Đang tải bài học…

AP Statistics

tóm tắt năm số

five-number summary

Còn gọi: bản tóm tắt 5 số · 5-number summary

Tóm tắt năm số là bộ gồm giá trị nhỏ nhất, tứ phân vị thứ nhất, trung vị, tứ phân vị thứ ba và lớn nhất, mô tả nhanh phân bố dữ liệu.

Khi cần hình dung nhanh một tập dữ liệu mà chưa muốn vẽ đồ thị chi tiết, thống kê mô tả (descriptive statistics) thường dựa vào năm giá trị then chốt chia tập dữ liệu thành bốn phần bằng nhau. Bộ năm này gồm giá trị nhỏ nhất, tứ phân vị thứ nhất (first quartile) $Q_1$ , trung vị (median), tứ phân vị thứ ba (third quartile) $Q_3$ và giá trị lớn nhất, viết gọn là $\{\text{Min},\; Q_1,\; \text{Med},\; Q_3,\; \text{Max}\}$ . Do năm giá trị này chia toàn bộ quan sát thành bốn nhóm, mỗi nhóm chứa xấp xỉ 25% số liệu, người đọc có thể nhanh chóng nhận ra dữ liệu tập trung ở đâu và trải rộng đến mức nào.

Từ tóm tắt năm số, hai thước đo độ phân tán (spread) thường được tính ngay. Khoảng biến thiên (range) bằng $\text{Max} - \text{Min}$ , cho biết toàn bộ dữ liệu trải trên phạm vi bao nhiêu; trong khi đó khoảng tứ phân vị (interquartile range) $\text{IQR} = Q_3 - Q_1$ chỉ đo độ rộng của nửa giữa tập dữ liệu nên ít bị ảnh hưởng bởi các giá trị cực đoan, và vì vậy thường được ưa chuộng hơn khi tập dữ liệu chứa giá trị ngoại lai. Nhờ IQR, ta xác định ngoại lai theo quy tắc $1{,}5 \times \text{IQR}$ : bất kỳ quan sát nào nhỏ hơn $Q_1 - 1{,}5 \cdot \text{IQR}$ hoặc lớn hơn $Q_3 + 1{,}5 \cdot \text{IQR}$ đều bị coi là ngoại lai.

Tóm tắt năm số còn là dữ liệu đầu vào để vẽ biểu đồ hộp, trong đó hai hộp thể hiện hai phần tư giữa và hai râu vươn ra phía ngoài, giúp so sánh nhiều phân phối cùng lúc. Tuy nhiên, hai tập dữ liệu có cùng tóm tắt năm số vẫn có thể mang hình dạng hoàn toàn khác nhau. Ngược lại, khi dùng kết hợp với biểu đồ chấm (dotplot) hoặc biểu đồ tần suất, người đọc mới thấy được hình dáng tổng thể của phân phối một cách đầy đủ.

Ký hiệu\{Min, Q_1, Med, Q_3, Max\}

Trực giác: Giống như khi tóm tắt một cuốn phim bằng năm cảnh chính — mở đầu, nút thắt đầu, cao trào, bước ngoặt, kết thúc — tóm tắt năm số nén cả một tập dữ liệu thành năm mốc đủ để bạn hình dung câu chuyện của nó.

Khái niệm này sinh ra từ đâu

John Tukey

Tóm tắt năm số gắn liền với tên tuổi John Tukey, người đưa nó vào như một công cụ của phân tích dữ liệu thăm dò (exploratory data analysis): thay vì chọn một con số duy nhất đại diện cho cả tập dữ liệu, ông đề nghị báo cáo cùng lúc năm mốc vị trí để nhìn thấy hình dáng phân bố ngay từ đầu.

