AP Statistics

khoảng tứ phân vị

interquartile range

Khoảng tứ phân vị là đại lượng đo độ phân tán của 50% giữa trong một tập dữ liệu, được tính bằng hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất.

Để mô tả mức độ trải rộng của dữ liệu, người ta không chỉ dùng phạm vi mà còn cần một thước đo ít bị ảnh hưởng bởi các giá trị cực đoan. Khoảng tứ phân vị đáp ứng nhu cầu đó: nó chỉ tập trung vào nửa giữa của phân phối, bỏ qua 25% thấp nhất và 25% cao nhất. Công thức tính là

$\text{IQR} = Q_3 - Q_1$

trong đó $Q_1$ là tứ phân vị thứ nhất (first quartile) và $Q_3$ là tứ phân vị thứ ba (third quartile). Kết quả cho biết khoảng cách mà 50% dữ liệu nằm giữa trải dài bao nhiêu đơn vị.

Vì khoảng tứ phân vị không tính đến hai đuôi phân phối, nó bền vững trước các giá trị ngoại lai hơn hẳn so với phạm vi. Do đó, khi phân phối lệch mạnh hoặc có điểm bất thường, khoảng tứ phân vị vẫn phản ánh trung thực mức độ tập trung của phần lớn dữ liệu. Ngược lại, nếu dùng phạm vi trong tình huống tương tự, một điểm dữ liệu cực đoan duy nhất cũng đủ làm phóng đại con số lên rất nhiều.

Vì vậy, một ứng dụng quan trọng của khoảng tứ phân vị là quy tắc $1{,}5 \times \text{IQR}$ để xác định giá trị ngoại lai. Theo quy tắc này, bất kỳ quan sát nào nhỏ hơn $Q_1 - 1{,}5 \cdot \text{IQR}$ hoặc lớn hơn $Q_3 + 1{,}5 \cdot \text{IQR}$ đều được coi là giá trị ngoại lai. Ngoài ra, khoảng tứ phân vị còn là cơ sở để vẽ râu trong biểu đồ hộp, giúp so sánh độ phân tán (spread) giữa nhiều nhóm dữ liệu trên cùng một đồ thị.

Ký hiệu

\text{IQR} = Q_3 - Q_1

Trực giác: Nếu xếp cả lớp theo chiều cao và bỏ đi một phần tư số người thấp nhất lẫn một phần tư số người cao nhất, khoảng tứ phân vị chính là khoảng cách giữa người thấp nhất và người cao nhất còn lại — nó đo sự chênh lệch của đúng phần giữa, không bị kéo lệch bởi hai đầu cực.

Công thức

\text{IQR} = \htmlClass{fp-1}{Q_3} - \htmlClass{fp-0}{Q_1}

Dùng để đo độ trải rộng của 50% giá trị trung tâm trong tập dữ liệu, loại bỏ ảnh hưởng của các giá trị ngoại lai (outlier) ở hai đầu. Cũng dùng trong quy tắc 1,5×IQR để xác định ngưỡng phát hiện giá trị ngoại lai.

Trong đó

\text{IQR}

khoảng tứ phân vị — độ dài của khoảng chứa 50% dữ liệu giữa

Q_3

tứ phân vị thứ ba — giá trị mà 75% dữ liệu nằm dưới

Q_1

tứ phân vị thứ nhất — giá trị mà 25% dữ liệu nằm dưới

Q_1 - 1{,}5 \cdot \text{IQR} \quad \text{và} \quad Q_3 + 1{,}5 \cdot \text{IQR}

Dùng để xác định ngưỡng phát hiện giá trị ngoại lai: mọi quan sát nằm dưới Q1 − 1,5·IQR hoặc trên Q3 + 1,5·IQR đều bị coi là giá trị ngoại lai theo quy tắc 1,5×IQR.

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1882Francis GaltonDonald MacAlister

Thuật ngữ "khoảng tứ phân vị" gắn với Francis Galton, người đã dùng nó vào năm 1882 trong "Report of the Anthropometric Committee", sau khi Donald MacAlister đặt tên cho hai mốc tứ phân vị năm 1879, nhằm mô tả độ phân tán của nửa giữa dữ liệu.

Cuối thế kỷ 19, giới nghiên cứu nhân trắc ở Anh phải xử lý những bảng số đo chiều cao, cân nặng và thị lực thu từ hàng nghìn người, và họ nhanh chóng nhận ra rằng vài giá trị cực đoan có thể bóp méo bức tranh chung. Năm 1879, khi trả lời một câu hỏi do Galton nêu ra trong bài "Law of the Geometric Mean", bác sĩ Donald MacAlister đề nghị gọi hai mốc chia đường cong thành bốn phần bằng nhau là tứ phân vị trên và tứ phân vị dưới. Đến năm 1882, Galton dùng chính hai mốc ấy trong báo cáo của Ủy ban Nhân trắc học và đặt tên cho hiệu số giữa chúng, định nghĩa nó bằng hai lần sai số xác suất (probable error). Nhờ đó, thống kê có một thước đo độ phân tán không bị vài số đo bất thường kéo lệch.

