Đang tải bài học…

AP Statistics

kiểm định độ phù hợp

goodness-of-fit test

Kiểm định độ phù hợp là kiểm định chi-square so sánh tần số quan sát của một biến phân loại với tần số kỳ vọng theo mô hình lý thuyết cho trước.

Kiểm định độ phù hợp thuộc họ kiểm định chi-square và được áp dụng khi nhà nghiên cứu muốn so sánh một mẫu duy nhất với một phân phối kỳ vọng đã được đặt ra từ trước — chẳng hạn, kiểm tra xem bốn nhóm ruồi giấm có xuất hiện theo tỉ lệ 1:3:3:9 như lý thuyết di truyền dự đoán hay không. Để thực hiện kiểm định, người ta tính tần số kỳ vọng $E_i = n \cdot p_i$ cho mỗi nhóm, trong đó $n$ là cỡ mẫu và $p_i$ là xác suất lý thuyết tương ứng. Tần số kỳ vọng này cho biết có bao nhiêu quan sát được trông đợi rơi vào nhóm thứ $i$ nếu giả thuyết không đúng thật.

Thống kê kiểm định được tính theo công thức $\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i},$ trong đó $O_i$ là tần số quan sát và $E_i$ là tần số kỳ vọng của nhóm thứ $i$ . Giá trị $\chi^2$ đo tổng mức độ lệch giữa thực tế và lý thuyết — nếu mọi $O_i$ gần với $E_i$ , tổng này nhỏ; nếu có sự chênh lệch lớn ở nhiều nhóm, tổng này tăng cao. Phân phối của thống kê này được xấp xỉ bằng phân phối chi-square với bậc tự do $\text{df} = k - 1$ , trong đó $k$ là số nhóm phân loại.

Để xấp xỉ này đáng tin cậy, cần thỏa mãn hai điều kiện: mẫu được chọn ngẫu nhiên từ tổng thể, và mọi tần số kỳ vọng đều lớn hơn 5. Nếu một nhóm có tần số kỳ vọng quá nhỏ, kết quả kiểm định có thể không chính xác. Kiểm định này là kiểm định một phía (one-tailed) về phía đuôi phải, vì chỉ những giá trị $\chi^2$ lớn bất thường mới là bằng chứng chống lại giả thuyết không.

Ký hiệu

\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}

\text{df} = k - 1

Trực giác: Hãy hình dung bạn tung một con xúc xắc 600 lần rồi đếm xem mỗi mặt ra bao nhiêu lần — kiểm định độ phù hợp là cách tính xem kết quả đếm được có 'xa' phân phối đều lý thuyết đến mức đáng ngờ hay không.

Công thức

\chi^2 = \htmlClass{fp-3}{\sum \htmlClass{fp-2}{\frac{\htmlClass{fp-1}{\htmlClass{fp-0}{(O_i - E_i)}^2}}{E_i}}}

Dùng sau khi đã tính xong tần số kỳ vọng cho từng hạng mục; giá trị thống kê càng lớn thì dữ liệu càng xa mô hình dự đoán.

Trong đó

\chi^2

thống kê kiểm định chi bình phương

O_i

tần số quan sát của hạng mục thứ i

E_i

tần số kỳ vọng của hạng mục thứ i

i

chỉ số hạng mục, chạy từ 1 đến k

Khái niệm này sinh ra từ đâu

khoảng đầu thế kỷ 20Karl PearsonRonald A. FisherAndrey KolmogorovNikolai Smirnov

Kiểm định độ phù hợp ra đời từ công trình của Karl Pearson (1857–1935) vào khoảng đầu thế kỷ 20, nhằm trả lời câu hỏi liệu một phân phối lý thuyết có mô tả tốt dữ liệu quan sát được hay không.

Thử nghiệm tương tác

Đổi bộ tỉ lệ trong H₀ — nhìn từng ô (O−E)²/E và tổng χ² nhảy theo

Hay hiểu sai

Kiểm định khi bình phương chỉ chạy trên số đếm, không chạy trên phần trăm.

Bậc tự do bằng số nhóm trừ một, không phải cỡ mẫu trừ một.

Điều kiện đòi hỏi mọi tần số kỳ vọng lớn hơn hoặc bằng 5, không phải tần số quan sát.

