Đang tải bài học…

AP Statistics

hình dạng (của phân phối)

shape

Còn gọi: dạng phân phối

Hình dạng phân phối là dáng tổng thể của đồ thị dữ liệu: đối xứng hay lệch, một đỉnh hay nhiều đỉnh, cho biết dữ liệu dồn về đâu trên trục số.

Khi vẽ đồ thị cho một biến định lượng, người ta mô tả phân phối theo bốn khía cạnh: hình dạng, tâm, độ phân tán và những điểm bất thường. Hình dạng là khía cạnh nhìn thấy trước hết, vì nó cho biết toàn bộ khối dữ liệu dồn về đâu trên trục số. Một đồ thị cột (histogram) có thể đối xứng, khi hai nửa gương phản chiếu nhau qua tâm; có thể đều như hộp, khi mọi nhóm có tần số gần bằng nhau; hoặc có thể bị kéo lệch sang một phía. Nhờ đó, chỉ cần liếc đồ thị, ta đã đoán được tâm nằm ở đâu và dữ liệu có bóp méo hay không.

Hình dạng gắn chặt với mối quan hệ giữa hai số đo tâm. Ở phân phối đối xứng, trung bình và trung vị trùng nhau. Ngược lại, khi phân phối lệch phải — đuôi kéo dài về phía giá trị lớn — một số giá trị lớn kéo trung bình đi lên, nên $\bar{x} > M$ , trong đó $M$ là trung vị. Lệch trái thì điều ngược xảy ra: $\bar{x} < M$ . Vì vậy, nếu đề hỏi vì sao trung bình lớn hơn trung vị, câu trả lời thường nằm ở đuôi lệch phải của đồ thị, chứ không cần tính toán thêm.

Khi làm bài free-response, hãy mô tả hình dạng bằng ngôn ngữ không dứt khoát như "khoảng đối xứng" hay "xấp xỉ chuẩn (approximately normal)", vì dữ liệu thật hiếm khi đối xứng hoàn hảo. Khi so sánh hai phân phối, dùng câu so sánh trực tiếp thay vì hai danh sách rời rạc, và luôn nhắc bối cảnh của biến đang xét. Ngoài ra cần gọi tên các nét bất thường: giá trị ngoại lai (outlier), khoảng trống, hay cụm giá trị tách bạch. Một chi tiết hay bị bỏ quên là hình dạng không đổi dù trục dọc ghi tần số hay tần số tương đối, vì hai cách ghi chỉ khác nhau một tỉ số chung.

Trực giác: Hình dạng phân phối như dáng núi nhìn từ trên cao: núi cân đối hai bên là đối xứng, sườn nào dài ra xa là lệch về phía đó.

Thử nghiệm tương tác

Nặn lại đám dữ liệu — xem hình dạng đổi và hai vạch trung bình, trung vị chạy theo

Hay hiểu sai

Lệch phải hay lệch trái được xác định bởi đuôi dài, không phải bởi chỗ dữ liệu dồn lại.

Điều kiện $np \ge 10$ nói về hình dạng của phân phối mẫu, không nói gì về hình dạng dữ liệu gốc.

Biến phân loại không có hình dạng phân phối.

Mô tả phân phối mà chỉ nói hình dạng là câu trả lời thiếu, không phải câu trả lời ngắn gọn.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một phòng khám ghi lại thời gian chờ (tính bằng phút) của 80 bệnh nhân trong một buổi sáng. Kết quả được tóm tắt trong bảng tần số theo nhóm dưới đây, và biểu đồ tần số dựng từ bảng này có các cột thấp dần từ trái sang phải. | Thời gian chờ (phút) | Số bệnh nhân | |---|---|

[0,5)

[5,10)

[10,15)

[15,20)

[20,25)

[25,30)

aMô tả hình dạng của phân phối thời gian chờ.
bKhông cần vẽ biểu đồ, hãy dự đoán quan hệ giữa trung bình và trung vị của thời gian chờ, rồi kiểm chứng bằng tính toán trên bảng tần số.

