liệu

x_{n/2}

Khái niệm này sinh ra từ đâu

thế kỷ 19 (Cournot 1843, Galton 1881)Antoine Augustin CournotGustav Theodor FechnerFrancis GaltonEdward WrightF. Y. Edgeworth

Thử nghiệm tương tác

Kéo chấm lớn nhất chạy xa — nhìn trung bình đuổi theo còn vạch trung vị đứng yên

Hay hiểu sai

Phải sắp xếp dữ liệu trước khi tìm trung vị.

Vị trí của trung vị không phải là giá trị của trung vị.

Trung vị kháng nhiễu (resistant), còn trung bình thì không.

"Lệch phải thì trung vị nhỏ hơn trung bình" là xu hướng, không phải định lý.

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một quán cà phê nhỏ có 9 nhân viên. Mức lương theo giờ (đơn vị: đô la) của họ hiện nay là: 11,50 — 12,00 — 13,25 — 14,00 — 14,50 — 15,75 — 16,00 — 17,50 — 20,00. Một quy định mới buộc mọi doanh nghiệp phải trả lương tối thiểu 15,00 đô la một giờ, nên quán dự định nâng lương của 5 nhân viên đang nhận dưới mức đó lên đúng 15,00 đô la một giờ; lương của 4 nhân viên còn lại giữ nguyên.

aTính trung vị và trung bình của mức lương trước khi điều chỉnh.
bTính trung vị và trung bình của mức lương sau khi điều chỉnh.
cGiải thích vì sao hai số đo trên thay đổi với mức độ khác nhau.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · bài “Thống kê mô tả cho một biến định lượng” — khoá AP Statistics

Cần trướcdữ liệu định lượng

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

trung bìnhmean

Khác nhau ở đâuTrung vị là giá trị chính giữa sau khi sắp xếp và không bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lệ, còn trung bình là tổng chia cho số lượng và bị kéo về phía đuôi phân phối

Hay nhầm khiđề hỏi số đo nào phù hợp hơn để mô tả trung tâm của phân phối lệch hoặc có giá trị ngoại lệ

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 45, 49, 63.

giá trị ở vị trí thứ n/2 trong dãy đã sắp xếp

x_{n/2+1}

giá trị ở vị trí thứ n/2 + 1 trong dãy đã sắp xếp

Ý tưởng lấy giá trị đứng giữa dãy số đã xuất hiện từ rất sớm, nhưng tên gọi "median" chỉ được định hình trong thế kỷ 19: Antoine Augustin Cournot dùng cụm "valeur médiane" năm 1843, còn Francis Galton dùng chữ "median" năm 1881 sau khi từng gọi nó bằng những cái tên khác.

Nhu cầu tìm một con số đại diện cho "chỗ giữa" nảy sinh từ những bài toán đo đạc thực tế. Năm 1599, Edward Wright — người nghiên cứu sai lệch của la bàn — khuyên rằng khi nhiều mũi tên bắn vào một cái bia đã bị dỡ đi, muốn đoán bia từng đứng ở đâu thì hãy tìm chỗ giữa của đám mũi tên; giữa nhiều quan trắc, cái đứng giữa dễ gần sự thật nhất. Suốt thế kỷ 19, đại lượng này rời khỏi thiên văn học để bước vào phân tích dữ liệu nói chung: Gustav Theodor Fechner đưa nó vào các hiện tượng xã hội và tâm lý, còn Francis Galton cổ vũ mạnh mẽ cho việc dùng nó.

Vì sao mang đúng cái tên này? Chữ "median" đi vào tiếng Anh từ tiếng Latin "medianus" nghĩa là "thuộc về chính giữa", bắt nguồn từ "medius" — "ở giữa". Điều thú vị là ban đầu nó không phải thuật ngữ toán học chút nào: từ những năm 1540–1590 nó là từ giải phẫu học, dùng để chỉ tĩnh mạch, động mạch hay dây thần kinh nằm ở vị trí giữa cơ thể; mãi đến khoảng năm 1883 nghĩa thống kê "số đứng giữa một dãy" mới được ghi nhận. Cái tên vì thế mô tả đúng bản chất: nó cắt dữ liệu làm hai nửa bằng nhau. Bản thân Galton cũng phải mò mẫm mới chọn được chữ này — năm 1869 ông gọi là "middle-most value", năm 1880 gọi là "the medium", rồi năm 1881 mới dừng lại ở "median". Cũng vì cùng gốc "medianus" mà tiếng Việt gọi nó là trung vị, còn số bình quân là trung bình cộng (arithmetic mean) — hai cái tên gần nhau nhưng hai đại lượng rất khác, nhất là khi dữ liệu có giá trị ngoại lai (outlier).

