AP Statistics

biểu đồ cột

bar chart

Còn gọi: bar graph · đồ thị cột · biểu đồ thanh

Biểu đồ cột (bar chart) là đồ thị dùng các cột hình chữ nhật để biểu diễn tần số hoặc tần suất tương đối của các nhóm dữ liệu phân loại.

Biểu đồ cột là công cụ trực quan hóa dữ liệu phân loại bằng cách vẽ từng cột riêng biệt cho mỗi nhóm. Chiều cao hoặc chiều dài của mỗi cột tỉ lệ với số lượng quan sát hoặc tỉ lệ phần trăm của nhóm đó, do đó người đọc có thể so sánh nhanh các nhóm với nhau. Trong kỳ thi AP Statistics, thuật ngữ này thường đi kèm với các biến thể như biểu đồ cột cạnh nhau (side-by-side bar chart) và biểu đồ cột xếp chồng (segmented bar chart).

Khi biểu diễn tần số tuyệt đối, chiều cao cột bằng số quan sát trong nhóm, ký hiệu là $f_i$ . Nếu dùng tần suất tương đối, chiều cao cột tính bằng $f_i/n$ , trong đó $n$ là tổng số quan sát. Công thức này cho biết mỗi cột chiếm bao nhiêu phần trong toàn bộ dữ liệu, nhờ đó ta có thể so sánh các mẫu có kích thước khác nhau. Tuy nhiên, biểu đồ cột khác biệt với biểu đồ tần số (histogram) vì các cột thường tách rời nhau, phản ánh tính rời rạc của các nhóm phân loại thay vì đo liên tục.

Để diễn đạt dữ liệu hai biến phân loại, người ta dùng biểu đồ cột cạnh nhau để đặt các nhóm của một biến kế bên nhau theo từng giá trị của biến còn lại. Ngược lại, biểu đồ cột xếp chồng chia mỗi cột thành các đoạn, mỗi đoạn dài tương ứng với tần suất có điều kiện (conditional relative frequency) của một nhóm con. Vì vậy, khi đọc đề thi, thí sinh cần xác định rõ biểu đồ đang dùng tần số tuyệt đối hay tần suất có điều kiện, bởi hai cách trình bày này nhấn mạnh những khía cạnh khác nhau của mối liên hệ giữa hai biến.

Trực giác: Hãy tưởng tượng mỗi nhóm dữ liệu là một cây nến: cây cao hơn thì nhóm đó có nhiều quan sát hơn, và khi xếp nhiều cây nến cạnh nhau ta dễ thấy ngay nhóm nào "chiếm ưu thế".

Công thức

\htmlClass{fp-1}{\frac{\htmlClass{fp-0}{f_i}}{n}}

Dùng khi trục tung của biểu đồ cột hiển thị tần số tương đối (relative frequency) thay vì số đếm thô; mỗi cột có chiều cao bằng thương số này.

Trong đó

f_i

tần số (số quan sát) của nhóm thứ i

n

tổng số quan sát của toàn bộ dữ liệu

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1786William Playfair

Biểu đồ cột ở dạng hiện đại được cho là do William Playfair (1759–1824), một người Scotland làm đủ nghề từ kế toán, kỹ sư đến kinh tế, giới thiệu năm 1786 trong cuốn The Commercial and Political Atlas, nhằm trình bày số liệu buôn bán của nước Anh cho người đọc phổ thông.

Cuối thế kỷ 18, số liệu thương mại thường được in thành những bảng dài đặc kín con số, và người đọc gần như không thể nhìn ra nước nào mua nhiều hơn nước nào. William Playfair chọn cách khác: ông vẽ mỗi bạn hàng của Scotland thành một thanh chữ nhật, độ dài tỉ lệ với giá trị hàng hóa, rồi xếp cạnh nhau trong biểu đồ nổi tiếng về xuất nhập khẩu Scotland trong năm từ Giáng sinh 1780 đến Giáng sinh 1781. Nhờ đó việc so sánh chỉ còn là nhìn xem thanh nào dài hơn. Tuy vậy, các hình vẽ kiểu này ban đầu bị xem là trẻ con và phải rất lâu sau mới được giới học thuật chấp nhận rộng rãi.

Thử nghiệm tương tác

Bấm đổi từ số đếm sang phần trăm theo hàng — thứ tự ba sân bay đảo ngược

Hay hiểu sai

Biểu đồ theo phần trăm không cho biết có bao nhiêu người đã trả lời.

Tăng 100% nghĩa là gấp đôi, không phải tăng thêm một chút.

Trong biểu đồ cột chồng, chiều cao một đoạn là hiệu hai mốc, không phải mốc trên.

Biểu đồ cột không phải biểu đồ tần số ghép nhóm (histogram).

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một khảo sát hỏi 150 học sinh khối 11 của một trường về môn học yêu thích nhất, mỗi học sinh chỉ chọn đúng một môn. Kết quả được vẽ thành biểu đồ cột với chiều cao mỗi cột là số học sinh: Toán 48, Khoa học 36, Ngữ văn 30, Lịch sử 24, Mỹ thuật 12.

aTrong bốn phát biểu sau, phát biểu nào được số liệu trên biểu đồ ủng hộ? (A) Hơn một nửa số học sinh chọn Toán. (B) Số học sinh chọn Toán gấp bốn lần số học sinh chọn Mỹ thuật. (C) Phân bố môn học yêu thích lệch phải. (D) Toán và Khoa học cộng lại chiếm hơn 60% số học sinh.
bTính tỉ lệ học sinh chọn Lịch sử và giải thích vì sao các cột trong biểu đồ này phải được vẽ tách rời nhau.

