Đang tải bài học…

AP Statistics

phân phối lệch phải

skewed right

Phân phối lệch phải là phân phối có đuôi dài về phía giá trị lớn, phần lớn dữ liệu dồn về bên trái và chỉ ít quan sát trải xa bên phải.

Khi mô tả hình dạng của một phân phối, người ta chú ý đến sự cân xứng giữa hai phía của điểm trung tâm. Một phân phối được gọi là lệch phải (skewed right) khi đuôi dài hơn nằm về phía các giá trị lớn, trong khi phần lớn quan sát dồn về phía trái; hình dạng này thường gặp trong những tập dữ liệu có giới hạn dưới tự nhiên bằng không nhưng không có giới hạn trên rõ ràng, chẳng hạn thời gian nằm viện hay thu nhập hộ gia đình.

Hệ quả trực tiếp của sự lệch này là mối quan hệ giữa ba đại lượng trung tâm, bởi các giá trị ngoại lai ở đuôi phải kéo trung bình (mean) về phía chúng mạnh hơn so với trung vị (median), khiến ba đại lượng thường xếp theo thứ tự yếu vị < trung vị < trung bình. Vì trung vị ít chịu ảnh hưởng của giá trị cực đoan nên nó là thước đo trung tâm đáng tin cậy hơn khi phân phối lệch phải. Do đó, trong thực tế phân tích, người ta ưu tiên dùng trung vị để tóm tắt tập dữ liệu có phân phối lệch.

Trong bài thi AP Statistics, khi so sánh hai phân phối, thí sinh cần nêu rõ phân phối nào lệch phải và giải thích ý nghĩa của điều đó trong ngữ cảnh bài toán. Chẳng hạn, nếu biểu đồ tần suất cho thấy phần lớn học sinh có điểm thấp nhưng một số ít đạt điểm rất cao thì phân phối đó lệch phải. Ngược lại với phân phối lệch trái (skewed left), nơi đuôi dài kéo về phía các giá trị nhỏ hơn, phân phối lệch phải phản ánh sự tồn tại của một nhóm nhỏ quan sát đặc biệt lớn so với phần còn lại của tập dữ liệu.

Trực giác: Hình dung một hàng người xếp theo chiều cao: hầu hết đứng gần nhau ở bên trái, nhưng có vài người khổng lồ đứng rất xa bên phải — đó là cái đuôi lệch phải.

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1895Karl PearsonRonald FisherJohn Tukey

Khái niệm độ lệch được Karl Pearson đưa ra năm 1895 khi ông tìm cách mô tả những tập dữ liệu không đối xứng mà đường cong chuẩn không mô tả nổi; cách gọi "lệch phải" chỉ đơn giản ghi lại phía mà cái đuôi dài của phân phối kéo về.

Cuối thế kỷ 19, thống kê toán học còn xoay quanh đường cong đối xứng hình chuông, nhưng dữ liệu thật thì hiếm khi ngoan ngoãn như vậy: thời gian chờ, tuổi thọ của một chi tiết máy hay thu nhập đều bị chặn dưới bởi số không mà lại không có giới hạn trên. Karl Pearson, người được gọi là ông tổ của thống kê toán học, đã đặt tên và đo lường sự bất đối xứng đó vào năm 1895, gắn nó với khoảng cách giữa các số đo xu hướng trung tâm chia cho độ lệch chuẩn (standard deviation). Sang thập niên 1920, Ronald Fisher hoàn thiện thêm các công thức đo độ lệch, và đến giữa thế kỷ 20 những giáo trình phổ biến đã đưa cụm từ này thành ngôn ngữ thường ngày của người làm số liệu.

Thử nghiệm tương tác

Kéo mấy chấm bên mép phải ra xa — nhìn vạch trung bình rời khỏi trung vị

Hay hiểu sai

Lệch phải nghĩa là đuôi dài về bên phải, không phải phần lớn dữ liệu nằm bên phải.

Một giá trị lẻ nằm xa không biến phân phối thành lệch phải.

Quan hệ trung bình lớn hơn trung vị chỉ là dấu hiệu, không phải định nghĩa.