Kéo chấm lớn nhất chạy xa — nhìn trung bình đuổi theo còn vạch trung vị đứng yên

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Nhìn boxplot, hãy tìm dấu hiệu lệch trước khi so sánh trung vị với trung bình.

Câu hỏi về ngoại lai luôn phải viết ra quy tắc $1.5\times IQR$ bằng số cụ thể.

Khi số liệu bị thay đổi, hãy hỏi "giá trị giữa có đổi không" trước khi tính lại.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

Dãy số liệu đã được sắp xếp tăng dần, nên có thể xác định vị trí trung vị ngay. Với

n = 9

quan sát, trung vị nằm ở vị trí

\frac{n+1}{2} = \frac{9+1}{2} = 5

, tức là giá trị thứ năm tính từ trái sang. Giá trị đó là

14{,}50

, vậy trung vị trước điều chỉnh bằng

14{,}50

đô la một giờ. Bốn người lĩnh ít hơn và bốn người lĩnh nhiều hơn con số này, đúng với ý nghĩa "điểm chia đôi" của trung vị.

2Bước 2: Trung bình thì phải cộng toàn bộ chín mức lương rồi chia cho chín. Tổng bằng

11{,}50 + 12{,}00 + 13{,}25 + 14{,}00 + 14{,}50 + 15{,}75 + 16{,}00 + 17{,}50 + 20{,}00 = 134{,}50

, do đó

\bar{x} = \frac{134{,}50}{9} \approx 14{,}94.

Trung bình trước điều chỉnh xấp xỉ

14{,}94

đô la một giờ, cao hơn trung vị một chút vì mức lương

20{,}00

ở đầu trên kéo tổng lên.

3Bước 3: Sau khi áp dụng quy định, năm mức lương thấp nhất đều trở thành

15{,}00

, còn bốn mức cao giữ nguyên, nên dãy mới là

15{,}00

—

15{,}00

—

15{,}00

—

15{,}00

—

15{,}00

—

15{,}75

—

16{,}00

—

17{,}50

—

20{,}00

. Dãy vẫn có

n = 9

nên trung vị vẫn là giá trị thứ năm, lần này bằng

15{,}00

đô la một giờ. Như vậy trung vị chỉ nhích lên

15{,}00 - 14{,}50 = 0{,}50

đô la.

4Bước 4: Tổng lương mới bằng

5 \times 15{,}00 + 15{,}75 + 16{,}00 + 17{,}50 + 20{,}00 = 144{,}25

, nên

\bar{x}_{\text{new}} = \frac{144{,}25}{9} \approx 16{,}03.

Trung bình tăng khoảng

16{,}03 - 14{,}94 = 1{,}09

đô la, tức hơn gấp đôi mức tăng của trung vị. Con số này khớp với cách tính trực tiếp: tổng phần lương được cộng thêm là

3{,}50 + 3{,}00 + 1{,}75 + 1{,}00 + 0{,}50 = 9{,}75

, chia cho

9

được

1{,}08

đô la mỗi người.

5Bước 5: Sự chênh lệch này bắt nguồn từ cách xây dựng hai số đo. Trung vị chỉ quan tâm đến thứ tự và vị trí giữa dãy, nên khi năm giá trị nhỏ được đẩy lên mà thứ tự tương đối gần như không đổi, nó chỉ dịch đúng bằng khoảng cách mà giá trị đứng thứ năm đi được. Ngược lại, trung bình cộng gộp mọi khoản tăng rồi chia đều cho cả nhóm, nên mọi thay đổi ở bất kỳ ai cũng in dấu lên nó. Vì vậy người ta nói trung vị có tính kháng nhiễu (resistant), còn trung bình thì không.

Trước điều chỉnh, mức lương theo giờ của quán có trung vị $14{,}50$ đô la và trung bình khoảng $14{,}94$ đô la; sau điều chỉnh, trung vị là $15{,}00$ đô la và trung bình khoảng $16{,}03$ đô la. Việc nâng lương làm trung bình tăng khoảng $1{,}09$ đô la nhưng chỉ làm trung vị tăng $0{,}50$ đô la, bởi trung vị chỉ phản ánh vị trí của quan sát đứng giữa chứ không cộng dồn toàn bộ phần lương tăng thêm.