Khi mới nhận một tập dữ liệu lớn, người phân tích chưa biết nó đối xứng hay lệch, có giá trị bất thường hay không. Nếu vội tính trung bình và độ lệch chuẩn (standard deviation), hai con số ấy có thể bị một vài quan sát cực đoan kéo đi và cho ra bức tranh sai. Tóm tắt năm số ra đời để giải đúng thế bí đó: báo cáo năm con số cùng lúc thì không cần quyết định con số nào là đại diện tốt nhất, mà vẫn thấy được vị trí trung tâm, độ phân tán của nửa giữa và khoảng biến thiên của toàn bộ dữ liệu. Vì vậy nó trở thành bước khảo sát sơ bộ quen thuộc trước mọi phân tích sâu hơn.

Thử nghiệm tương tác

Kéo con cá dài nhất ra xa — nhìn xem trong năm số, số nào nhúc nhích, số nào đứng im

Hay hiểu sai

Tóm tắt năm số không chứa trung bình và độ lệch chuẩn.

Phải sắp xếp dữ liệu tăng dần trước khi tìm năm con số.

Khi $n$ lẻ, không đưa trung vị vào nửa dưới hay nửa trên khi tính tứ phân vị.

Râu của biểu đồ hộp (boxplot) không phải lúc nào cũng chạm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất.

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một nhóm học sinh đo chiều dài (đơn vị: cm) của 15 con cá bắt được ở một hồ nuôi thử nghiệm. Số liệu đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần: 12, 14, 15, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 28, 42.

aTìm tóm tắt năm số của bộ số liệu này.
bTính khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị (interquartile range, IQR).
cDùng quy tắc 1.5(IQR), hãy chỉ ra giá trị ngoại lai nếu có, rồi mô tả biểu đồ hộp (boxplot) vẽ từ bộ số liệu.

1Bước 1: Trước hết phải chắc chắn rằng dữ liệu đã được sắp xếp, vì mọi con số trong tóm tắt năm số đều được xác định bằng vị trí chứ không bằng phép tính đại số. Ở đây đề đã sắp sẵn theo thứ tự tăng dần, nên ta đọc ngay được hai đầu mút: giá trị nhỏ nhất là

\min = 12

và giá trị lớn nhất là

\max = 42

. Cỡ mẫu là

n = 15

, một số lẻ, và điều này quyết định cách tìm trung vị ở bước sau.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · bài “Thống kê mô tả cho một biến định lượng” — khoá AP Statistics

Cần trướctứ phân vị thứ ba

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

độ lệch chuẩnstandard deviation

Khác nhau ở đâuTóm tắt năm số mô tả phân phối qua các phân vị và bền vững trước giá trị ngoại lệ, còn độ lệch chuẩn đo độ phân tán quanh trung bình và bị kéo lệch bởi giá trị cực đoan

Hay nhầm khiđề hỏi cách mô tả phân phối lệch hoặc có giá trị ngoại lệ, thí sinh hay dùng lẫn hai thống kê này mà không nhận ra một bên bền vững, một bên không

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 115, 128, 153.

Vì sao mang đúng cái tên này? Cái tên nghe khô khan nhưng lại mô tả chính xác nội dung: đây là một bản tóm tắt gồm đúng năm con số, không hơn không kém — giá trị nhỏ nhất, tứ phân vị dưới (lower quartile), trung vị, tứ phân vị trên (upper quartile) và giá trị lớn nhất. Điểm chung của cả năm là chúng đều là thống kê thứ tự (order statistics), nghĩa là mỗi con số cho biết một vị trí trong dãy dữ liệu đã sắp xếp chứ không phải kết quả cộng trừ trên các giá trị. Chính đặc điểm đó giải thích vì sao chúng bền vững hơn trung bình trước phân bố lệch và giá trị ngoại lai (outlier). Năm con số này cũng là bộ khung dựng nên biểu đồ hộp và râu (box and whisker plot): hộp căng từ $Q_1$ đến $Q_3$ , vạch chia trong hộp là trung vị, hai râu vươn tới hai đầu mút. Nói cách khác, tên gọi và hình vẽ là hai mặt của cùng một ý tưởng.

