DucklingStudyDucklingStudy

AP Statistics

khoảng trống (trong phân phối dữ liệu)

gap

Còn gọi: gap

Khoảng trống là vùng giá trị trong dãy dữ liệu không có quan sát nào rơi vào, tạo ra chỗ trống rõ rệt trên đồ thị phân phối.

Khi mô tả hình dạng của một phân phối dữ liệu định lượng, người học không chỉ nhìn vào đối xứng hay lệch mà còn phải chú ý đến những đặc điểm bất thường, trong đó khoảng trống là một dấu hiệu đáng kể. Khoảng trống xuất hiện trên biểu đồ chấm (dotplot), biểu đồ tần số (histogram) hay biểu đồ cành lá (stemplot) dưới dạng một đoạn liên tục trên trục giá trị mà không có bất kỳ điểm dữ liệu nào rơi vào, nằm xen giữa hai cụm quan sát có mặt. Do đó, khoảng trống khác với giá trị ngoại lai (outlier) ở chỗ nó mô tả sự vắng mặt dữ liệu chứ không phải một điểm dữ liệu bất thường đơn lẻ.

Về mặt ý nghĩa, khoảng trống thường gợi ý rằng tổng thể quan sát thực chất gồm nhiều nhóm nhỏ khác nhau về nguồn gốc hay đặc tính, chứ không phải một tổng thể đồng nhất. Chẳng hạn nếu điểm thi của một lớp có khoảng trống rõ giữa nhóm điểm thấp và nhóm điểm cao, ta có thể nghi ngờ có hai nhóm học sinh học lực khác biệt trong cùng một lớp. Nhờ đó, việc phát hiện khoảng trống giúp người phân tích đặt câu hỏi sâu hơn về bối cảnh của dữ liệu thay vì chỉ dừng lại ở việc mô tả hình dạng chung.

Tuy nhiên, cần lưu ý rằng khoảng trống, cùng với các cụm dữ liệu và tính đối xứng, thường không thể nhận ra chỉ từ biểu đồ hộp (boxplot) vì biểu đồ này chỉ tóm tắt dữ liệu qua năm số liệu đặc trưng. Hai bộ dữ liệu có thể cho cùng một biểu đồ hộp nhưng có khoảng trống hoàn toàn khác nhau khi nhìn qua biểu đồ chấm. Vì vậy, khi đề bài yêu cầu mô tả đầy đủ một phân phối, học sinh cần dùng đồ thị hiển thị từng giá trị riêng lẻ để có thể xác định chính xác khoảng trống, cụm và giá trị ngoại lai.

Trực giác: Giống như một hàng người xếp thành hai nhóm cách xa nhau, để lại một khoảng đất trống chẳng ai đứng ở giữa.

Thử nghiệm tương tác

Kéo độ rộng nhóm — khoảng trống giữa hai cụm khi mất khi hiện

Kéo độ rộng nhóm — khoảng trống giữa hai cụm khi mất khi hiện

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Hay hiểu sai

Khoảng trống không phải là nhóm có tần số thấp.

Khoảng trống và giá trị ngoại lai (outlier) là hai thứ khác nhau.

Khoảng trống không tự động đồng nghĩa với phân phối hai đỉnh (bimodal).

Khoảng trống có thể là sản phẩm của cách chọn độ rộng nhóm (bin width).

Khoảng trống không phải lý do để loại dữ liệu.

Mẹo phòng thi

Mô tả khoảng trống phải kèm khoảng giá trị và đơn vị.

Khi đề yêu cầu mô tả phân phối, khoảng trống thuộc mục "đặc điểm bất thường".

Có cả hai biểu đồ thì dùng biểu đồ tán xạ để giải thích khoảng trống.

