Đang tải bài học…

AP Statistics

biến rời rạc

discrete variable

Còn gọi: discrete · biến gián đoạn

Biến rời rạc là biến định lượng có tập giá trị đếm được, thường nhận giá trị nguyên.

Trong thống kê, ta cần phân biệt cách một biến nhận giá trị. Biến rời rạc (discrete variable) là biến định lượng mà các giá trị có thể liệt kê hoặc đếm được, ví dụ như số lần gieo đồng xu ra mặt ngửa, số học sinh trong một lớp, hay số lỗi in trên một trang sách. Giữa hai giá trị liên tiếp, không tồn tại giá trị nào khác — ta không thể có $2.5$ học sinh trong lớp.

Ngược lại, biến liên tục (continuous variable) nhận mọi giá trị trong một khoảng, chẳng hạn chiều cao hay thời gian. Do đó, khi làm việc với biến rời rạc, ta thường dùng tần số và xác suất tại từng điểm giá trị. Gọi $X$ là biến rời rạc và $x_i$ là các giá trị có thể, thì phân phối xác suất được mô tả bởi $P(X = x_i)$ cho mỗi $i$ . Vì tập giá trị đếm được, tổng các xác suất này luôn bằng một: $\sum_{i} P(X = x_i) = 1$

Vì vậy, biến rời rạc thường xuất hiện trong các bài toán đếm: số lần thành công trong $n$ phép thử Bernoulli, số cuộc gọi đến tổng đài trong một giờ, hay số sản phẩm lỗi trong lô hàng. Nhờ đó, các phân phối nhị thức và Poisson trở thành công cụ chuẩn để mô hình hóa chúng. Khi vẽ đồ thị, ta dùng biểu đồ cột rời rạc thay vì đường cong liền nét, phản ánh đúng bản chất gián đoạn của dữ liệu.

Ký hiệuX

Trực giác: Như việc đếm số quả táo trong giỏ — bạn chỉ có thể có 1, 2, 3 quả, không bao giờ có 2.7 quả.

Khái niệm này sinh ra từ đâu

thế kỷ 19Pafnuty ChebyshevIsaac NewtonAndrei Kolmogorov

Ý niệm về đại lượng chỉ nhận những giá trị tách rời nhau xuất hiện ngay từ giai đoạn đầu của lý thuyết xác suất, khi người ta chỉ khảo sát các phép thử đếm được; đến thế kỷ 19, Pafnuty Chebyshev mới đặt ra thuật ngữ biến ngẫu nhiên (random variable) để gọi tên loại đại lượng này.

Thử nghiệm tương tác

Kéo vạch từ 2,1 sang 2,9 — bộ đếm không nhúc nhích một lần nào

Hay hiểu sai

Rời rạc không đồng nghĩa với "nhận giá trị nguyên".

Làm tròn không biến một biến liên tục thành biến rời rạc.

Biến rời rạc không nhất thiết chỉ có hữu hạn giá trị.

Với biến rời rạc, dấu " $\le$ " và dấu " $<$ " cho hai kết quả khác nhau.

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Ban huấn luyện một đội điền kinh trung học thu thập dữ liệu về các vận động viên trong mùa giải vừa qua. Bốn biến được ghi lại gồm: (I) số huy chương mà mỗi vận động viên giành được trong mùa; (II) thời gian chạy 100 m của mỗi vận động viên, tính bằng giây và ghi đến hai chữ số thập phân; (III) chiều cao của mỗi vận động viên, tính bằng xăng-ti-mét và làm tròn đến hàng đơn vị; (IV) số vận động viên của đội đăng ký thi nội dung tiếp sức 4×100 m.

aTrong bốn biến trên, những biến nào là biến rời rạc? Giải thích lựa chọn của em.
bChiều cao được làm tròn đến hàng đơn vị nên chỉ nhận các giá trị nguyên như 168 cm, 169 cm, 170 cm. Một học sinh kết luận rằng vì vậy chiều cao cũng là biến rời rạc. Em hãy nhận xét về lập luận này.

1Bước 1: Trước hết cần xác định tiêu chí phân loại. Một biến định lượng là rời rạc khi tập hợp các giá trị có thể của nó đếm được, nghĩa là ta liệt kê được từng giá trị một và giữa hai giá trị liền kề không tồn tại giá trị trung gian nào. Ngược lại, biến liên tục (continuous variable) nhận mọi giá trị trong một khoảng số thực, nên giữa hai giá trị bất kỳ luôn còn vô số giá trị khác chen vào. Câu hỏi cần đặt ra cho từng biến vì thế rất đơn giản: giá trị của nó sinh ra từ phép đếm hay từ phép đo?