Kéo con cá dài nhất ra xa — nhìn xem trong năm số, số nào nhúc nhích, số nào đứng im

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Đếm vị trí trên dãy đã sắp xếp, đừng ước lượng bằng mắt.

Dùng chức năng thống kê một biến của máy tính để kiểm tra lại năm con số.

Câu tự luận phải kèm đơn vị và câu diễn giải, không chỉ liệt kê năm số.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

2Bước 2: Vì

n = 15

là số lẻ nên trung vị chính là giá trị đứng ở vị trí thứ

(n+1)/2 = 8

. Đếm từ trái sang: 12, 14, 15, 15, 17, 18, 19, rồi đến 20. Do đó

M = 20

cm, nghĩa là một nửa số cá dài không quá 20 cm và một nửa dài ít nhất 20 cm.

3Bước 3: Trung vị chia dãy thành hai nửa, mỗi nửa 7 giá trị và bản thân giá trị 20 không thuộc nửa nào. Nửa dưới gồm 12, 14, 15, 15, 17, 18, 19 nên tứ phân vị thứ nhất (first quartile) là số ở giữa, tức

Q_1 = 15

. Nửa trên gồm 21, 22, 23, 25, 26, 28, 42 nên

Q_3 = 25

. Vậy tóm tắt năm số là

\{12,\ 15,\ 20,\ 25,\ 42\}

, viết theo đúng thứ tự

\min,\ Q_1,\ M,\ Q_3,\ \max

4Bước 4: Hai số đo độ phân tán rút ra trực tiếp từ năm số trên. Khoảng biến thiên là

\max - \min = 42 - 12 = 30

cm, còn khoảng tứ phân vị là

IQR = Q_3 - Q_1 = 25 - 15 = 10

cm. Con số thứ hai đáng tin hơn con số thứ nhất, bởi nó chỉ mô tả 50% số cá ở giữa và không bị con cá dài 42 cm kéo lệch.

5Bước 5: Quy tắc 1.5(IQR) đặt hai hàng rào ở

Q_1 - 1.5(IQR) = 15 - 1.5(10) = 0

và

Q_3 + 1.5(IQR) = 25 + 1.5(10) = 40

. Không có con cá nào ngắn hơn 0 cm, nhưng có một giá trị vượt quá 40, đó là 42. Vì vậy 42 là một giá trị ngoại lai (outlier) và trên biểu đồ hộp nó được chấm riêng thành một dấu sao hoặc dấu chấm; râu bên phải khi đó chỉ kéo đến giá trị lớn nhất còn nằm trong hàng rào, tức 28 cm, còn râu bên trái kéo đến 12 cm.

Tóm tắt năm số của chiều dài cá là $\{12,\ 15,\ 20,\ 25,\ 42\}$ (cm), với khoảng biến thiên 30 cm và $IQR = 10$ cm. Theo quy tắc 1.5(IQR), con cá dài 42 cm là giá trị ngoại lai duy nhất, nên biểu đồ hộp gồm một hộp từ 15 đến 25 với vạch trung vị tại 20, râu trái tới 12, râu phải chỉ tới 28, và một điểm tách riêng tại 42.

2Ví dụ 2/2

Một thư viện trường ghi lại số lần đến thư viện trong tháng 10 của 30 học sinh lớp 12, kết quả cho trong bảng tần số sau. Số lần: 1, 2, 3, 4, 5, 9. Số học sinh tương ứng: 3, 6, 8, 7, 4, 2. Ngoài ra, số trung bình của bộ số liệu là 3,5 lần và độ lệch chuẩn (standard deviation) là khoảng 1,91 lần.

aTrong các phương án sau, đâu là tóm tắt năm số đúng của dữ liệu? (A) {1; 2; 3,5; 4; 9} (B) {1; 2; 3; 4; 9} (C) {1; 2; 3; 5; 9} (D) {1; 3; 3; 4; 9}
bDùng quy tắc 1.5(IQR) để xác định các giá trị ngoại lai.
cDùng quy tắc hai độ lệch chuẩn để xác định các giá trị ngoại lai và so sánh với kết quả ở ý (b).