Tần suất trong đề AP StatisticsHay gặp

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2
Học sinh một lớp Vật lí chế tạo 25 chiếc trực thăng giấy với bề rộng cánh khác nhau rồi đo thời gian rơi (đơn vị: giây). Kết quả 25 lần đo, đã sắp xếp tăng dần, là: 1,2 1,3 1,4 1,4 1,5 1,5 1,6 1,6 1,7 1,8 1,8 1,9 2,6 2,7 2,7 2,8 2,9 2,9 3,0 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5. Khi vẽ biểu đồ chấm và biểu đồ tần số dạng cột, giáo viên yêu cầu học sinh mô tả phân bố của thời gian rơi.
  1. aMô tả phân bố của thời gian rơi theo hình dạng, trung tâm, độ biến thiên và các đặc điểm bất thường, có nêu rõ khoảng trống nếu có.
  2. bDùng quy tắc 1,5 lần khoảng tứ phân vị để kiểm tra xem 12 giá trị nhỏ nhất có phải là giá trị ngoại lai hay không, rồi giải thích sự khác nhau giữa khoảng trống và giá trị ngoại lai.
  3. cNêu điều mà khoảng trống này gợi ý về thí nghiệm và về cách báo cáo giá trị trung tâm.
1Bước 1 — Nhận diện khoảng trống: Đi dọc dãy số đã sắp xếp và tìm chỗ hai giá trị liên tiếp cách nhau bất thường. Từ 1,2 đến 1,9 các giá trị nối nhau đều đặn, cách nhau nhiều nhất 0,1 giây; nhưng ngay sau 1,9 thì giá trị kế tiếp là 2,6, tức cách nhau 0,7 giây. Vậy trên trục thời gian, đoạn từ khoảng 1,9 đến 2,6 giây hoàn toàn không có quan sát nào: đó chính là khoảng trống, và trên biểu đồ cột nó hiện ra dưới dạng một hoặc vài nhóm (bin) có chiều cao bằng 0 nằm kẹp giữa hai vùng có cột.
2Bước 2 — Mô tả hình dạng, trung tâm, độ biến thiên (ý a): Khoảng trống chia dữ liệu thành hai cụm (cluster): cụm thấp gồm 12 quan sát từ 1,2 đến 1,9 giây và cụm cao gồm 13 quan sát từ 2,6 đến 3,5 giây. Do đó phân bố có hai đỉnh (bimodal), mỗi cụm khá cân xứng quanh tâm của nó. Trung vị là giá trị thứ 13 trong 25 giá trị, tức M=2,6M = 2{,}6 giây, và độ biến thiên tổng thể đo bằng khoảng biến thiên 3,5−1,2=2,33{,}5 - 1{,}2 = 2{,}3 giây. Câu trả lời phải gắn với bối cảnh: thời gian rơi của 25 trực thăng giấy tách thành hai nhóm rõ rệt, với một khoảng trống giữa 1,9 và 2,6 giây.
3Bước 3 — Kiểm tra giá trị ngoại lai (ý b): Tứ phân vị dưới là trung vị của 12 giá trị đầu, tức trung bình của giá trị thứ 6 và thứ 7: Q1=(1,5+1,6)/2=1,55Q_1 = (1{,}5 + 1{,}6)/2 = 1{,}55. Tứ phân vị trên là trung vị của 12 giá trị cuối, tức trung bình của giá trị thứ 19 và thứ 20: Q3=(3,0+3,0)/2=3,0Q_3 = (3{,}0 + 3{,}0)/2 = 3{,}0. Suy ra IQR=3,0−1,55=1,45IQR = 3{,}0 - 1{,}55 = 1{,}45 và 1,5×IQR=2,1751{,}5 \times IQR = 2{,}175, nên hai rào là 1,55−2,175=−0,6251{,}55 - 2{,}175 = -0{,}625 và 3,0+2,175=5,1753{,}0 + 2{,}175 = 5{,}175. Mọi quan sát đều nằm giữa hai rào này, vì vậy không có giá trị ngoại lai (outlier) nào cả.
4Bước 4 — Phân biệt hai khái niệm: Kết quả ở Bước 3 cho thấy một phân bố có thể có khoảng trống rất rõ mà vẫn không có quan sát nào bị coi là bất thường. Lí do là khoảng trống nói về chỗ vắng dữ liệu ở giữa, còn giá trị ngoại lai nói về một quan sát lẻ loi nằm xa hẳn phần còn lại ở rìa. Ở đây 12 giá trị thấp không hề lẻ loi vì chúng đông và tụ lại thành một cụm hoàn chỉnh, nên chúng tạo ra cụm thứ hai chứ không tạo ra điểm ngoại lai.
5Bước 5 — Diễn giải trong bối cảnh (ý c): Khi dữ liệu tách thành hai cụm cách nhau một khoảng trống, cách giải thích tự nhiên nhất là mẫu trộn hai loại đối tượng khác nhau; ở đây rất có thể những chiếc cánh hẹp rơi nhanh tạo thành cụm quanh 1,5 giây, còn những chiếc cánh rộng rơi chậm tạo thành cụm quanh 3,0 giây. Hệ quả về mặt tóm tắt số liệu là giá trị trung tâm mất ý nghĩa mô tả: trung vị 2,6 giây rơi ngay sát mép khoảng trống, tức gần như không có chiếc trực thăng nào rơi trong khoảng thời gian đó. Vì vậy nên báo cáo riêng trung tâm và độ biến thiên cho từng cụm thay vì gộp chung một con số.

Phân bố thời gian rơi của 25 trực thăng giấy có hai đỉnh, gồm một cụm 12 quan sát từ 1,2 đến 1,9 giây và một cụm 13 quan sát từ 2,6 đến 3,5 giây, ngăn cách bởi khoảng trống từ 1,9 đến 2,6 giây; trung vị là 2,6 giây và khoảng biến thiên là 2,3 giây. Vì mọi quan sát đều nằm trong hai rào −0,625 và 5,175 nên không có giá trị ngoại lai, cho thấy khoảng trống và giá trị ngoại lai là hai đặc điểm bất thường khác nhau. Khoảng trống này gợi ý mẫu gồm hai loại trực thăng có bề rộng cánh khác hẳn nhau, nên nên mô tả từng cụm riêng thay vì dùng một giá trị trung tâm chung.