1Bước 1: Trước hết hãy kiểm tra tổng để chắc rằng mỗi học sinh chỉ được đếm một lần. Ta có

48+36+30+24+12=150

, đúng bằng số học sinh được khảo sát, nên năm cột này tạo thành một phân bố đầy đủ của biến phân loại "môn học yêu thích". Nhờ vậy mọi tỉ lệ tính ở các bước sau đều lấy

150

làm mẫu số.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · bài “Đồ thị cho một biến phân loại” — khoá AP Statistics

Cần trướcdữ liệu phân loại

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

histogramhistogram

Khác nhau ở đâuBiểu đồ cột biểu diễn biến phân loại với khe hở giữa các cột; histogram biểu diễn biến định lượng với các cột liền kề không khe hở

Hay nhầm khiđề cho một hình có các cột dựng trên trục số và hỏi đó là loại biểu đồ gì — học sinh nhầm histogram thành biểu đồ cột vì cả hai đều dùng thanh chữ nhật

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 154, 157–158.

2Ví dụ 2/2

Trong một ngày, người ta ghi lại tình trạng của tất cả các chuyến bay khởi hành tại ba sân bay A, B, C và phân loại mỗi chuyến là đúng giờ hoặc bị trễ. Sân bay A có 180 chuyến đúng giờ và 20 chuyến trễ; sân bay B có 240 chuyến đúng giờ và 60 chuyến trễ; sân bay C có 105 chuyến đúng giờ và 45 chuyến trễ. Dữ liệu được trình bày bằng biểu đồ cột chồng (segmented bar chart), mỗi sân bay một cột cao 100% và được chia thành hai phần theo tỉ lệ.

aPhát biểu nào sau đây được biểu đồ ủng hộ? (A) Sân bay B có tỉ lệ chuyến trễ cao nhất. (B) Sân bay C có số chuyến trễ nhiều nhất. (C) Sân bay C có tỉ lệ chuyến trễ cao nhất trong ba sân bay. (D) Vì ba cột cao bằng nhau nên ba sân bay có cùng số chuyến bay.
bDựa vào các phân bố vừa tính, hãy cho biết tình trạng chuyến bay và sân bay có liên hệ với nhau hay không, và giải thích trong ngữ cảnh.

1Bước 1: Điều đầu tiên cần làm với biểu đồ cột chồng dạng phần trăm là tính tổng theo từng cột, vì mỗi cột đại diện cho toàn bộ chuyến bay của một sân bay. Ta được

180+20=200

chuyến ở A,

240+60=300

chuyến ở B và

105+45=150

chuyến ở C. Ba tổng này khác nhau rõ rệt, dù trên hình ba cột đều được kéo dài đúng 100%.

2Bước 2: Tiếp theo, tính phân bố tần số tương đối có điều kiện (conditional relative frequency distribution) cho từng sân bay, tức là chia số chuyến trễ cho tổng của chính cột đó. Ta có

20/200=0{,}10

ở A,

60/300=0{,}20

ở B và

45/150=0{,}30

ở C; phần đúng giờ tương ứng là 90%, 80% và 70%. Chính ba con số 10%, 20%, 30% là chiều dài ba đoạn "trễ" mà mắt ta đọc được trên biểu đồ.

3Bước 3: Bây giờ đối chiếu với từng lựa chọn. Phát biểu (A) sai vì tỉ lệ trễ của B là 20%, thấp hơn 30% của C; phát biểu (B) cũng sai vì tính theo số chuyến thì B trễ 60 chuyến, nhiều hơn 45 chuyến của C. Phát biểu (D) sai ở chỗ hiểu nhầm quy ước của biểu đồ: các cột bằng nhau chỉ vì đều được quy về 100%, còn số chuyến thực tế là 200, 300 và 150. Do đó chỉ (C) đúng, và đây cũng là kết luận duy nhất mà biểu đồ dạng phần trăm cho phép rút ra, bởi nó chỉ hiển thị tỉ lệ chứ không hiển thị số đếm.

4Bước 4: Với ý (b), ta so sánh ba phân bố có điều kiện vừa lập: tỉ lệ trễ lần lượt là 10%, 20% và 30%. Ba giá trị này khác nhau đáng kể, nghĩa là biết chuyến bay khởi hành từ sân bay nào sẽ làm thay đổi khả năng chuyến đó bị trễ, nên hai biến có mối liên hệ (associated). Nếu muốn thấy đồng thời cả tỉ lệ lẫn số chuyến, ta nên vẽ thêm biểu đồ cột kép (side-by-side bar chart) với trục đứng là số đếm.

Phát biểu được biểu đồ ủng hộ là (C): sân bay C có tỉ lệ chuyến bay bị trễ cao nhất, 30%, so với 20% ở B và 10% ở A. Vì ba tỉ lệ này khác nhau rõ rệt nên tình trạng đúng giờ hay bị trễ có liên hệ với sân bay khởi hành: chuyến bay xuất phát từ C có nguy cơ trễ cao gấp ba lần chuyến bay xuất phát từ A trong ngày được khảo sát.