2Ví dụ 2/2

Một nhà phân tích thu thập doanh thu của 30 rạp chiếu phim trong một tháng (đơn vị: triệu đô la) và tóm tắt bằng biểu đồ hộp (boxplot). Năm số tóm tắt đọc được từ biểu đồ là: giá trị nhỏ nhất

2{,}1

; tứ phân vị thứ nhất (first quartile)

Q_1 = 3{,}4

; trung vị

4{,}0

; tứ phân vị thứ ba

Q_3 = 7{,}2

; giá trị lớn nhất

15{,}8

aSo sánh trung vị với trung bình của doanh thu, có giải thích.
bDùng quy tắc $1{,}5 \times \text{IQR}$ để xác định biểu đồ hộp cho thấy có giá trị ngoại lai hay không, và nêu ảnh hưởng của chúng đến trung vị.

1Bước 1: Trước hết hãy đo xem hộp lệch về phía nào. Nửa dưới của hộp rộng

4{,}0 - 3{,}4 = 0{,}6

trong khi nửa trên rộng

7{,}2 - 4{,}0 = 3{,}2

; râu dưới dài

3{,}4 - 2{,}1 = 1{,}3

còn râu trên dài tới

15{,}8 - 7{,}2 = 8{,}6

. Toàn bộ phần đuôi bên phải dài hơn hẳn, nghĩa là phân bố lệch phải.

2Bước 2: Với phân bố lệch phải, một nhóm nhỏ các rạp doanh thu rất cao sẽ kéo trung bình về phía chúng, trong khi trung vị đứng yên vì nó chỉ đếm số quan sát ở mỗi bên. Do đó trung bình lớn hơn trung vị, tức

\bar{x} > 4{,}0

triệu đô la. Đây chính là dạng lập luận mà đề thi mong đợi: từ hình dạng của biểu đồ suy ra quan hệ giữa hai số đo trung tâm, chứ không cần số liệu gốc.

3Bước 3: Sang ý (b), ta tính khoảng tứ phân vị (interquartile range):

\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 7{,}2 - 3{,}4 = 3{,}8

, nên

1{,}5 \times \text{IQR} = 5{,}7

. Hai ngưỡng rào là

Q_1 - 1{,}5\,\text{IQR} = 3{,}4 - 5{,}7 = -2{,}3, \qquad Q_3 + 1{,}5\,\text{IQR} = 7{,}2 + 5{,}7 = 12{,}9.

Mọi quan sát nằm ngoài đoạn từ

-2{,}3

đến

12{,}9

đều bị xem là giá trị ngoại lai (outlier).

4Bước 4: Giá trị nhỏ nhất

2{,}1

vẫn lớn hơn

-2{,}3

nên phía dưới không có gì bất thường. Tuy nhiên giá trị lớn nhất

15{,}8

vượt ngưỡng

12{,}9

, vậy chắc chắn có ít nhất một giá trị ngoại lai ở phía trên. Ta chỉ khẳng định được "ít nhất một" chứ không đếm chính xác được, bởi biểu đồ hộp gộp mọi quan sát trong khoảng từ

12{,}9

đến

15{,}8

vào cùng một đoạn râu và không hiển thị riêng từng điểm.

5Bước 5: Cuối cùng, hãy hỏi những giá trị cực đoan ấy có làm xê dịch trung vị hay không. Muốn dời trung vị thì phải thay đổi thứ tự của các quan sát quanh vị trí giữa, mà việc một rạp thu

15{,}8

hay

30{,}0

triệu đô la đều không đổi số quan sát nằm dưới nó. Vì thế trung vị vẫn giữ nguyên

4{,}0

triệu đô la, còn trung bình thì bị kéo lên; đó là lý do người ta ưu tiên báo cáo trung vị cho những phân bố lệch mạnh.

Vì phân bố doanh thu lệch phải, trung bình lớn hơn trung vị $4{,}0$ triệu đô la. Áp dụng quy tắc $1{,}5 \times \text{IQR}$ với $\text{IQR} = 3{,}8$ , ngưỡng trên là $12{,}9$ triệu đô la; giá trị lớn nhất $15{,}8$ vượt ngưỡng này nên dữ liệu có ít nhất một giá trị ngoại lai ở phía trên và không có giá trị ngoại lai ở phía dưới. Những quan sát cực đoan đó kéo trung bình lên nhưng không làm thay đổi trung vị.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.