1Bước 1: Trước hết ta xem xu hướng thay đổi của các tần số khi đi từ nhóm thấp sang nhóm cao. Dãy tần số là 26, 22, 15, 9, 5, 3, tức là giảm đều đặn và không hề tăng trở lại ở bất kỳ chỗ nào. Vì vậy phân phối chỉ có một đỉnh duy nhất, nằm ở nhóm đầu tiên

[0,5)

, nên nó là phân phối đơn đỉnh (unimodal).

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · bài “Đồ thị cho một biến định lượng” — khoá AP Statistics

Cần trướcphân phối tần số

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

độ phân tánspread

Khác nhau ở đâuHình dạng mô tả kiểu phân bố tổng thể (đối xứng, lệch, hai đỉnh), còn độ phân tán đo mức độ trải rộng của các giá trị quanh trung tâm

Hay nhầm khikhi đề yêu cầu mô tả biểu đồ, thí sinh lẫn lộn nhận xét về hình dạng với nhận xét về độ trải rộng

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 22, 35, 88.

Nặn lại đám dữ liệu — xem hình dạng đổi và hai vạch trung bình, trung vị chạy theo

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mẹo phòng thi

Luôn thêm chữ "xấp xỉ" khi gọi tên hình dạng của dữ liệu thật.

Câu hỏi so sánh phải có từ so sánh trong câu, không được mô tả hai phân phối rời nhau.

Nối hình dạng với việc chọn số đo tâm, vì đó là chỗ đề hay gài.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

2Bước 2: Tiếp theo ta so sánh hai phía của đỉnh. Bên trái đỉnh không còn nhóm nào nữa, trong khi bên phải phân phối kéo dài qua bốn nhóm với tần số nhỏ dần cho tới tận 30 phút. Đuôi bên phải do đó dài hơn hẳn đuôi bên trái, và đây chính là dấu hiệu của phân phối lệch phải (skewed to the right). Ngoài ra, mọi nhóm đều có tần số khác 0 nên không có khoảng trống, và tần số giảm dần đều nên không có nhóm nào tách rời hẳn để nghi ngờ là giá trị ngoại lai (outlier).

3Bước 3: Bây giờ sang ý (b). Với dữ liệu lệch phải, những giá trị lớn ở đuôi kéo trung bình đi lên nhưng gần như không làm trung vị dịch chuyển, bởi trung vị chỉ phụ thuộc vào vị trí chứ không phụ thuộc vào độ lớn của các quan sát. Do đó ta dự đoán trung bình lớn hơn trung vị.

4Bước 4: Để kiểm chứng, ta ước lượng trung bình bằng cách coi mỗi bệnh nhân trong một nhóm có giá trị bằng điểm giữa nhóm đó:

2.5;\ 7.5;\ 12.5;\ 17.5;\ 22.5;\ 27.5

. Khi đó

\bar{x}\approx\frac{\sum f_i m_i}{n}=\frac{26(2.5)+22(7.5)+15(12.5)+9(17.5)+5(22.5)+3(27.5)}{80}

Tử số bằng

65+165+187.5+157.5+112.5+82.5=770

, nên

\bar{x}\approx 770/80=9.625

phút. Ở đây

f_i

là tần số và

m_i

là điểm giữa của nhóm thứ

i

5Bước 5: Với trung vị, ta cộng dồn tần số: hết nhóm

[0,5)

mới được 26 quan sát, hết nhóm

[5,10)

đã được

26+22=48

quan sát. Vì

n=80

nên trung vị nằm ở khoảng giữa quan sát thứ 40 và 41, tức là rơi vào nhóm

[5,10)

. Nội suy tuyến tính trong nhóm đó cho

M\approx 5+5\cdot\frac{40.5-26}{22}\approx 8.3\ \text{min}

nghĩa là trung vị xấp xỉ 8.3 phút, đúng như dự đoán là nhỏ hơn trung bình 9.6 phút.

Phân phối thời gian chờ của 80 bệnh nhân có một đỉnh duy nhất ở nhóm 0–5 phút, lệch phải với đuôi kéo dài tới khoảng 30 phút, không có khoảng trống và không có giá trị nào tách hẳn ra khỏi phần còn lại. Đúng như hình dạng lệch phải gợi ý, trung bình (khoảng 9.6 phút) lớn hơn trung vị (khoảng 8.3 phút), vì một số ít bệnh nhân phải chờ rất lâu đã kéo trung bình lên trong khi trung vị hầu như không bị ảnh hưởng.

