Đang tải bài học…

AP Statistics

giá trị ngoại lệ

outlier

Giá trị ngoại lệ là một quan sát nằm quá xa so với phần lớn dữ liệu còn lại, đến mức phá vỡ quy luật chung của tập số liệu.

Trong một tập dữ liệu, phần lớn các quan sát thường tập trung quanh một vùng trung tâm và tạo nên một quy luật phân phối nhất định. Giá trị ngoại lệ là điểm dữ liệu nằm quá xa vùng đó, không tuân theo xu hướng chung. Để xác định giá trị ngoại lệ một cách có hệ thống, người ta dùng quy tắc hàng rào dựa trên khoảng tứ phân vị $\text{IQR} = Q_3 - Q_1$ , trong đó $Q_1$ và $Q_3$ lần lượt là tứ phân vị thứ nhất và thứ ba.

Một quan sát bị coi là giá trị ngoại lệ nếu nó nằm ngoài hàng rào dưới hoặc hàng rào trên, được tính bởi:

$Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR} \quad \text{và} \quad Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$

Hai con số này đặt ra ranh giới mà bất kỳ điểm nào vượt ra ngoài đều được coi là bất thường so với phần còn lại của dữ liệu.

Giá trị ngoại lệ ảnh hưởng đáng kể đến các đại lượng thống kê không kháng nhiễu như trung bình và độ lệch chuẩn (standard deviation), khiến chúng bị kéo lệch về phía điểm cực trị. Vì vậy, khi mô tả phân phối, người ta thường ưu tiên dùng trung vị và khoảng tứ phân vị thay thế. Tuy nhiên, không phải mọi giá trị ngoại lệ đều là sai số đo lường — đôi khi chúng phản ánh thông tin thực sự thú vị về tổng thể. Trên biểu đồ hộp (boxplot), giá trị ngoại lệ được vẽ riêng thành các điểm tách biệt, thay vì được bao gồm trong phần râu.

Ký hiệu

Q_1 - 1{,}5\,\text{IQR}

và

Q_3 + 1{,}5\,\text{IQR}

Trực giác: Nếu cả lớp cao trung bình 1,65 m nhưng có một bạn cao 2,10 m, chiều cao của bạn đó chính là giá trị ngoại lệ — không phải vì đo sai, mà vì nó quá khác so với mọi người còn lại.

Khái niệm này sinh ra từ đâu

khoảng năm 1600 cho tên gọi; 1969–1980 cho các định nghĩa thống kê kinh điểnHawkinsFrank E. GrubbsJohn Tukey

Chữ "outlier" vốn là từ của nghề khai thác đá từ khoảng năm 1600, mãi sau mới được ngành thống kê mượn lại; định nghĩa kinh điển trong thống kê được Hawkins nêu năm 1980 để chỉ quan sát lệch xa đến mức đáng ngờ so với phần còn lại của dữ liệu.

Thử nghiệm tương tác

Kéo chấm ngoài cùng qua lại quanh vạch rào — xem cái rào cũng chạy theo

Hay hiểu sai

Có giá trị ngoại lệ không có nghĩa là không được dùng thủ tục t.

Quy tắc $1.5 \times \text{IQR}$ lấy mốc từ Q1 và Q3, không phải từ giá trị nhỏ nhất và lớn nhất.

Ranh giới dưới âm không có nghĩa là bài làm sai.

Ngoại lệ kéo trung bình đi nhưng gần như không đụng tới trung vị.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một giáo viên ghi lại thời gian đi từ nhà đến trường (đơn vị: phút) của 15 học sinh trong lớp. Số liệu đã được sắp xếp tăng dần như sau: 5, 7, 8, 10, 11, 12, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 22, 25, 46.

aDùng quy tắc $1.5 \times \text{IQR}$ để xác định xem tập số liệu có giá trị ngoại lệ nào không.
bSo sánh ảnh hưởng của giá trị ngoại lệ đó lên trung bình và lên trung vị, rồi cho biết nên dùng số đo nào để mô tả tâm của phân bố này.

1Bước 1: Trước hết ta tìm các tứ phân vị. Vì có

n = 15

giá trị nên trung vị là giá trị đứng thứ 8, tức

Q_2 = 14

. Nửa dưới gồm bảy số 5, 7, 8, 10, 11, 12, 12 nên tứ phân vị thứ nhất là số ở giữa:

Q_1 = 10

. Tương tự, nửa trên gồm 15, 16, 18, 20, 22, 25, 46 cho

Q_3 = 20

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · bài “Mô tả phân phối của một biến định lượng” — khoá AP Statistics

Cần trướckhoảng tứ phân vị

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

quan sát có ảnh hưởnginfluential observation

Khác nhau ở đâuGiá trị ngoại lệ là điểm nằm xa phần còn lại của dữ liệu trên trục y, còn quan sát có ảnh hưởng là điểm mà khi loại bỏ nó thì đường hồi quy thay đổi đáng kể

Hay nhầm khiđề cho biểu đồ phân tán và hỏi điểm nào làm thay đổi hệ số góc — thí sinh hay gọi nhầm điểm có ảnh hưởng là giá trị ngoại lệ

điểm có đòn bẩy caohigh-leverage point

Khác nhau ở đâuĐiểm có đòn bẩy cao nằm xa về phía trục biến giải thích (x) nên có khả năng kéo đường hồi quy, trong khi giá trị ngoại lệ được xác định bởi khoảng cách so với phần còn lại của phân phối y

Hay nhầm khicâu hỏi về hồi quy yêu cầu xác định điểm nào 'có tác động lớn nhất đến đường hồi quy' — thí sinh hay chọn giá trị ngoại lệ thay vì xét đòn bẩy

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 12, 22, 40.