Với phân phối lệch phải, đừng mô tả tâm và độ phân tán bằng trung bình và độ lệch chuẩn.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một bệnh viện ghi lại số ngày nằm viện của 15 bệnh nhân xuất viện trong một tuần. Dữ liệu (đã sắp xếp tăng dần, đơn vị: ngày) như sau: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 9, 12, 16, 27.

aMô tả hình dạng của phân phối số ngày nằm viện và giải thích vì sao em kết luận như vậy.
bTính trung bình và trung vị. So sánh hai giá trị này và cho biết kết quả so sánh phù hợp với hình dạng đã nêu ở câu (a) như thế nào.
cDùng quy tắc 1,5 × IQR để kiểm tra xem có quan sát nào là giá trị bất thường không, rồi cho biết nên báo cáo tâm và độ phân tán của phân phối này bằng cặp số đo nào.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · bài “Đồ thị cho một biến định lượng” — khoá AP Statistics

Cần trướchình dạng (của phân phối)

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

phân phối lệch tráiskewed left

Khác nhau ở đâuLệch phải có đuôi kéo dài về bên phải và trung bình lớn hơn trung vị, trong khi lệch trái có đuôi kéo dài về bên trái và trung bình nhỏ hơn trung vị

Hay nhầm khithí sinh hay nhầm chiều lệch vì đọc theo phía đỉnh cao thay vì phía đuôi dài: đuôi chỉ chiều lệch, không phải đỉnh

phân phối đối xứngsymmetric distribution

Khác nhau ở đâuPhân phối đối xứng có trung bình bằng trung vị, còn lệch phải có trung bình lớn hơn trung vị do đuôi phải kéo dài

Hay nhầm khiđề hay cho histogram và hỏi so sánh trung bình với trung vị, học sinh nhầm khi đuôi không quá rõ ràng

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 50, 64, 96.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi này gây nhầm lẫn nhiều hơn bất kỳ thuật ngữ mô tả dữ liệu nào khác, vì người mới học thường tưởng "phải" chỉ chỗ có nhiều dữ liệu nhất. Thực ra tính từ chỉ hướng ở đây mô tả cái đuôi dài chứ không mô tả đỉnh: xác suất giảm chậm về phía các giá trị lớn, nên các quan sát cực đoan xuất hiện thường xuyên hơn ở bên cao, kéo dài phần bên phải của đồ thị trong khi khối dữ liệu dồn về bên trái. Do đó cách đọc đúng là "đuôi đổ về phải", và chính cái đuôi ấy đặt tên cho cả phân phối. Bên cạnh đó còn có tên gọi thứ hai là lệch dương (positively skewed), xuất phát từ chỗ chỉ số đo độ lệch mà Pearson và những người kế tục xây dựng sẽ mang giá trị dương trong trường hợp này; nhờ vậy hai cách gọi tuy khác chữ nhưng cùng chỉ một hiện tượng. Từ giữa thế kỷ 20, khi John Tukey phát triển hướng phân tích dữ liệu khám phá (exploratory data analysis) nhấn mạnh việc nhìn hình dạng trước khi tính toán, cụm từ này trở thành một trong những nhãn mô tả đầu tiên mà người học được dạy khi nhìn vào một biểu đồ.

Kéo mấy chấm bên mép phải ra xa — nhìn vạch trung bình rời khỏi trung vị

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mẹo phòng thi

Câu mô tả phân phối phải nêu đủ hình dạng, tâm, độ phân tán và giá trị bất thường, kèm bối cảnh.

Khi chỉ có biểu đồ hộp, hãy đọc độ lệch bằng cách so khoảng cách chứ đừng đoán.

Dữ liệu lệch phải không tự động cấm bạn làm suy diễn về trung bình.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

Trước hết hãy nhìn cách các số liệu trải ra. Phần lớn bệnh nhân nằm viện từ 1 đến 6 ngày, tức là dữ liệu dồn cục về phía các giá trị nhỏ. Càng đi sang phải thì các quan sát càng thưa dần: 7, 9, 12, 16 rồi tách hẳn ra một giá trị 27. Đây chính là dấu hiệu của phân phối lệch phải, vì đuôi bên phải dài hơn hẳn đuôi bên trái.

2Bước 2: Vì

n = 15

là số lẻ nên trung vị (median) là quan sát thứ

(15+1)/2 = 8

trong dãy đã sắp xếp, tức là

M = 4

ngày. Đây là giá trị chia dãy thành hai nửa bằng nhau về số quan sát, mỗi nửa 7 giá trị.