2Ví dụ 2/2

Ban quản lý một vườn quốc gia phát tài liệu hướng dẫn cho học sinh, sau đó cho làm một bài kiểm tra ngắn 20 câu về cây sồi. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 15 học sinh (nhóm A) và một mẫu ngẫu nhiên gồm 15 nhân viên chuyên môn của vườn (nhóm B) cùng làm bài kiểm tra đó. Điểm số thu được, đã sắp xếp tăng dần, như sau: Nhóm A: 6, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 18 Nhóm B: 10, 13, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 18, 19, 19, 20

aMô tả và so sánh hình dạng của hai phân phối điểm số.
bVườn quốc gia coi một người là "nắm vững tài liệu" nếu đạt từ 16 điểm trở lên. Dựa vào hình dạng đã mô tả, nhóm nào có tỷ lệ người nắm vững tài liệu lớn hơn? Hãy tính để xác nhận.

1Bước 1: Ta bắt đầu với nhóm A. Các điểm tập trung quanh vùng 10–12 và thưa dần đều về cả hai phía, với giá trị nhỏ nhất 6 và lớn nhất 18. Trung vị là quan sát thứ 8, tức

M_A=11

, còn trung bình là

\bar{x}_A=164/15\approx 10.9

; hai số này gần như trùng nhau, nên phân phối của nhóm A gần đối xứng (roughly symmetric) và đơn đỉnh.

2Bước 2: Cần kiểm tra xem điểm 18 có bất thường không, vì nó nằm khá xa phần đông. Với nhóm A,

Q_1=8

và

Q_3=13

nên

IQR=5

, và ngưỡng trên là

Q_3+1.5(IQR)=13+7.5=20.5

. Vì

18<20.5

nên đây không phải giá trị ngoại lai, và ta chỉ mô tả nhóm A là gần đối xứng, không có đặc điểm bất thường.

3Bước 3: Sang nhóm B, điểm dồn về phía cao: từ 15 đến 20 có tới 12 trong 15 quan sát, trong khi phía dưới chỉ lác đác vài giá trị kéo xuống tận 10. Trung vị là quan sát thứ 8, tức

M_B=17

, còn trung bình là

\bar{x}_B=245/15\approx 16.3

, nhỏ hơn trung vị — đúng dấu hiệu của phân phối lệch trái (skewed to the left).

4Bước 4: Giá trị 10 của nhóm B đáng nghi vì nó cách các điểm còn lại một khoảng trống. Ta có

Q_1=15

Q_3=18

, do đó

IQR=3

và ngưỡng dưới là

Q_1-1.5(IQR)=15-4.5=10.5

. Vì

10<10.5

nên điểm 10 là một giá trị ngoại lai thấp, và phần mô tả hình dạng của nhóm B bắt buộc phải nhắc tới đặc điểm bất thường này.

5Bước 5: Bây giờ trả lời ý (b). Hình dạng lệch trái của nhóm B cho thấy khối lượng dữ liệu dồn về phía điểm cao, nên ta dự đoán nhóm B có tỷ lệ đạt từ 16 điểm trở lên lớn hơn. Đếm cụ thể: nhóm A chỉ có duy nhất điểm 18, tức

1/15\approx 6.7\%

; nhóm B có các điểm 16, 16, 17, 17, 18, 18, 18, 19, 19, 20, tức

10/15\approx 66.7\%

. Kết quả tính toán khớp hoàn toàn với suy luận từ hình dạng.

Phân phối điểm của học sinh gần đối xứng, đơn đỉnh quanh 11 điểm, không có giá trị bất thường; ngược lại, phân phối điểm của nhân viên chuyên môn lệch trái, tập trung ở vùng 15–20 điểm và có một giá trị ngoại lai thấp là 10 điểm. Nói chung, điểm của nhân viên vừa cao hơn vừa ít biến động hơn điểm của học sinh. Chính vì dồn về phía điểm cao, nhóm nhân viên đạt tỷ lệ nắm vững tài liệu khoảng 66.7%, cao hơn hẳn mức 6.7% của nhóm học sinh.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.