Đang tải bài học…

AP Statistics

boxplot

Còn gọi: box-and-whisker plot

Boxplot là đồ thị tóm tắt phân phối một biến định lượng qua năm số: nhỏ nhất, Q1, trung vị, Q3, lớn nhất, và đánh dấu giá trị ngoại lai.

Biểu đồ hộp được xây dựng trực tiếp từ tóm tắt năm số (five-number summary) của một bộ dữ liệu. Hộp chữ nhật ở giữa trải từ tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ đến tứ phân vị thứ ba $Q_3$ , nên chiều dài hộp chính là khoảng tứ phân vị $IQR = Q_3 - Q_1$ . Một vạch đậm nằm giữa hộp đánh dấu vị trí trung vị $M$ , cho thấy giá trị chia đôi dữ liệu thành hai nửa bằng nhau.

Hai râu (whisker) kéo dài từ hai đầu hộp đến giá trị nhỏ nhất và lớn nhất nằm trong phạm vi chấp nhận được. Phạm vi này thường được quy ước bằng $Q_1 - 1{,}5 \times IQR$ ở phía dưới và $Q_3 + 1{,}5 \times IQR$ ở phía trên; bất kỳ điểm nào nằm ngoài giới hạn đó đều được vẽ riêng thành dấu chấm và được xem là giá trị ngoại lai (outlier). Nhờ quy ước này, người đọc có thể phát hiện nhanh những quan sát bất thường mà không cần xem toàn bộ bộ dữ liệu.

Tuy nhiên, biểu đồ hộp che khuất một số đặc điểm quan trọng của phân phối. Hai bộ dữ liệu có cùng tóm tắt năm số sẽ cho ra biểu đồ hộp giống hệt nhau, dù hình dạng thực tế — đối xứng, lệch, hay có cụm — hoàn toàn khác nhau. Do đó, khi cần nhận xét chi tiết về dáng phân phối, người ta thường vẽ kèm đồ thị chấm (dotplot) hoặc biểu đồ tần số (histogram). Ngược lại, khi so sánh song song nhiều nhóm, biểu đồ hộp vẫn là công cụ trực quan nhất vì nó nén toàn bộ thông tin về trung tâm, độ trải và giá trị bất thường vào một hình duy nhất.

Ký hiệu

Q_1, M, Q_3, IQR, \min, \max

Trực giác: Hãy tưởng tượng bạn kéo giãn một sợi dây thun từ điểm nhỏ nhất đến điểm lớn nhất của bộ dữ liệu; hộp ở giữa là đoạn dây thun bao phủ nửa dữ liệu nằm giữa, vạch trung vị là vị trí bạn nắm, còn hai râu là hai đầu dây thả lỏng — và những hạt bụi bám ngoài đầu dây chính là giá trị ngoại lai.

Công thức

IQR = \htmlClass{fp-1}{Q_3} - \htmlClass{fp-0}{Q_1}

Dùng để xác định chiều rộng của hộp trong biểu đồ hộp (boxplot) và để phát hiện giá trị ngoại lai (outlier) theo quy tắc 1,5 × IQR.

Trong đó

IQR

khoảng tứ phân vị — độ trải của 50% dữ liệu ở giữa

Q_1

tứ phân vị thứ nhất — giá trị chia 25% dữ liệu thấp nhất ra khỏi phần còn lại

Q_3

tứ phân vị thứ ba — giá trị chia 25% dữ liệu cao nhất ra khỏi phần còn lại

\text{outlier nếu } x < Q_1 - 1{,}5 \cdot IQR \text{ hoặc } x > Q_3 + 1{,}5 \cdot IQR

Dùng để quyết định điểm nào được vẽ riêng lẻ bên ngoài râu của biểu đồ hộp thay vì nằm trong phần thân.

Trong đó

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1970John TukeyMary Eleanor Spear

Biểu đồ hộp được John Tukey giới thiệu năm 1970 như một công cụ của phân tích dữ liệu khám phá (exploratory data analysis), nhằm tóm tắt nhanh một tập dữ liệu bằng vài con số vị trí thay vì vẽ lại toàn bộ quan sát.