Thử nghiệm tương tác

Kéo chấm ngoài cùng ra thật xa — nhìn dải Q1–Q3 đứng yên

Hay hiểu sai

Khoảng tứ phân vị là một con số, không phải một khoảng từ Q1 đến Q3.

Đừng nhầm khoảng tứ phân vị với khoảng biến thiên (range).

Quy tắc phát hiện ngoại lai là $1.5 \times \text{IQR}$ tính từ Q1 và Q3, không phải từ trung vị.

Với biểu đồ tần số, không đọc Q1 và Q3 bằng mắt mà phải cộng dồn tần số.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một huấn luyện viên ghi lại số điểm mà 40 cầu thủ trong câu lạc bộ ghi được trong cả mùa giải. Kết quả được tóm tắt trong bảng tần số dưới đây, trong đó dòng trên là số điểm và dòng dưới là số cầu thủ đạt được số điểm đó. | Số điểm | 3 | 5 | 6 | 8 | 11 | 14 | 18 | 25 | |---|---|---|---|---|---|---|---|---| | Số cầu thủ | 2 | 4 | 6 | 10 | 8 | 5 | 4 | 1 |

aTìm tóm tắt năm số của bộ dữ liệu.
bTính khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị. Trình bày cách tính.
cDùng quy tắc 1.5(IQR), hãy cho biết những giá trị nào là giá trị ngoại lai.
dTheo định nghĩa ở ý (c), số điểm nhỏ nhất mà một cầu thủ phải ghi để bị xem là giá trị ngoại lai phía trên là bao nhiêu?

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · bài “Thống kê mô tả cho một biến định lượng” — khoá AP Statistics

Cần trướctứ phân vị thứ nhất

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

khoảng biến thiênrange

Khác nhau ở đâuKhoảng biến thiên dùng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất nên bị ảnh hưởng mạnh bởi giá trị ngoại lệ, trong khi khoảng tứ phân vị chỉ đo phần giữa 50% dữ liệu nên bền vững hơn

Hay nhầm khiđề hỏi về thống kê bền vững (resistant statistic) mô tả độ phân tán, thí sinh hay chọn nhầm khoảng biến thiên thay vì khoảng tứ phân vị

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 115, 135–136.

1Bước 1: Bảng tần số đã liệt kê các giá trị theo thứ tự tăng dần, nên chỉ cần cộng dồn tần số là biết mỗi giá trị chiếm những vị trí nào trong dãy đã sắp xếp. Cộng dồn lần lượt ta được

2,\;6,\;12,\;22,\;30,\;35,\;39,\;40

, nghĩa là giá trị 8 chiếm các vị trí từ thứ 13 đến thứ 22, còn giá trị 11 chiếm các vị trí từ thứ 23 đến thứ 30. Với

n=40

, trung vị nằm giữa quan sát thứ 20 và thứ 21, mà cả hai quan sát này đều bằng 8. Do đó

M=8

điểm.

2Bước 2: Tứ phân vị thứ nhất (first quartile) là trung vị của 20 quan sát nhỏ nhất, tức là trung bình cộng của quan sát thứ 10 và thứ 11. Cả hai vị trí này đều rơi vào khoảng từ thứ 7 đến thứ 12, nơi giá trị bằng 6, nên

Q_1=6

. Tương tự, tứ phân vị thứ ba là trung vị của 20 quan sát lớn nhất, tức trung bình cộng của quan sát thứ 30 và thứ 31; quan sát thứ 30 bằng 11 còn quan sát thứ 31 bằng 14. Vậy

Q_3=\dfrac{11+14}{2}=12{,}5

điểm, và tóm tắt năm số (five-number summary) là

\{3,\;6,\;8,\;12{,}5,\;25\}

3Bước 3: Hai số đo độ phân tán được hỏi ở ý (b) tuy cùng lấy hiệu của hai giá trị nhưng ý nghĩa rất khác nhau. Khoảng biến thiên (range) lấy hiệu của hai đầu mút:

\text{Max}-\text{Min}=25-3=22

điểm, nên nó phụ thuộc hoàn toàn vào hai quan sát cực đoan nhất. Ngược lại, khoảng tứ phân vị chỉ đo bề rộng của 50% dữ liệu ở giữa:

IQR=Q_3-Q_1=12{,}5-6=6{,}5

điểm. Vì vậy dù trong bảng có một cầu thủ ghi tới 25 điểm, giá trị

IQR

vẫn không hề bị kéo giãn.