Khi số liệu bắt đầu được thu thập hàng loạt, người phân tích liên tục vấp phải cùng một rắc rối: giữa một dãy quan sát rất đều đặn lại lòi ra vài con số nằm chỏng chơ ở tít ngoài rìa. Câu hỏi thực tế đặt ra là có nên giữ chúng lại hay không, bởi một điểm như vậy có thể chỉ là lỗi nhập liệu hoặc sai số đo, nhưng cũng có thể là dấu hiệu của một hiện tượng thật sự khác thường. Grubbs (1969) mô tả đó là quan sát "lệch rõ rệt" khỏi các thành viên khác trong mẫu, còn Hawkins (1980) diễn đạt sắc hơn: một quan sát lệch xa đến mức làm ta nghi ngờ nó được sinh ra bởi một cơ chế khác. Nhờ đó, việc phát hiện những điểm này trở thành một bước riêng trước khi phân tích.

Vì sao mang đúng cái tên này? Cái tên nghe lạ vì nó không sinh ra trong toán học. Vào khoảng năm 1600, "outlier" là tiếng lóng của nghề khai thác đá, chỉ khối đá đã được xẻ ra khỏi mỏ nhưng bị bỏ lại không dùng đến; từ này ghép bởi tiền tố out- (ngoài) và động từ lie (nằm), nên nghĩa đen chỉ đơn giản là "vật nằm ở ngoài". Ngành thống kê mượn lại đúng hình ảnh đó: điểm dữ liệu nằm ngoài khuôn mẫu chung của phân bố. Về sau, John Tukey biến ý niệm mơ hồ này thành một quy tắc đếm được bằng hàng rào Tukey (Tukey's fences), lấy khoảng tứ phân vị (interquartile range) làm thước đo: mọi quan sát rơi ngoài đoạn $[Q_1-k(Q_3-Q_1),\; Q_3+k(Q_3-Q_1)]$ đều bị gắn cờ. Công thức này nói rằng ta lấy tứ phân vị (quartile) dưới và trên làm mốc rồi nới ra một bội số $k$ của độ rộng giữa chúng; với $k=1.5$ thì điểm bị gọi là ngoại lệ, còn $k=3$ thì bị xếp vào loại "far out", tức lệch rất xa. Chính ngưỡng $1.5$ này là con số mà đề thi vẫn dùng cho đến nay.

Kéo chấm ngoài cùng qua lại quanh vạch rào — xem cái rào cũng chạy theo

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Ngoại lệ không tự động bị loại khỏi dữ liệu.

Mẹo phòng thi

Luôn viết ra hai con số ranh giới trước khi kết luận về ngoại lệ.

Khi kiểm tra điều kiện suy luận về trung bình, phải nêu cỡ mẫu, đừng chỉ nhắc ngoại lệ.

Cẩn thận với câu hỏi trắc nghiệm ghép hai phán đoán về trung vị và số ngoại lệ.

Tần suất trong đề AP StatisticsHay gặp

Bước 2: Từ hai tứ phân vị đó ta tính khoảng tứ phân vị (interquartile range):

\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 20 - 10 = 10.

Con số này cho biết nửa số học sinh nằm giữa trải trên một bề rộng 10 phút, và nó chính là thước đo mà quy tắc nhận diện ngoại lệ lấy làm chuẩn.

3Bước 3: Áp dụng quy tắc

1.5 \times \text{IQR}

(1.5 IQR rule), ta dựng hai hàng rào:

Q_1 - 1.5(\text{IQR}) = 10 - 15 = -5, \qquad Q_3 + 1.5(\text{IQR}) = 20 + 15 = 35.

Mọi quan sát nhỏ hơn

-5

hoặc lớn hơn

35

đều bị xem là giá trị ngoại lệ. Đối chiếu với dữ liệu, chỉ có giá trị

46

vượt hàng rào trên, còn

25

thì chưa; vậy tập số liệu có đúng một giá trị ngoại lệ là 46 phút.

4Bước 4: Sang ý (b), ta tính trung bình khi có và khi không có quan sát 46. Tổng của cả 15 giá trị là 241 nên

\bar{x} = 241/15 \approx 16{,}07

phút. Bỏ giá trị 46 đi, tổng còn 195 với 14 quan sát, cho

\bar{x} \approx 13{,}93

phút. Như vậy một quan sát duy nhất đã kéo trung bình lên hơn hai phút.