Vào những năm 1970, khi máy tính chưa sẵn có trên bàn làm việc, nhà thống kê phải nhìn ra hình dạng của dữ liệu bằng bút chì và giấy kẻ. Tukey đề xuất một cách vẽ chỉ cần năm con số tóm tắt: giá trị nhỏ nhất, ba tứ phân vị và giá trị lớn nhất. Nhờ đó người đọc thấy ngay độ phân tán và tính lệch của phân bố, đồng thời so sánh được nhiều nhóm cạnh nhau trên cùng một trục. Ông trình bày đầy đủ ý tưởng này trong cuốn sách xuất bản năm 1977. Trước đó, năm 1952, Mary Eleanor Spear đã giới thiệu một dạng gần gũi gọi là biểu đồ thanh khoảng biến thiên.

Thử nghiệm tương tác

Kéo một chấm giá giày ra thật xa — nhìn râu tụt lại và hộp đứng yên

Hay hiểu sai

Biểu đồ hộp không cho biết hình dạng đầy đủ của phân bố.

Tứ phân vị thứ nhất là mốc dưới 25%, không phải trên 25%.

Độ dài của hộp là khoảng tứ phân vị, không phải khoảng biến thiên.

Có giá trị ngoại lai không tự động phá điều kiện suy luận khi mẫu đủ lớn.

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Alicia muốn ước lượng chênh lệch giá trung bình giữa hai hãng giày. Cô lấy ngẫu nhiên 40 loại giày của hãng A và 33 loại giày của hãng B, rồi ghi lại giá bán lẻ (đơn vị: đô la). Với mẫu của hãng A, tóm tắt năm số (five-number summary) là Min = 32,

Q_1 = 55

, Med = 68,

Q_3 = 85

, Max = 145; hai giá trị lớn nhất trong mẫu là 138 và 145, và không có giá trị nào khác vượt quá 130. Khi vẽ biểu đồ hộp cho mẫu hãng A, Alicia thấy hai điểm nằm tách hẳn về phía phải của râu bên phải.

aDùng quy tắc $1.5 \times \text{IQR}$ để kiểm chứng rằng hai điểm tách riêng đó đúng là giá trị ngoại lai.
bDựa vào biểu đồ hộp, mô tả hình dạng và độ phân tán của phân bố giá giày hãng A trong ngữ cảnh bài toán.
cAlicia muốn xây dựng khoảng tin cậy cho hiệu hai trung bình tổng thể. Sự có mặt của hai giá trị ngoại lai có làm điều kiện về phân bố mẫu bị vi phạm không?

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · bài “Đồ thị cho các đại lượng mô tả (boxplot…)” — khoá AP Statistics

Cần trướctóm tắt năm số khoảng tứ phân vị

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

histogramhistogram

Khác nhau ở đâuBoxplot tóm tắt phân phối qua năm số đặc trưng nên dễ so sánh nhiều nhóm, trong khi histogram cho thấy hình dạng chi tiết của phân phối nhưng khó chồng nhiều nhóm lên nhau

Hay nhầm khiđề hỏi chọn biểu đồ phù hợp để so sánh phân phối của hai hoặc nhiều nhóm — khi đó boxplot là lựa chọn ưu tiên, không phải histogram

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 22, 130, 135.

x

giá trị quan sát cần kiểm tra

Q_1 - 1{,}5 \cdot IQR

hàng rào dưới — giá trị nhỏ hơn ngưỡng này bị coi là giá trị ngoại lai

Q_3 + 1{,}5 \cdot IQR

hàng rào trên — giá trị lớn hơn ngưỡng này bị coi là giá trị ngoại lai

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gốc đầy đủ là "box-and-whisker plot" — biểu đồ hộp và râu. Chiếc "hộp" là hình chữ nhật nối tứ phân vị thứ nhất với tứ phân vị thứ ba, tức phần thân chứa nửa số quan sát ở giữa; hai đoạn thẳng kéo dài ra hai phía trông giống bộ râu mèo nên được gọi là "whisker". Khi dùng hằng ngày, người ta rút gọn còn "boxplot", giữ lại đúng chi tiết dễ nhận ra nhất của hình vẽ. Cách gọi này cũng nhắc rằng chiều dài của hộp chính là khoảng tứ phân vị (interquartile range), còn râu dài ngắn khác nhau là dấu hiệu của phân bố lệch.

