AP Statistics

histogram

Histogram là đồ thị dùng các cột liền nhau biểu diễn phân phối dữ liệu định lượng, chiều cao cột là tần số hoặc tần số tương đối của nhóm.

Để xây dựng biểu đồ tần số, tập dữ liệu định lượng được chia thành các nhóm có độ rộng bằng nhau trên trục hoành. Với mỗi nhóm $i$ , tần số tương đối được tính theo công thức $r_i = f_i / n$ , trong đó $f_i$ là số quan sát rơi vào nhóm $i$ và $n$ là tổng số quan sát. Chiều cao mỗi cột bằng $f_i$ nếu trục tung biểu diễn tần số, hoặc bằng $r_i$ nếu biểu diễn tần số tương đối; do đó, diện tích toàn bộ các cột khi dùng tần số tương đối sẽ cộng lại bằng 1.

Vì cấu trúc liền mạch này, các cột trong biểu đồ tần số kề sát nhau, phản ánh tính liên tục của dữ liệu định lượng — đây là điểm phân biệt nó với biểu đồ cột dùng cho dữ liệu phân loại. Nhờ đó, người đọc có thể nhận ra hình dạng tổng thể của phân phối: đối xứng, lệch phải, hay lệch trái. Ngoài ra, các đặc điểm bất thường như giá trị ngoại lai (outlier), khoảng trống giữa các nhóm, hoặc sự tập trung dày đặc ở một vùng cũng hiện ra rõ ràng trên đồ thị.

Trong AP Statistics, khi mô tả một biểu đồ tần số, thí sinh cần đề cập đến bốn yếu tố: hình dạng, trung tâm, độ biến thiên, và các đặc điểm bất thường — luôn gắn với ngữ cảnh cụ thể của dữ liệu. Khi so sánh hai biểu đồ tần số, cần dùng ngôn ngữ đối chiếu trực tiếp thay vì mô tả từng đồ thị riêng lẻ. Vì vậy, ngôn ngữ ước lượng như "xấp xỉ đối xứng" hay "lệch phải nhẹ" được khuyến khích hơn là khẳng định tuyệt đối, vì phân phối thực tế hiếm khi hoàn toàn lý tưởng.

Ký hiệu

• $f_i$ — tần số nhóm thứ $i$
• $r_i = f_i/n$ — tần số tương đối nhóm thứ $i$

Trực giác: Hình dung đổ một túi bi nhiều màu vào các ngăn kệ sắp liền nhau theo kích thước — nhóm nào nhiều bi nhất thì cột cao nhất, và nhìn một lượt là thấy ngay bi cỡ nào chiếm đa số.

Công thức

f_i = \frac{n_i}{n}

Dùng khi tính tần số tương đối của mỗi nhóm trong histogram: chia số quan sát trong nhóm thứ $i$ cho tổng số quan sát.

Trong đó

f_i

tần số tương đối của nhóm thứ

i

n_i

số quan sát trong nhóm thứ

i

n

tổng số quan sát

Khái niệm này sinh ra từ đâu

khoảng 1891–1892Karl PearsonWilliam Playfair

Thuật ngữ "histogram" do Karl Pearson — người đặt nền móng cho thống kê toán học — đưa ra vào khoảng năm 1891–1892, trong các bài giảng tại University College London, để gọi tên một cách vẽ dữ liệu vốn đã quen thuộc nhưng chưa có tên gọi riêng.

Cuối thế kỷ 19, việc vẽ dữ liệu thành cột không còn mới: William Playfair đã dùng biểu đồ cột (bar chart) từ năm 1786 để trình bày số liệu kinh tế. Cái còn thiếu là một tên gọi riêng cho dạng hình mà mỗi cột đứng trên một khoảng giá trị và diện tích cột thể hiện tần số rơi vào khoảng đó. Pearson, khi giảng về hình học của thống kê, đã đặt tên cho nó. Chính ông mô tả đây là "một dạng biểu diễn đồ thị thường gặp", trong đó các cột đánh dấu bằng diện tích phần tần số ứng với bề rộng đáy của chúng. Nhờ có tên, công cụ này bước hẳn vào ngôn ngữ chung của thống kê và trở thành cách chuẩn để nhìn hình dạng của một phân bố tần số (frequency distribution).