1Bước 1: Với bảng tần số, mẹo an toàn nhất là lập tần số tích lũy để biết mỗi giá trị chiếm những vị trí thứ mấy trong dãy đã sắp xếp. Ba học sinh đi 1 lần chiếm các vị trí 1–3; sáu học sinh đi 2 lần chiếm vị trí 4–9; tám học sinh đi 3 lần chiếm vị trí 10–17; bảy học sinh đi 4 lần chiếm vị trí 18–24; bốn học sinh đi 5 lần chiếm vị trí 25–28; hai học sinh đi 9 lần chiếm vị trí 29–30. Tổng cộng

n = 30

, đúng bằng số học sinh đề cho, nên bảng tích lũy không sai sót.

2Bước 2: Vì

n = 30

là số chẵn nên trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 15 và thứ 16. Cả hai vị trí này đều rơi vào khoảng 10–17, tức đều ứng với giá trị 3, do đó

M = 3

. Đây chính là chỗ dễ mất điểm: phương án (A) lấy số trung bình 3,5 làm trung vị, mà tóm tắt năm số không bao giờ dùng số trung bình.

3Bước 3: Nửa dưới gồm 15 giá trị đầu tiên, nên

Q_1

là giá trị ở vị trí thứ 8; vị trí 8 nằm trong khoảng 4–9 nên

Q_1 = 2

. Nửa trên gồm 15 giá trị cuối, giá trị ở giữa nửa này là vị trí thứ 23 của cả dãy; vị trí 23 nằm trong khoảng 18–24 nên

Q_3 = 4

. Kết hợp với

\min = 1

và

\max = 9

, ta được tóm tắt năm số

\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 9\}

, tức phương án (B).

4Bước 4: Từ đó

IQR = Q_3 - Q_1 = 4 - 2 = 2

, và hai hàng rào là

Q_1 - 1.5(IQR) = 2 - 3 = -1

cùng

Q_3 + 1.5(IQR) = 4 + 3 = 7

. Không có học sinh nào có số lần đi thư viện nhỏ hơn

-1

, điều này hiển nhiên vì số lần không thể âm. Ngược lại, hai học sinh đi 9 lần đều vượt quá 7, nên theo quy tắc 1.5(IQR) có hai giá trị ngoại lai, cùng bằng 9.

5Bước 5: Quy tắc thứ hai coi là ngoại lai mọi giá trị cách số trung bình từ hai độ lệch chuẩn trở lên. Ta tính

\bar{x} - 2s = 3{,}5 - 2(1{,}91) = -0{,}32

và

\bar{x} + 2s = 3{,}5 + 2(1{,}91) = 7{,}32

. Không giá trị nào nhỏ hơn

-0{,}32

, còn hai giá trị 9 thì lớn hơn 7,32. Vì vậy hai quy tắc cho cùng một kết luận ở đây, tuy nói chung chúng không nhất thiết trùng nhau vì số trung bình và độ lệch chuẩn đều bị chính các giá trị bất thường kéo theo.

Tóm tắt năm số của số lần đến thư viện là $\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 9\}$ , tức phương án (B). Với $IQR = 2$ , hàng rào trên bằng 7, nên hai học sinh đến thư viện 9 lần trong tháng là giá trị ngoại lai; quy tắc hai độ lệch chuẩn cũng chỉ ra đúng hai học sinh đó. Nói theo ngữ cảnh, đa số học sinh đến thư viện từ 2 đến 4 lần một tháng, còn hai bạn đi 9 lần là những trường hợp nổi bật hẳn so với phần còn lại của lớp.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.