tứ phân vị thứ nhất

Tứ phân vị thứ nhất không phải là điểm cách đáy một phần tư khoảng giá trị.

Nhiều bạn lấy giá trị nhỏ nhất cộng thêm $0.25(\max-\min)$ rồi gọi đó là $Q_1$, nhưng cách đó chia đều trên trục số chứ không chia đều số quan sát. Đúng ra $Q_1$ là giá trị đứng ở vị trí sao cho khoảng $25\%$ số quan sát nằm dưới nó và khoảng $75\%$ nằm trên nó, tức là chia theo đếm chứ không theo khoảng cách. Vì vậy với dữ liệu lệch phải, $Q_1$ thường nằm rất sát giá trị nhỏ nhất, trong khi công thức khoảng cách lại đẩy nó lên tận giữa.

Khi tính $Q_1$ thủ công, phải chia đôi dữ liệu ở trung vị rồi lấy trung vị của nửa dưới.

Sai lầm phổ biến là gộp cả trung vị vào nửa dưới khi $n$ lẻ, hoặc tệ hơn, chỉ đếm lấy phần tử thứ $n/4$ trong dãy đã sắp xếp mà không lấy trung bình cộng của hai giá trị giữa. Quy ước chuẩn trong lớp AP là sắp xếp dữ liệu tăng dần, bỏ trung vị ra ngoài nếu $n$ lẻ, rồi $Q_1$ chính là trung vị của nửa dưới. Nhờ đó kết quả trùng với giá trị mà máy tính bỏ túi trả về ở mục 1-Var Stats, và bạn không mất điểm vì lệch một bậc.

Với phân phối chuẩn, $Q_1$ ứng với $z\approx-0.67$ chứ không phải $z=-1$.

Đây đúng là bẫy của dạng câu hỏi so sánh thứ tự: giá trị có $z=-1.00$ nằm ở khoảng phân vị thứ $16$, còn phân vị thứ 20 (20th percentile) ứng với $z\approx-0.84$, và $Q_1$ ứng với $z\approx-0.67$. Do đó thứ tự từ nhỏ đến lớn là điểm $z=-1$, rồi phân vị $20$, rồi mới đến $Q_1$. Mẹo an toàn là quy tất cả về phân vị: phân vị càng nhỏ thì giá trị càng nhỏ, khỏi phải nhớ ba con số $z$ rời rạc.

Ngưỡng ngoại lai dưới là $Q_1-1.5\cdot\text{IQR}$, không phải $Q_1-1.5\cdot Q_1$ hay $\bar{x}-1.5s$.

Học sinh hay nhớ mang máng "quy tắc 1.5" rồi nhân nhầm vào chính $Q_1$ hoặc vào độ lệch chuẩn (standard deviation), trong khi hệ số $1.5$ luôn đi kèm khoảng tứ phân vị (interquartile range) $\text{IQR}=Q_3-Q_1$. Một nhầm lẫn nữa là coi ngưỡng vừa tính được là một giá trị ngoại lai (outlier); nó chỉ là mốc so sánh, và quan sát nào nhỏ hơn mốc đó mới bị gọi là ngoại lai. Với dữ liệu đếm như số anh chị em, ngưỡng dưới thường ra số âm, nghĩa là đơn giản không có ngoại lai ở phía dưới — điều này hoàn toàn bình thường chứ không phải bạn tính sai.