5Bước 5: Ngược lại, trung vị hầu như đứng yên: ban đầu là 14 phút, sau khi bỏ 46 thì trung vị của 14 giá trị là

(12 + 14)/2 = 13

phút. Rõ hơn nữa, nếu học sinh đi xa nhất mất 100 phút thay vì 46 thì trung vị vẫn là 14 trong khi trung bình vọt lên gần 20 phút. Đó chính là ý nghĩa của tính kháng (resistant) mà đề thi hay yêu cầu giải thích.

Theo quy tắc $1.5 \times \text{IQR}$ , thời gian 46 phút là giá trị ngoại lệ duy nhất vì nó vượt hàng rào trên 35 phút. Giá trị này kéo trung bình từ khoảng 13,93 lên 16,07 phút nhưng chỉ làm trung vị nhích một phút, cho thấy trung vị bền vững hơn trước các quan sát cực đoan. Do đó, khi mô tả thời gian đi học điển hình của lớp này, nên báo cáo trung vị 14 phút cùng với khoảng tứ phân vị 10 phút thay vì trung bình và độ lệch chuẩn (standard deviation).

2Ví dụ 2/2

Các nhà nghiên cứu muốn ước lượng lượng caffeine trung bình trong một cốc cà phê 16 ounce pha từ một máy pha ở căng tin bệnh viện. Họ chọn ngẫu nhiên 40 cốc được pha vào những thời điểm khác nhau trong một tháng và đo được trung bình mẫu 159,88 mg với độ lệch chuẩn mẫu 36,72 mg. Biểu đồ hộp của mẫu cho thấy phân bố hơi lệch phải và có một giá trị ngoại lệ ở phía trên.

aSự xuất hiện của giá trị ngoại lệ đó có làm điều kiện suy diễn cho khoảng tin cậy $t$ một mẫu bị vi phạm hay không? Giải thích.
bXây dựng khoảng tin cậy 95% cho lượng caffeine trung bình của tất cả các cốc cà phê 16 ounce pha từ máy này và diễn giải kết quả.

1Bước 1: Ta rà lại ba điều kiện quen thuộc của khoảng tin cậy

t

một mẫu. Mẫu được chọn ngẫu nhiên nên điều kiện ngẫu nhiên đạt; 40 cốc chắc chắn nhỏ hơn 10% tổng số cốc mà máy có thể pha nên điều kiện độc lập cũng đạt. Vấn đề duy nhất còn lại là điều kiện về hình dạng phân bố, và đây chính là chỗ giá trị ngoại lệ gây lo ngại.

2Bước 2: Điều kiện hình dạng không đòi hỏi mẫu phải hoàn toàn đối xứng, mà chỉ cần phân bố mẫu của trung bình xấp xỉ chuẩn. Với

n = 40 \ge 30

, định lý giới hạn trung tâm (central limit theorem) bảo đảm điều đó ngay cả khi tổng thể hơi lệch. Vì vậy một giá trị ngoại lệ đơn lẻ trong mẫu cỡ 40 không đủ để phá vỡ điều kiện; kết luận cho ý (a) là các điều kiện vẫn được thỏa mãn. Tuy nhiên, cần nhớ rằng chính giá trị đó đã đẩy

\bar{x}

và

s

lên cao hơn, nên khoảng thu được sẽ rộng hơn bình thường.

3Bước 3: Chuyển sang ý (b), ta tính sai số chuẩn của trung bình mẫu:

SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{36{,}72}{\sqrt{40}} \approx \frac{36{,}72}{6{,}325} \approx 5{,}806.

Đây là mức dao động điển hình của trung bình mẫu quanh trung bình tổng thể, tính theo miligam.

4Bước 4: Với bậc tự do

df = n - 1 = 39

và độ tin cậy 95%, giá trị tới hạn là

t^{*} \approx 2{,}023

. Biên sai số do đó bằng

t^{*} \cdot SE \approx 2{,}023 \times 5{,}806 \approx 11{,}75 \text{ mg}.

Con số này nói rằng ước lượng của ta có thể lệch khoảng 11,75 mg về mỗi phía.

5Bước 5: Cuối cùng, ghép biên sai số vào ước lượng điểm:

159{,}88 \pm 11{,}75 \Rightarrow (148{,}13;\ 171{,}63).

Khoảng này được tính bằng miligam caffeine cho một cốc 16 ounce.

Cả ba điều kiện đều được thỏa mãn: mẫu ngẫu nhiên, 40 cốc nhỏ hơn 10% tổng thể, và vì $n = 40$ đủ lớn nên định lý giới hạn trung tâm khiến một giá trị ngoại lệ duy nhất không làm hỏng tính xấp xỉ chuẩn của phân bố mẫu. Ta tin cậy 95% rằng lượng caffeine trung bình của tất cả các cốc cà phê 16 ounce do máy này pha nằm trong khoảng từ 148,13 mg đến 171,63 mg. Cần lưu ý thêm rằng giá trị ngoại lệ đã làm độ lệch chuẩn mẫu lớn hơn, nên khoảng tin cậy này rộng hơn so với khi phân bố không có quan sát cực đoan.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.