Không bác bỏ giả thuyết không có nghĩa là mô hình đã được chứng minh đúng.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một nhà di truyền học cho rằng bốn loài ruồi giấm trong một quần thể xuất hiện theo tỉ lệ 1 : 3 : 3 : 9. Để kiểm tra lời tuyên bố này, người ta lấy một mẫu ngẫu nhiên gồm 2 000 con ruồi từ quần thể rất lớn nói trên và đếm được lần lượt 110, 345, 360 và 1 185 cá thể thuộc bốn loài.

aViết hai giả thuyết của kiểm định và tính tần số kỳ vọng (expected count) cho cả bốn loài.
bThực hiện kiểm định ở mức ý nghĩa (significance level) $\alpha = 0{,}05$ và nêu kết luận trong ngữ cảnh bài toán.

1Bước 1: Trước hết phải phát biểu điều muốn kiểm tra dưới dạng một mô hình tỉ lệ cho toàn bộ quần thể. Giả thuyết không khẳng định mô hình của nhà di truyền học là đúng:

H_0

: tỉ lệ bốn loài trong quần thể là

p_1 = 1/16

p_2 = 3/16

p_3 = 3/16

p_4 = 9/16

. Giả thuyết đối chỉ nói mô hình đó sai, chứ không chỉ ra sai ở đâu:

H_a

: ít nhất một trong bốn tỉ lệ trên khác giá trị đã nêu. Lưu ý rằng ta chỉ có một biến phân loại (loài ruồi) và so sánh một mẫu với một mô hình cho sẵn, nên đây đúng là tình huống của kiểm định độ phù hợp.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàySuy luận cho tỉ lệ (dữ liệu phân loại) · bài “Thiết lập kiểm định Chi-square đồng nhất/độc lập” — khoá AP Statistics

Cần trướcphân phối chi bình phương

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

bảng liên hợpcontingency table

Khác nhau ở đâuKiểm định độ phù hợp so sánh một biến phân loại với một phân phối lý thuyết cho trước, còn kiểm định trên bảng liên hợp xét mối liên hệ giữa hai biến phân loại

Hay nhầm khiđề cho bảng tần số một cột và hỏi có khớp phân phối đã biết không — đó là độ phù hợp, không phải kiểm định độc lập trên bảng hai chiều

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 437, 447, 450.

Tính tần số kỳ vọng cho từng hạng mục dựa trên tổng cỡ mẫu và xác suất mà mô hình gán cho hạng mục đó.

Trong đó

E_i

tần số kỳ vọng của hạng mục thứ i

n

tổng số quan sát trong mẫu

p_i

xác suất kỳ vọng của hạng mục thứ i theo mô hình

df = k - 1

Xác định bậc tự do của phân phối chi bình phương, dùng để tra giá trị tới hạn hoặc tính P-value.

Trong đó

df

bậc tự do

k

số hạng mục trong phân phối

Pearson đưa ra một họ phân phối lệch và tin rằng chỉ cần chỉnh bốn tham số — trung bình, độ lệch chuẩn (standard deviation), độ nhọn (kurtosis) và độ lệch — là mô tả được mọi dạng phân phối. Nhưng dữ liệu lấy từ mẫu không bao giờ khớp hoàn hảo với phân phối của tổng thể, ngay cả khi tổng thể thật sự tuân theo phân phối đó. Vì vậy ông thấy cần một quy trình đo xem sai lệch giữa số liệu quan sát và số liệu kỳ vọng đã đủ lớn để bác bỏ mô hình hay chưa. Quy trình ấy sinh ra một thống kê kiểm định có phân phối thuộc họ khi bình phương (chi-square distribution), và nó nhanh chóng trở thành một trong những kiểm định giả thuyết lâu đời nhất còn dùng đến ngày nay.