Thử nghiệm tương tác

Kéo độ rộng nhóm — nhìn khoảng trống biến mất rồi hiện lại

Hay hiểu sai

Nhiều bạn dùng lẫn lộn histogram với biểu đồ cột (bar chart) vì cả hai đều vẽ bằng những cột đứng.

Lỗi kinh điển thứ hai là xác định hướng lệch theo phía có cột cao.

Nhiều bạn ước lượng tứ phân vị từ histogram bằng cách lấy điểm giữa hoặc chia đôi phạm vi.

Một khoảng trống (gap) trên histogram thường bị hiểu là "vẽ sai" hoặc "chắc chắn có giá trị ngoại lai (outlier)".

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một nhà vườn đo chiều cao (đơn vị: inch) của 50 cây giống và biểu diễn kết quả bằng histogram với các nhóm rộng 2 inch. Tần số của các nhóm lần lượt là: [10,12): 4 cây; [12,14): 8 cây; [14,16): 14 cây; [16,18): 12 cây; [18,20): 8 cây; [20,22): 4 cây. Đề hỏi theo đúng kiểu AP: "Based on the histogram, which of the following is closest to the interquartile range, in inches, of the distribution?" (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 10

1Bước 1: Trước khi làm bất cứ phép tính nào, hãy nhớ rằng histogram không cho ta từng giá trị riêng lẻ mà chỉ cho biết mỗi nhóm (bin) chứa bao nhiêu quan sát. Vì vậy công việc đầu tiên luôn là đọc chiều cao các cột và cộng lại để biết cỡ mẫu:

n=\sum f_i = 4+8+14+12+8+4 = 50

. Con số 50 này là chìa khóa, bởi mọi vị trí phân vị sau đó đều được tính từ nó. Tiếp theo, ta lập tần số tích lũy để biết mỗi nhóm "chứa" những thứ hạng nào:

4,\ 12,\ 26,\ 38,\ 46,\ 50

2Bước 2: Khoảng tứ phân vị (interquartile range) được xây từ hai mốc

Q_1

và

Q_3

, nên ta phải định vị chúng trong dãy 50 giá trị đã sắp xếp. Vị trí của chúng là

0.25n = 12.5

và

0.75n = 37.5

, nghĩa là

Q_1

nằm ở khoảng giá trị thứ 12,5 còn

Q_3

ở khoảng giá trị thứ 37,5. Đối chiếu với tần số tích lũy: hai giá trị đầu tiên đã lấp đầy 12 thứ hạng, nên thứ hạng 12,5 rơi vào nhóm

[14,16)

; tương tự, 26 thứ hạng đầu kết thúc ở cuối nhóm

[14,16)

, nên thứ hạng 37,5 rơi vào nhóm

[16,18)

. Nhờ đó ta đã khoanh vùng được cả hai tứ phân vị mà chưa cần số liệu gốc.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · bài “Đồ thị cho một biến định lượng” — khoá AP Statistics

Cần trướcphân phối tần số

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

biểu đồ cộtbar chart

Khác nhau ở đâuHistogram dùng cho biến định lượng với các cột liền nhau; biểu đồ cột dùng cho biến phân loại với các cột có khoảng cách

Hay nhầm khiNhầm lẫn giữa biểu diễn biến định lượng và biến phân loại

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 22, 63, 79.

2Ví dụ 2/2

Một cửa hàng ghi lại giá (đơn vị: đô la) của 30 mặt hàng và vẽ histogram với các nhóm rộng 10 đô la, tần số như sau: [0,10): 5; [10,20): 9; [20,30): 6; [30,40): 0; [40,50): 0; [50,60): 4; [60,70): 6. Đề hỏi theo kiểu AP: "Which of the following statements is true about this distribution, which appears to have a gap when displayed as a histogram?" (A) Bốn mặt hàng ở nhóm [50,60) và sáu mặt hàng ở nhóm [60,70) đều là giá trị ngoại lai. (B) Phân bố có một khoảng trống giữa 30 và 50 đô la, tách dữ liệu thành hai cụm, và trung bình rơi vào vùng không có mặt hàng nào. (C) Trung bình và trung vị xấp xỉ bằng nhau vì phân bố đối xứng. (D) Khoảng trống chứng tỏ dữ liệu bị ghi sai và phải loại bỏ.

