phân phối (của một biến)

Phân phối của biến và phân phối mẫu của thống kê là hai thứ khác nhau.

Phân phối của biến mô tả các giá trị mà từng cá thể nhận được — chiều cao của từng đứa trẻ, tuổi thọ của từng con rùa — còn phân phối mẫu (sampling distribution) mô tả cách một đại lượng tính từ mẫu, chẳng hạn trung bình mẫu, dao động khi ta lấy mẫu đi lấy mẫu lại. Hai phân phối này có cùng tâm nhưng độ phân tán khác hẳn nhau: trung bình mẫu ổn định hơn nhiều so với từng quan trắc riêng lẻ. Khi đề hỏi "xác suất một con rùa được chọn ngẫu nhiên sống quá 120 năm" thì dùng $\sigma = 15$, còn khi hỏi về trung bình của $n$ con thì phải chia cho $\sqrt{n}$. Đọc nhầm một chữ "mean" trong câu hỏi là sai toàn bộ phép tính.

Có giá trị ngoại lai không có nghĩa là không được dùng suy luận chuẩn.

Nhiều học sinh thấy biểu đồ hộp hiện vài chấm giá trị ngoại lai (outlier) liền kết luận điều kiện chuẩn bị vi phạm và dừng bài. Thực ra điều kiện cần kiểm tra là phân phối mẫu của trung bình có xấp xỉ chuẩn hay không, mà theo định lý giới hạn trung tâm (central limit theorem), cỡ mẫu từ $30$ trở lên đã đủ để xấp xỉ này chấp nhận được dù dữ liệu gốc lệch hay có điểm lạ. Với hai mẫu cỡ $40$ và $33$, câu trả lời đúng là "có, điều kiện thỏa mãn", kèm lý do nêu rõ cả hai cỡ mẫu đều vượt $30$. Ngược lại, nếu cỡ mẫu chỉ là $12$ và đồ thị cho thấy lệch rõ, lúc đó mới được nói là không phù hợp.

Phân vị là một giá trị của biến, không phải một xác suất.

Khi đề hỏi tuổi của con rùa ở phân vị thứ 90 (percentile), đáp án phải mang đơn vị năm và nằm bên phải trung bình, chứ không phải con số $0{,}90$ hay $1{,}28$. Quy trình đúng là đi ngược: từ diện tích $0{,}90$ ở phía trái tra ra $z \approx 1{,}28$, rồi thay vào $x = \mu + z\sigma = 100 + 1{,}28(15) \approx 119{,}2$. Công thức này nói rằng giá trị cần tìm nằm cách trung bình $1{,}28$ độ lệch chuẩn (standard deviation) về phía trên. Nhầm chiều hoặc quên nhân với $\sigma$ là hai lỗi làm mất điểm nhiều nhất ở dạng này.

Phải dịch đúng chiều bất đẳng thức từ lời văn sang xác suất.

Câu "đứa trẻ không đạt yêu cầu chiều cao tối thiểu 48 inch" nghĩa là $P(X < 48)$, còn "được phép chơi" mới là $P(X > 48)$; hai đáp số cộng lại bằng $1$ nên chọn nhầm chiều thì ra ngay $0{,}0548$ thay vì $0{,}9452$ — và cả hai con số đó đều được cài sẵn trong các phương án trắc nghiệm. Thói quen an toàn là vẽ một đường cong chuẩn, đánh dấu trung bình ở giữa, đánh dấu ngưỡng rồi tô miền tương ứng với câu chữ của đề trước khi bấm máy. Sau khi có kết quả, hãy tự hỏi đáp số lớn hơn hay nhỏ hơn $0{,}5$ có hợp với hình đã tô không. Một hình vẽ nhỏ mất mười giây nhưng chặn được lỗi tai hại nhất của chương này.

Khi được yêu cầu mô tả một phân phối, luôn nói đủ bốn thành phần.

Giám khảo tìm hình dạng (đối xứng, lệch phải hay lệch trái), tâm (trung bình hoặc trung vị kèm con số), độ phân tán (khoảng biến thiên, độ lệch chuẩn hoặc khoảng tứ phân vị) và các điểm bất thường như giá trị ngoại lai. Thiếu một trong bốn ý là mất điểm dù ba ý kia viết hay đến mấy, và mọi con số phải đi kèm đơn vị cùng tên biến trong ngữ cảnh bài toán. Nếu đề cho hai nhóm, phải so sánh trực tiếp bằng những từ như "cao hơn", "phân tán hơn", chứ không mô tả rời rạc từng nhóm.

Viết ra ký hiệu xác suất trước khi bấm máy tính.

Trình bày $P(X < 48) = P\left(Z < \frac{48 - 45{,}2}{1{,}75}\right) = P(Z < 1{,}6) \approx 0{,}9452$ cho thấy bạn đã định nghĩa biến, chuẩn hóa đúng và đọc đúng miền; dòng này ăn điểm ngay cả khi con số cuối bị sai do bấm nhầm. Ngược lại, chỉ ghi mỗi đáp số $0{,}9452$ mà không có lập luận thì giám khảo không có căn cứ để cho điểm quá trình. Nhớ định nghĩa rõ $X$ là gì kèm đơn vị ở dòng đầu tiên.

Kiểm tra điều kiện phải viết thành câu có dẫn chứng số, không chỉ gật đầu.

Thay vì ghi "điều kiện thỏa mãn", hãy viết rõ mẫu được chọn ngẫu nhiên và độc lập, cỡ mẫu $n_1 = 40$ và $n_2 = 33$ đều lớn hơn $30$ nên phân phối của hiệu hai trung bình mẫu xấp xỉ chuẩn. Ở câu hỏi dạng "Is it appropriate…", đáp án luôn gồm hai phần là kết luận và lý do; trả lời "có" mà không nêu lý do chỉ được nửa điểm. Khi cỡ mẫu nhỏ, thay vào đó hãy viện dẫn đồ thị đã cho để lập luận rằng tổng thể gốc có thể xem là xấp xỉ chuẩn hay không.