Kéo một chấm giá giày ra thật xa — nhìn râu tụt lại và hộp đứng yên

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mỗi khi đọc biểu đồ hộp, viết ra năm số tóm tắt trước khi trả lời.

Khi so sánh hai biểu đồ hộp, phải nói cả tâm lẫn độ phân tán bằng số.

Trong phần kiểm tra điều kiện, gọi tên cỡ mẫu và định lý, đừng chỉ nói "có ngoại lai".

Tần suất trong đề AP StatisticsHay gặp

1Bước 1: Trước hết ta tìm chiều dài của chiếc hộp, vì mọi ranh giới của biểu đồ hộp đều được đo theo đại lượng này. Khoảng tứ phân vị (interquartile range) bằng

\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 85 - 55 = 30

, nghĩa là 50% số loại giày ở giữa của mẫu có giá nằm trong một dải rộng 30 đô la. Từ đó ta tính được

1.5 \times \text{IQR} = 45

, tức là một quan sát phải cách mép hộp hơn 45 đô la thì mới bị coi là bất thường.

2Bước 2: Tiếp theo ta đặt hai ranh giới về hai phía của hộp:

Q_1 - 1.5\,\text{IQR} = 55 - 45 = 10

và

Q_3 + 1.5\,\text{IQR} = 85 + 45 = 130

. Giá thấp nhất trong mẫu là 32 đô la, vẫn lớn hơn 10, nên phía trái không có gì bất thường. Ngược lại, hai giá 138 và 145 đều vượt ngưỡng 130, trong khi mọi giá còn lại đều không quá 130. Vì vậy đúng có hai giá trị ngoại lai (outlier), và râu bên phải của biểu đồ hộp chỉ kéo dài tới quan sát lớn nhất còn nằm dưới 130.

3Bước 3: Bây giờ ta đọc hình dạng qua vị trí của vạch trung vị bên trong hộp. Khoảng cách từ trung vị lên

Q_3

là

85 - 68 = 17

, còn khoảng cách từ

Q_1

lên trung vị chỉ là

68 - 55 = 13

; thêm vào đó, râu phải và hai điểm tách riêng kéo dài hơn hẳn râu trái. Do đó phân bố giá giày hãng A lệch phải: đa số loại giày có giá tập trung quanh 55–85 đô la, còn một vài mẫu cao cấp đội giá lên tới gần 145 đô la. Về độ phân tán, nửa giữa của dữ liệu trải rộng 30 đô la, còn toàn bộ mẫu trải từ 32 đến 145 đô la.

4Bước 4: Cuối cùng ta xét điều kiện cho khoảng tin cậy hiệu hai trung bình. Điều kiện cần kiểm tra không phải là "dữ liệu không có giá trị ngoại lai", mà là phân bố mẫu của hiệu hai trung bình mẫu xấp xỉ chuẩn. Ở đây

n_1 = 40 \ge 30

và

n_2 = 33 \ge 30

, nên theo định lý giới hạn trung tâm (central limit theorem) điều kiện này được thỏa mãn dù mẫu hãng A hơi lệch phải và có hai giá trị ngoại lai.

Với $\text{IQR} = 30$ và ngưỡng trên $130$ , hai mức giá 138 và 145 đô la đúng là giá trị ngoại lai, nên biểu đồ hộp hiển thị chúng thành hai điểm tách riêng. Phân bố giá giày hãng A lệch phải, trung vị 68 đô la, nửa giữa dữ liệu trải rộng 30 đô la và một vài mẫu có giá rất cao. Vì cả hai cỡ mẫu đều ít nhất 30, điều kiện về phân bố mẫu vẫn được thỏa mãn, nên Alicia có thể tiến hành xây dựng khoảng tin cậy cho hiệu giá trung bình của hai hãng.