1Bước 1: Đầu tiên hãy mô tả đúng thứ mà mắt nhìn thấy. Hai nhóm

[30,40)

và

[40,50)

có tần số bằng 0, tức là không có mặt hàng nào được bán trong khoảng giá từ 30 đến 50 đô la; đó chính là một khoảng trống (gap). Khoảng trống này chia 30 quan sát thành hai cụm (cluster): một cụm giá rẻ gồm

5+9+6=20

mặt hàng dưới 30 đô la và một cụm giá cao gồm

4+6=10

mặt hàng từ 50 đô la trở lên. Vì cụm thấp lệch phải nhẹ còn cụm cao khá tập trung, tổng thể phân bố là hai đỉnh chứ không đối xứng, nên phương án (C) sai ngay từ hình dạng.

2Bước 2: Tiếp theo, ta ước lượng tâm bằng điểm giữa của từng nhóm, ký hiệu

m_i

, và tần số

f_i

\bar{x}=\frac{\sum m_i f_i}{n}=\frac{5(5)+15(9)+25(6)+55(4)+65(6)}{30}=\frac{920}{30}\approx 30.7

Công thức này coi mọi mặt hàng trong một nhóm đều có giá bằng điểm giữa nhóm đó, một xấp xỉ chấp nhận được khi ta chỉ có histogram. Kết quả rất đáng chú ý: trung bình khoảng 30,7 đô la lại nằm gọn trong khoảng trống, nơi thực tế không có mặt hàng nào cả. Đây là lời nhắc rằng với dữ liệu hai cụm, trung bình có thể mô tả một giá trị "điển hình" mà chẳng vật nào trong mẫu sở hữu.

3Bước 3: Trung vị thì kể một câu chuyện khác. Với

n=30

, trung vị nằm ở vị trí

\frac{30+1}{2}=15.5

; tần số tích lũy là

5,\ 14,\ 20

, nên thứ hạng 15,5 rơi vào nhóm

[20,30)

và nội suy cho

M \approx 20 + \frac{15.5-14}{6}\times 10 = 22.5

Vậy trung vị khoảng 22,5 đô la, thấp hơn trung bình 30,7 đô la khá nhiều, đúng như kỳ vọng khi có một cụm giá trị lớn kéo trung bình về phía phải. Sự chênh lệch này củng cố thêm rằng phân bố không đối xứng.

4Bước 4: Cuối cùng phải kiểm tra xem cụm giá cao có thật sự là giá trị ngoại lai (outlier) hay không, vì đây là bẫy quen thuộc của đề. Định vị tứ phân vị:

0.25n=7.5

nên

Q_1 \approx 10+\frac{7.5-5}{9}\times 10 \approx 12.8

;

0.75n=22.5

rơi vào nhóm

[50,60)

nên

Q_3 \approx 50+\frac{22.5-20}{4}\times 10 \approx 56.3

. Khi đó

IQR \approx 43.5

và ngưỡng trên là

Q_3+1.5\,IQR \approx 56.3+65.3 \approx 121.6

đô la, cao hơn hẳn mọi mặt hàng trong mẫu. Do đó không có quan sát nào bị xếp là ngoại lai, phương án (A) sai; và vì khoảng trống chỉ phản ánh cửa hàng bán hai dòng sản phẩm khác nhau chứ không phải lỗi ghi chép, phương án (D) cũng sai.

Phương án đúng là (B): histogram cho thấy một khoảng trống giữa 30 và 50 đô la chia dữ liệu thành hai cụm giá rõ rệt, trung vị khoảng 22,5 đô la trong khi trung bình khoảng 30,7 đô la lại rơi đúng vào vùng không có mặt hàng nào. Khi mô tả loại phân bố này trong bài thi, hãy nêu hình dạng hai đỉnh, tâm, độ biến thiên và khoảng trống kèm ngữ cảnh giá cả, đồng thời nhớ rằng một khoảng trống tự nó không biến các quan sát phía sau thành giá trị ngoại lai.