Vì sao mang đúng cái tên này? Chính Pearson đặt tên cho quy trình này là "goodness of fit", nghĩa đen là "mức độ tốt của sự khớp". Cách gọi đó phản ánh đúng câu hỏi ông muốn trả lời: mô hình lý thuyết được đề xuất khớp với bộ số liệu thu được đến mức nào, chứ không phải hai nhóm có khác nhau hay không. Do đó tên tiếng Việt "kiểm định độ phù hợp" giữ nguyên tinh thần gốc — ta đang chấm điểm sự phù hợp của một phân phối giả định. Tên gọi khi bình phương lại đến từ một chỗ khác, không phải từ ý nghĩa của bài toán mà từ phân phối của chính thống kê kiểm định: chênh lệch giữa tỉ lệ quan sát và tỉ lệ kỳ vọng, sau khi bình phương và chuẩn hóa, tuân theo phân phối khi bình phương. Vì vậy trong đề thi hai cụm từ thường đi kèm nhau thành "chi-square goodness-of-fit test", một nửa chỉ mục đích, một nửa chỉ công cụ toán học. Về sau còn có những kiểm định phi tham số (non-parametric) cùng mục đích nhưng mang tên người phát minh, chẳng hạn kiểm định Kolmogorov–Smirnov đặt theo tên hai nhà toán học Nga Andrey Kolmogorov và Nikolai Smirnov. Một giai thoại cho thấy sức mạnh của công cụ này: Ronald A. Fisher (1890–1962) đã dùng chính kiểm định của Pearson để phân tích số liệu đậu Hà Lan của Gregor Mendel (1822–1884). Kết quả của Mendel khớp với tỉ lệ 25% và 75% mà ông dự đoán, nhưng khớp một cách quá hoàn hảo. Nhờ đó người ta nhận ra rằng độ phù hợp "quá tốt" cũng là một tín hiệu đáng ngờ, chứ không chỉ độ phù hợp kém.

Đổi bộ tỉ lệ trong H₀ — nhìn từng ô (O−E)²/E và tổng χ² nhảy theo

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mẹo phòng thi

Viết đủ bốn bước: tên kiểm định, giả thuyết, điều kiện có số, kết luận theo ngữ cảnh.

Kiểm định độ phù hợp luôn một phía bên phải, đừng nhân đôi giá trị p.

Nếu bác bỏ, hãy chỉ ra ô nào đóng góp nhiều nhất vào $\chi^2$ .

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

2Bước 2: Tần số kỳ vọng của mỗi loài bằng cỡ mẫu nhân với tỉ lệ mà

H_0

giả định, tức

E_i = n p_i

. Vì tổng các phần trong tỉ lệ là

1+3+3+9 = 16

nên

E_1 = 2000 \cdot \frac{1}{16} = 125

E_2 = E_3 = 2000 \cdot \frac{3}{16} = 375

và

E_4 = 2000 \cdot \frac{9}{16} = 1125

. Cộng lại được

125 + 375 + 375 + 1125 = 2000

, đúng bằng cỡ mẫu, nên phép tính nhất quán. Riêng câu (a), tần số kỳ vọng của loài thứ hai là 375 chứ không phải 345 — 345 là số quan sát được.

3Bước 3: Tiếp theo là kiểm tra ba điều kiện. Mẫu được lấy ngẫu nhiên từ quần thể; quần thể ruồi được mô tả là rất lớn nên 2 000 con chắc chắn nhỏ hơn 10% quần thể, thỏa điều kiện lấy mẫu không hoàn lại; và mọi tần số kỳ vọng đều lớn hơn 5, giá trị nhỏ nhất đã là 125. Nhờ đó phân phối khi bình phương (chi-square distribution) là xấp xỉ hợp lệ cho thống kê kiểm định.

4Bước 4: Thống kê kiểm định cộng dồn phần đóng góp của từng loài theo công thức

\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i},

trong đó

O_i

là tần số quan sát và

E_i

là tần số kỳ vọng của loài thứ

i

; mỗi số hạng đo độ lệch của một loài, đã được chuẩn hóa theo quy mô kỳ vọng của chính loài đó. Thay số:

\frac{(110-125)^2}{125} = 1{,}80

;

\frac{(345-375)^2}{375} = 2{,}40

;

\frac{(360-375)^2}{375} = 0{,}60

;