4Bước 4: Quy tắc 1.5(IQR) dựng hai rào chắn hai bên hộp dữ liệu rồi xem có quan sát nào rơi ra ngoài hay không. Rào dưới là

Q_1-1{,}5(IQR)=6-1{,}5(6{,}5)=6-9{,}75=-3{,}75

, và vì số điểm nhỏ nhất là 3 nên không có giá trị nào nằm dưới rào này. Rào trên là

Q_3+1{,}5(IQR)=12{,}5+9{,}75=22{,}25

, và chỉ có duy nhất giá trị 25 vượt qua ngưỡng đó. Do đó theo quy tắc này, bộ dữ liệu có đúng một giá trị ngoại lai (outlier) là 25 điểm.

5Bước 5: Câu hỏi ở ý (d) chỉ là cách hỏi ngược của rào chắn vừa dựng: đề không hỏi giá trị nào đang là ngoại lai, mà hỏi ngưỡng nhỏ nhất để một quan sát mới trở thành ngoại lai. Một cầu thủ bị xem là ngoại lai phía trên khi số điểm của cậu ta lớn hơn

22{,}25

. Vì số điểm ghi được luôn là số nguyên, số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện

x>22{,}25

là

x=23

. Vậy 23 điểm là mức nhỏ nhất khiến một cầu thủ bị tách khỏi phần còn lại của đội.

2Ví dụ 2/2

Một kiểm lâm viên đo đường kính (tính bằng inch) của 60 cây thông trong một khu rừng trồng và biểu diễn kết quả bằng biểu đồ tần số ghép nhóm (histogram) với các nhóm rộng 2 inch. Chiều cao các cột được đọc như sau: nhóm

[4,6)

có 6 cây, nhóm

[6,8)

có 14 cây, nhóm

[8,10)

có 22 cây, nhóm

[10,12)

có 12 cây và nhóm

[12,14)

có 6 cây. Dựa vào biểu đồ, giá trị nào trong các phương án sau gần nhất với khoảng tứ phân vị của phân bố đường kính: (A) 1 inch, (B) 3 inch, (C) 5 inch, (D) 8 inch, (E) 10 inch?

1Bước 1: Biểu đồ tần số ghép nhóm không cho ta từng số liệu riêng lẻ, nên không thể tìm chính xác

Q_1

và

Q_3

; điều duy nhất làm được là xác định mỗi tứ phân vị rơi vào nhóm nào. Trước hết cộng tần số các cột để có cỡ mẫu:

6+14+22+12+6=60

cây. Tần số cộng dồn lần lượt là

6,\;20,\;42,\;54,\;60

. Nhờ bảng cộng dồn này ta biết ngay mỗi nhóm chiếm những vị trí nào trong dãy đường kính đã sắp xếp.

2Bước 2: Tứ phân vị thứ nhất đứng ở vị trí ứng với 25% số quan sát, tức khoảng quan sát thứ

0{,}25\times 60=15

. Sáu cây đầu tiên nằm trong nhóm

[4,6)

, còn các vị trí từ thứ 7 đến thứ 20 thuộc nhóm

[6,8)

. Vì

15

nằm giữa 7 và 20 nên

Q_1

chắc chắn thuộc khoảng từ 6 đến 8 inch. Nếu muốn một con số cụ thể, ta chia đều trong nhóm:

Q_1\approx 6+2\cdot\dfrac{15-6}{14}\approx 7{,}3

inch.

3Bước 3: Làm tương tự cho mốc 75%, ta có vị trí

0{,}75\times 60=45

. Tần số cộng dồn cho thấy các vị trí từ thứ 43 đến thứ 54 thuộc nhóm

[10,12)

, nên

Q_3

nằm giữa 10 và 12 inch, và ước lượng chi tiết cho

Q_3\approx 10+2\cdot\dfrac{45-42}{12}=10{,}5

inch. Như vậy hai tứ phân vị nằm ở hai nhóm khác nhau, cách nhau đúng một nhóm ở giữa.

4Bước 4: Chỉ với thông tin về nhóm chứa mỗi tứ phân vị, ta đã chặn được khoảng tứ phân vị: hiệu nhỏ nhất có thể là

10-8=2

inch và hiệu lớn nhất có thể là

12-6=6

inch, tức

2<IQR<6

. Trong năm phương án, chỉ có 3 inch rơi vào khoảng này, nên đáp án là (B). Ước lượng chi tiết ở hai bước trên cũng khẳng định điều đó vì

IQR\approx 10{,}5-7{,}3=3{,}2

inch. Tuy nhiên, cần nhớ rằng phép chia đều trong nhóm chỉ là gần đúng, còn lập luận chặn trên và chặn dưới mới là cách trả lời an toàn cho dạng câu hỏi trắc nghiệm này.

Khoảng tứ phân vị của đường kính đám cây thông xấp xỉ 3 inch, tức 50% số cây ở giữa phân bố có đường kính chênh nhau chỉ khoảng 3 inch; phương án đúng là (B).