2Ví dụ 2/2

Vẫn với dữ liệu giá giày ở trên, Alicia vẽ hai biểu đồ hộp song song (parallel boxplots) trên cùng một trục số. Mẫu 40 loại giày hãng A có Min = 32,

Q_1 = 55

, Med = 68,

Q_3 = 85

, Max = 145 với hai giá trị ngoại lai là 138 và 145. Mẫu 33 loại giày hãng B có Min = 40,

Q_1 = 62

, Med = 75,

Q_3 = 88

, Max = 110 và không có giá trị ngoại lai nào.

aTrong bốn phát biểu sau, những phát biểu nào được dữ liệu ủng hộ? (I) Trung vị giá của hãng B lớn hơn trung vị giá của hãng A. (II) Khoảng tứ phân vị của hãng A nhỏ hơn của hãng B. (III) Có ít nhất 25% số loại giày hãng A trong mẫu có giá trên 85 đô la. (IV) Phân bố giá của hãng B có hai cụm giá tách biệt.
bGiải thích vì sao không thể dùng biểu đồ hộp để kết luận về phát biểu (IV).

1Bước 1: Với dạng câu hỏi "phát biểu nào được dữ liệu ủng hộ", cách làm an toàn là xét lần lượt từng phát biểu và chỉ chấp nhận những gì đọc được trực tiếp từ năm con số của mỗi hộp. Phát biểu (I) so sánh hai vạch trung vị: hãng B có Med = 75 còn hãng A có Med = 68, tức là vạch giữa của hộp B nằm lệch sang phải so với hộp A. Vì

75 > 68

, phát biểu (I) được ủng hộ.

2Bước 2: Phát biểu (II) so sánh chiều dài hai chiếc hộp, nên ta tính trực tiếp:

\text{IQR}_A = 85 - 55 = 30

và

\text{IQR}_B = 88 - 62 = 26

. Hộp của hãng A dài hơn hộp của hãng B, nghĩa là nửa giữa dữ liệu của hãng A phân tán rộng hơn chứ không hẹp hơn. Do đó phát biểu (II) sai, và đây chính là loại bẫy đảo chiều mà đề thi rất hay dùng.

3Bước 3: Phát biểu (III) dựa vào ý nghĩa phân vị của mép phải chiếc hộp. Theo định nghĩa,

Q_3 = 85

tách khoảng 25% quan sát lớn nhất ra khỏi phần còn lại, nên xấp xỉ

0.25 \times 40 = 10

loại giày hãng A có giá từ 85 đô la trở lên. Vì vậy phát biểu (III) phù hợp với dữ liệu và được ủng hộ.

4Bước 4: Phát biểu (IV) nói về cụm giá, tức là về hình dạng chi tiết bên trong từng khoảng. Biểu đồ hộp chỉ cho biết vị trí của năm mốc và ranh giới của các giá trị bất thường; nó hoàn toàn không cho biết dữ liệu bên trong mỗi phần tư dồn về đâu, có khoảng trống hay có mấy đỉnh. Hai tập số liệu rất khác nhau vẫn có thể cho ra hai biểu đồ hộp giống hệt, nên muốn xét cụm hay khoảng trống thì phải nhìn biểu đồ chấm hoặc biểu đồ tần số dạng cột. Vì vậy phát biểu (IV) không thể kết luận được từ hình vẽ đã cho.

Chỉ có hai phát biểu (I) và (III) được dữ liệu ủng hộ: giá trung vị của giày hãng B (75 đô la) cao hơn của hãng A (68 đô la), và khoảng 25% số loại giày hãng A trong mẫu có giá trên 85 đô la. Phát biểu (II) sai vì nửa giữa dữ liệu của hãng A rộng 30 đô la, lớn hơn 26 đô la của hãng B. Phát biểu (IV) không kiểm chứng được, bởi biểu đồ hộp không mô tả cách các mức giá phân bố bên trong từng phần tư.

Dẫn tớiđộ phân tán

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.