phân phối chi bình phương

Phân phối chi bình phương (chi-square distribution) được xây dựng từ các biến ngẫu nhiên chuẩn tắc. Nếu $Z_1, Z_2, \ldots, Z_k$ là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn tắc (standard normal distribution), thì tổng $\chi^2 = Z_1^2 + Z_2^2 + \cdots + Z_k^2$ tuân theo phân phối chi bình phương với $k$ bậc tự do. Bậc tự do kiểm soát hình dạng của phân phối: với bậc tự do nhỏ, phân phối lệch phải rõ rệt và tập trung gần gốc; khi bậc tự do tăng dần, độ lệch giảm đi và hình dạng tiệm cận phân phối chuẩn.

Trong thực hành AP Statistics, thống kê kiểm định chi bình phương được tính theo công thức

$$\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}$$

trong đó $O$ là tần số quan sát và $E$ là tần số kỳ vọng theo giả thuyết không. Tổng bình phương có trọng số này đo mức độ chênh lệch giữa dữ liệu thực tế và mô hình lý thuyết: giá trị $\chi^2$ càng lớn thì bằng chứng chống lại giả thuyết không càng mạnh. Tuy nhiên, cùng một giá trị $\chi^2$ lại cho xác suất khác nhau tùy theo bậc tự do đang dùng, vì vậy không thể kết luận chỉ từ con số thống kê mà không xét đến phân phối tương ứng.

Do đó, để áp dụng phân phối chi bình phương một cách hợp lệ, cần kiểm tra hai điều kiện: mẫu được chọn ngẫu nhiên từ tổng thể, và mọi tần số kỳ vọng đều lớn hơn 5. Điều kiện thứ hai đảm bảo rằng xấp xỉ liên tục là đủ chính xác cho dữ liệu đếm. Vì vậy, khi tiến hành kiểm định, người học cần lưu ý cách xác định bậc tự do cho từng loại kiểm định: trong kiểm định phù hợp (goodness-of-fit test), bậc tự do bằng số nhóm phân loại trừ một; còn trong kiểm định độc lập hoặc đồng nhất trên bảng hai chiều (two-way table), bậc tự do bằng $(r-1)(c-1)$ với $r$ và $c$ lần lượt là số hàng và số cột.