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · bài “Biến (phân loại & định lượng)” — khoá AP Statistics

Cần trướcbiến

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

biến liên tụccontinuous variable

Khác nhau ở đâuBiến rời rạc chỉ nhận các giá trị đếm được (0, 1, 2, …), còn biến liên tục nhận bất kỳ giá trị nào trong một khoảng

Hay nhầm khiđề cho biến như 'tuổi làm tròn đến năm' hay 'số phút gọi điện' — học sinh nhầm biến đếm được thành biến liên tục vì thấy giá trị có vẻ liên tục

biến ngẫu nhiên rời rạcdiscrete random variable

Khác nhau ở đâuBiến rời rạc chỉ nói về bản chất đếm được của giá trị, còn biến ngẫu nhiên rời rạc gán thêm cấu trúc xác suất cho từng giá trị đó

Hay nhầm khiđề hỏi về phân phối xác suất của số lần thành công, học sinh gọi nó là 'biến rời rạc' thay vì 'biến ngẫu nhiên rời rạc' và bỏ sót bảng xác suất

Buổi đầu của lý thuyết xác suất, các bài toán được đặt ra đều xoay quanh những thứ đếm được: số mặt sấp trong một loạt tung đồng xu, số lần thắng trong một ván bạc. Vì vậy giới nghiên cứu thời đó chỉ làm việc với các đại lượng rời rạc, dù chưa ai gọi chúng bằng cái tên nào cả. Isaac Newton là người nhận ra rằng ý tưởng "các khả năng đồng khả năng" không nhất thiết đòi hỏi số trường hợp phải hữu hạn — có thể có vô hạn khả năng, kể cả cả một khoảng trên trục số. Nhận xét đó mở đường cho việc nghiên cứu chuyển từ trường hợp rời rạc sang trường hợp liên tục, và cũng chính từ đó mà hai loại biến được tách ra thành hai khái niệm riêng.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi đi thẳng từ nghĩa thông thường của tính từ "discrete" trong tiếng Anh: tách rời, riêng biệt, từng cái một, đếm được và có ranh giới rõ ràng giữa các giá trị. Đó chính là đặc điểm phân biệt loại biến này với biến liên tục (continuous variable), vốn nhận được mọi giá trị nằm giữa hai giá trị bất kỳ. Bản thân chữ "biến ngẫu nhiên" thì do Chebyshev đặt, với cách hiểu là một biến thực có thể nhận các giá trị khác nhau với những xác suất khác nhau; mô tả ấy trực quan nhưng chưa chặt chẽ, và phải đợi đến khi Andrei Kolmogorov tiên đề hóa lý thuyết xác suất thì ngôn ngữ cùng ký hiệu để định nghĩa chính xác biến ngẫu nhiên mới hình thành. Cũng vì sự phân đôi rời rạc — liên tục này mà về sau người ta phải đặt thêm tên cho trường hợp lai giữa hai loại, gọi là biến ngẫu nhiên hỗn hợp (mixed random variable).

Kéo vạch từ 2,1 sang 2,9 — bộ đếm không nhúc nhích một lần nào

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Gặp câu phân loại biến, viết ngay bên lề chữ "đếm" hoặc "đo" cho từng phương án.

Khi bấm máy cho biến rời rạc, nhớ rằng lệnh tích lũy luôn tính $P(X \le k)$ .

Trước khi dùng phân phối chuẩn cho một biến rời rạc, phải nêu điều kiện thành câu.

Tần suất trong đề AP StatisticsÍt gặp

2Bước 2: Áp dụng tiêu chí đó cho biến (I) và biến (IV). Số huy chương mà một vận động viên giành được chỉ có thể là

0, 1, 2, 3, \dots

và không thể là

2{,}4

huy chương; đây là kết quả của một phép đếm nên tập giá trị là

\{0, 1, 2, \dots\}

, đếm được. Tương tự, số vận động viên đăng ký nội dung tiếp sức cũng là một số nguyên không âm, thậm chí còn bị chặn trên bởi sĩ số của đội. Do đó cả hai biến này đều rời rạc.

3Bước 3: Xét tiếp biến (II) và (III). Thời gian chạy 100 m về bản chất là một đại lượng đo được: giữa

12{,}31

giây và

12{,}32

giây vẫn còn vô số mốc thời gian khác mà một chiếc đồng hồ tinh vi hơn có thể phân biệt. Chiều cao cũng vậy, nó thay đổi liên tục chứ không nhảy từng nấc. Vì vậy hai biến này là biến liên tục.

4Bước 4: Xử lý lập luận ở ý (b). Học sinh đó đã nhầm giữa bản chất của biến và độ chính xác của dụng cụ ghi chép. Việc làm tròn chỉ khiến dữ liệu quan sát được trông giống một dãy số nguyên, nhưng chiều cao thật của một người vẫn có thể là

169{,}47

cm; con số

169

chỉ là hình ảnh thô của giá trị đó sau khi làm tròn. Nói cách khác, làm tròn là thao tác ta áp lên dữ liệu chứ không phải tính chất của đại lượng, nên chiều cao vẫn được phân loại là liên tục.

Hai biến rời rạc là (I) số huy chương mỗi vận động viên giành được và (IV) số vận động viên đăng ký nội dung tiếp sức, vì cả hai đều là kết quả của phép đếm và chỉ nhận các giá trị nguyên không âm. Hai biến còn lại — thời gian chạy 100 m và chiều cao — là liên tục. Lập luận ở ý (b) không đúng: chiều cao chỉ được ghi lại dưới dạng số nguyên do làm tròn, còn bản thân đại lượng vẫn nhận mọi giá trị trong một khoảng, nên nó không vì thế mà trở thành biến rời rạc.