2Ví dụ 2/2
Một câu hỏi trắc nghiệm hỏi: khi một phân bố được biểu diễn bằng biểu đồ tần số dạng cột và trông như có một khoảng trống, phát biểu nào sau đây là đúng? (A) Phân bố đó chắc chắn chứa ít nhất một giá trị ngoại lai. (B) Có ít nhất một nhóm với tần số bằng 0 nằm giữa hai nhóm có tần số dương. (C) Trung bình và trung vị của phân bố phải bằng nhau. (D) Khoảng trống sẽ vẫn còn dù ta vẽ lại biểu đồ với độ rộng nhóm khác. (E) Phân bố đó bắt buộc phải lệch phải.
1Bước 1 — Dịch khái niệm sang ngôn ngữ của biểu đồ: Trên biểu đồ tần số dạng cột, chiều cao mỗi cột là số quan sát rơi vào nhóm tương ứng. Nói phân bố có khoảng trống nghĩa là mắt ta thấy một quãng trống trên trục ngang, tức ở đó cột có chiều cao bằng 0 trong khi hai bên vẫn còn dữ liệu. Vậy phát biểu (B) chính là định nghĩa được phát biểu lại bằng ngôn ngữ tần số, nên nó đúng.
2Bước 2 — Loại (A): Một khoảng trống chỉ cho biết ở giữa không có quan sát, chứ không nói gì về việc phần dữ liệu bên kia khoảng trống có ít hay nhiều điểm. Nếu bên kia chỉ có một điểm thì điểm ấy có thể là giá trị ngoại lai, nhưng nếu bên kia có cả một cụm đông đúc thì không quan sát nào bị tách lẻ, như trường hợp hai cụm cân bằng nhau. Do đó khoảng trống không kéo theo sự tồn tại của giá trị ngoại lai và (A) sai.
3Bước 3 — Loại (C) và (E): Quan hệ giữa trung bình và trung vị phụ thuộc vào tính cân xứng của toàn bộ phân bố, còn khoảng trống chỉ là một đặc điểm cục bộ nên hoàn toàn có thể xuất hiện trong phân bố lệch trái, lệch phải hay cân xứng. Chẳng hạn hai cụm có kích thước bằng nhau và nằm đối xứng qua tâm vẫn cho xˉ=M\bar{x} = M, nhưng một cụm nhỏ nằm xa về bên phải sẽ kéo trung bình lớn hơn trung vị. Vì khoảng trống không ép buộc một dạng lệch nào, cả (C) lẫn (E) đều sai.
4Bước 4 — Loại (D): Hình ảnh của biểu đồ tần số dạng cột phụ thuộc vào cách chọn độ rộng nhóm; nới rộng nhóm sẽ gộp quãng trống vào một nhóm có dữ liệu ở hai bên và khoảng trống biến mất khỏi hình vẽ. Ngược lại, thu hẹp nhóm có thể làm xuất hiện thêm những khoảng trống giả chỉ vì mẫu quá nhỏ. Vì thế một khoảng trống nhìn thấy được không phải là đặc điểm bất biến của biểu đồ, và (D) sai.

Đáp án là (B): khoảng trống trên biểu đồ tần số dạng cột đúng nghĩa là có ít nhất một nhóm tần số 0 nằm giữa các nhóm có dữ liệu, chứ không bảo đảm có giá trị ngoại lai, không quy định quan hệ giữa trung bình và trung vị, không ép phân bố phải lệch, và cũng không tồn tại độc lập với cách chọn độ rộng nhóm.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyĐồ thị cho một biến định lượngDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · khoá AP Statistics
Bài học chứa thuật ngữ nàyMô tả phân phối của một biến định lượngDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · khoá AP Statistics
Bài học chứa thuật ngữ nàyĐồ thị cho các đại lượng mô tảDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · khoá AP Statistics
Cần trướcphân phối (của một biến)
Dẫn tớiđặc điểm bất thường (của phân phối)histogram
Liên quancụm (trong phân phối dữ liệu)giá trị ngoại lệ
Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.

Hay nhầm với

cụm (trong phân phối dữ liệu)cluster
Khác nhau ở đâuKhoảng trống là vùng giá trị rỗng, không chứa quan sát nào. Cụm là nhóm quan sát dồn sát nhau và tách khỏi phần dữ liệu còn lại.
Hay nhầm khiKhi đề cho histogram hai đỉnh và hỏi mô tả hình dạng, thí sinh hay gọi phần lõm giữa là cụm thay vì khoảng trống.
giá trị ngoại lệoutlier
Khác nhau ở đâuKhoảng trống là một khoảng trên trục số không có dữ liệu. Giá trị ngoại lệ là một quan sát cụ thể nằm xa hẳn phần còn lại.
Hay nhầm khiKhi một điểm đứng lẻ ở rìa biểu đồ chấm, thí sinh hay mô tả đó là khoảng trống trong khi đề muốn gọi tên giá trị ngoại lệ.

Cùng chủ đề

Nguồn tham khảo

  1. [1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 22, 79, 85.

Biên soạn bởi DucklingStudy, bản quyền thuộc DucklingStudy. Xuất bản .