\frac{(1185-1125)^2}{1125} = 3{,}20

. Cộng bốn số hạng được

\chi^2 = 1{,}80 + 2{,}40 + 0{,}60 + 3{,}20 = 8{,}00

5Bước 5: Với bốn loại, bậc tự do (degrees of freedom) là

df = 4 - 1 = 3

. Giá trị P(P-value) là xác suất đuôi phải

P(\chi^2 \ge 8{,}00)

với

df = 3

, tính bằng máy cho

\approx 0{,}046

; nếu tra bảng thì

7{,}815 < 8{,}00 < 9{,}348

, nên giá trị P nằm giữa 0,025 và 0,05, phù hợp với kết quả vừa tính. Vì

0{,}046 < 0{,}05

, ta bác bỏ

H_0

Ở mức ý nghĩa 5%, có đủ bằng chứng để kết luận rằng tỉ lệ thật của bốn loài ruồi giấm trong quần thể không đúng bằng 1 : 3 : 3 : 9 như nhà di truyền học tuyên bố. Nhìn vào từng số hạng, loài thứ tư đóng góp nhiều nhất vào $\chi^2$ (3,20) vì quan sát được 1 185 con trong khi mô hình chỉ dự đoán 1 125. Tuy nhiên, cần nhớ rằng kiểm định chỉ cho biết mô hình sai, chứ tự nó không chứng minh loài thứ tư là nguyên nhân duy nhất.

2Ví dụ 2/2

Quản lý một chuỗi cà phê tin rằng số lượt khiếu nại của khách hàng rải đều như nhau qua năm ngày làm việc trong tuần. Trong một tháng, tổng cộng 200 lượt khiếu nại được ghi nhận và phân bố như sau: thứ Hai 34, thứ Ba 45, thứ Tư 39, thứ Năm 52, thứ Sáu 30. Giả sử 200 lượt này có thể xem như một mẫu ngẫu nhiên của các lượt khiếu nại nói chung.

aNêu giả thuyết và giải thích vì sao mọi tần số kỳ vọng ở đây đều bằng nhau.
bKiểm định ở mức ý nghĩa $\alpha = 0{,}05$ xem dữ liệu có mâu thuẫn với niềm tin của người quản lý hay không.

1Bước 1: Ở đây mô hình được kiểm tra là mô hình phân bố đều:

H_0

: tỉ lệ khiếu nại của mỗi ngày trong tuần đều bằng

1/5

, đối lại

H_a

: ít nhất một ngày có tỉ lệ khác

1/5

. Vì cả năm tỉ lệ giả định như nhau nên tần số kỳ vọng cũng như nhau:

E = 200 \cdot \frac{1}{5} = 40

lượt cho mỗi ngày. Đây là điểm khiến bài toán phân bố đều nhẹ hơn bài toán tỉ lệ định trước: chỉ cần chia đều cỡ mẫu cho số loại.

2Bước 2: Điều kiện được thỏa: mẫu xem như ngẫu nhiên, 200 lượt khiếu nại nhỏ hơn 10% tổng số lượt khiếu nại có thể có của chuỗi cửa hàng, và mọi tần số kỳ vọng bằng 40 nên đều vượt 5. Vì vậy có thể dùng phân phối khi bình phương để xấp xỉ.

3Bước 3: Tính từng phần đóng góp với mẫu số chung là 40:

\frac{(34-40)^2}{40} = 0{,}900

;

\frac{(45-40)^2}{40} = 0{,}625

;

\frac{(39-40)^2}{40} = 0{,}025

;

\frac{(52-40)^2}{40} = 3{,}600

;

\frac{(30-40)^2}{40} = 2{,}500

. Cộng lại:

\chi^2 = 0{,}900 + 0{,}625 + 0{,}025 + 3{,}600 + 2{,}500 = 7{,}65

4Bước 4: Bậc tự do là

df = 5 - 1 = 4

, và

P(\chi^2 \ge 7{,}65) \approx 0{,}105

. Tra bảng cũng cho kết quả tương tự vì

7{,}65 < 7{,}779

, tức giá trị P lớn hơn 0,10. Do

0{,}105 > 0{,}05

, ta không bác bỏ

H_0

Ở mức ý nghĩa 5%, không có đủ bằng chứng để kết luận rằng số lượt khiếu nại phân bố không đều qua năm ngày làm việc; dữ liệu vẫn tương thích với niềm tin của người quản lý. Tuy nhiên, giá trị P chỉ nhỉnh hơn 0,10 một chút, nên chênh lệch giữa thứ Năm (52 lượt) và thứ Sáu (30 lượt) đáng để theo dõi thêm bằng một mẫu lớn hơn. Cần tránh cách nói "dữ liệu chứng minh các ngày như nhau": không bác bỏ giả thuyết không chỉ có nghĩa là chưa đủ bằng chứng chống lại nó.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.