2Ví dụ 2/2

Trong nội dung chạy 110 m rào, huấn luyện viên theo dõi số rào mà vận động viên Minh làm đổ trong mỗi lượt chạy. Gọi

X

là số rào bị đổ trong một lượt chạy được chọn ngẫu nhiên. Dựa trên hồ sơ thi đấu nhiều mùa, phân bố xác suất của

X

được cho như sau:

P(X=0)=0{,}55

;

P(X=1)=0{,}25

;

P(X=2)=0{,}15

;

P(X=3)=0{,}05

aGiải thích vì sao $X$ là một biến ngẫu nhiên rời rạc và kiểm tra rằng bảng đã cho là một phân bố xác suất hợp lệ.
bTính giá trị kỳ vọng và độ lệch chuẩn của $X$ , rồi diễn giải giá trị kỳ vọng trong ngữ cảnh bài toán.

1Bước 1: Số rào bị đổ trong một lượt chạy là kết quả của một phép đếm, và vì đường chạy 110 m rào chỉ có mười rào nên tập giá trị của

X

nằm trong

\{0, 1, 2, \dots, 10\}

— hữu hạn và liệt kê được. Đó chính là dấu hiệu của một biến ngẫu nhiên rời rạc (discrete random variable), và cũng là lý do ta được phép gán xác suất cho từng giá trị riêng lẻ thay vì cho cả một khoảng. Ở đây hồ sơ thi đấu cho thấy Minh chưa bao giờ làm đổ quá ba rào, nên bốn giá trị

0, 1, 2, 3

đã đủ mô tả toàn bộ khả năng.

2Bước 2: Một bảng phân bố hợp lệ phải thỏa hai điều kiện: mọi xác suất nằm trong đoạn

[0;1]

và tổng của chúng bằng

1

. Điều kiện thứ nhất hiển nhiên đúng. Với điều kiện thứ hai, ta cộng lại:

0{,}55 + 0{,}25 + 0{,}15 + 0{,}05 = 1{,}00

Tổng đúng bằng

1

, nên bảng đã cho là một phân bố xác suất hợp lệ.

3Bước 3: Giá trị kỳ vọng (expected value) của một biến rời rạc là trung bình các giá trị có trọng số là xác suất tương ứng:

\mu_X = \sum x_i \, p_i = 0(0{,}55) + 1(0{,}25) + 2(0{,}15) + 3(0{,}05)

Thực hiện phép tính, ta được

\mu_X = 0 + 0{,}25 + 0{,}30 + 0{,}15 = 0{,}70

. Con số này nói rằng nếu Minh chạy rất nhiều lượt trong điều kiện tương tự, số rào bị đổ trung bình mỗi lượt vào khoảng

0{,}7

rào.

4Bước 4: Để tìm độ lệch chuẩn (standard deviation), trước hết tính phương sai bằng công thức

\sigma_X^2 = \sum (x_i - \mu_X)^2 p_i

. Ta lần lượt có

(0-0{,}7)^2(0{,}55) = 0{,}49 \times 0{,}55 = 0{,}2695

;

(1-0{,}7)^2(0{,}25) = 0{,}09 \times 0{,}25 = 0{,}0225

;

(2-0{,}7)^2(0{,}15) = 1{,}69 \times 0{,}15 = 0{,}2535

; và

(3-0{,}7)^2(0{,}05) = 5{,}29 \times 0{,}05 = 0{,}2645

. Cộng bốn số hạng:

\sigma_X^2 = 0{,}2695 + 0{,}0225 + 0{,}2535 + 0{,}2645 = 0{,}81

Do đó

\sigma_X = \sqrt{0{,}81} = 0{,}90

rào.

5Bước 5: Cuối cùng cần diễn giải kết quả bằng ngôn ngữ của bài toán chứ không dừng ở con số, vì đây là phần điểm mà giám khảo luôn tìm. Giá trị

0{,}70

không phải là số rào bị đổ trong một lượt chạy cụ thể — điều đó bất khả thi vì

X

chỉ nhận giá trị nguyên — mà là mức trung bình dài hạn qua rất nhiều lượt chạy. Độ lệch chuẩn

0{,}90

cho biết số rào bị đổ ở mỗi lượt thường chênh lệch khoảng

0{,}9

rào so với mức trung bình đó.

Vì số rào bị đổ là kết quả đếm và chỉ nhận hữu hạn giá trị nguyên, $X$ là một biến ngẫu nhiên rời rạc; tổng bốn xác suất bằng $1{,}00$ nên bảng đã cho là phân bố xác suất hợp lệ. Tính toán cho $\mu_X = 0{,}70$ rào và $\sigma_X = 0{,}90$ rào. Nghĩa là qua rất nhiều lượt chạy 110 m rào, trung bình Minh làm đổ khoảng $0{,}7$ rào mỗi lượt, với mức dao động điển hình quanh con số đó vào khoảng $0{,}9$ rào.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.