3Bước 3: Tính trung bình bằng cách cộng toàn bộ số ngày rồi chia cho số bệnh nhân: tổng là

1+2+2+3+3+3+4+4+5+6+7+9+12+16+27 = 104

, nên

\bar{x} = 104/15 \approx 6{,}93

ngày. Như vậy

\bar{x} \approx 6{,}93 > M = 4

. Chênh lệch này không phải ngẫu nhiên: trung bình bị các quan sát lớn ở đuôi phải (16 và 27) kéo lên, trong khi trung vị chỉ đếm vị trí nên gần như không nhúc nhích. Do đó quan hệ

\bar{x} > M

đúng như dự đoán cho một phân phối lệch phải.

4Bước 4: Nửa dưới gồm 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4 nên

Q_1 = 3

; nửa trên gồm 5, 6, 7, 9, 12, 16, 27 nên

Q_3 = 9

. Suy ra khoảng tứ phân vị (interquartile range) là

IQR = 9 - 3 = 6

. Ngưỡng trên bằng

Q_3 + 1{,}5 \times IQR = 9 + 9 = 18

và ngưỡng dưới bằng

Q_1 - 1{,}5 \times IQR = 3 - 9 = -6

. Chỉ có 27 vượt ngưỡng trên, nên 27 ngày là một giá trị ngoại lai (outlier); còn 16 ngày thì chưa tới ngưỡng nên không được gọi là bất thường.

5Bước 5: Khi phân phối lệch mạnh và có giá trị ngoại lai, trung bình và độ lệch chuẩn (standard deviation) đều bị đuôi dài kéo méo, còn trung vị và

IQR

thì bền vững với các quan sát cực trị. Vì vậy nên báo cáo tâm bằng trung vị

M = 4

ngày và độ phân tán bằng

IQR = 6

ngày. Lưu ý phải viết kèm đơn vị và ngữ cảnh, vì bài chấm AP yêu cầu mọi kết luận đều gắn với tình huống thực tế.

Phân phối số ngày nằm viện của 15 bệnh nhân lệch phải: đa số bệnh nhân xuất viện trong vòng khoảng 1 đến 6 ngày, còn một số ít nằm lâu hơn hẳn tạo thành đuôi kéo dài về phía phải, trong đó 27 ngày là giá trị bất thường theo quy tắc 1,5 × IQR. Chính đuôi phải này làm trung bình $\bar{x} \approx 6{,}93$ ngày lớn hơn trung vị $M = 4$ ngày. Do đó, để mô tả trung thực nhóm bệnh nhân, ta nên nói rằng một ca nằm viện điển hình kéo dài khoảng 4 ngày với khoảng tứ phân vị 6 ngày, thay vì dùng con số trung bình gần 7 ngày.

2Ví dụ 2/2

Hai trường trung học cùng khảo sát thời gian (phút) học sinh đi từ nhà đến trường. Kết quả tóm tắt bằng năm số đặc trưng như sau. Trường A: nhỏ nhất 2;

Q_1 = 8

; trung vị 12;

Q_3 = 18

; lớn nhất 55. Trường B: nhỏ nhất 5;

Q_1 = 14

; trung vị 20;

Q_3 = 26

; lớn nhất 40.

aChỉ dựa vào năm số đặc trưng, hãy nhận định hình dạng của mỗi phân phối.
bSo sánh hai phân phối theo đầy đủ bốn phương diện hình dạng, giá trị bất thường, tâm và độ phân tán, có gắn với ngữ cảnh.

1Bước 1: Muốn đoán hình dạng từ năm số đặc trưng, hãy so hai bên của trung vị. Ở trường A, khoảng cách từ

Q_1

đến trung vị là

12 - 8 = 4

phút, còn từ trung vị đến

Q_3

là

18 - 12 = 6

phút; đáng chú ý hơn, đuôi trên dài tới

55 - 18 = 37

phút trong khi đuôi dưới chỉ có

8 - 2 = 6

phút. Nửa trên trải rộng gấp nhiều lần nửa dưới, nên phân phối thời gian đi học ở trường A lệch phải.

2Bước 2: Làm tương tự với trường B:

20 - 14 = 6

phút và

26 - 20 = 6

phút, hai nửa của hộp cân bằng nhau. Hai râu cũng không lệch nhiều,

14 - 5 = 9

phút so với

40 - 26 = 14

phút. Vì vậy phân phối của trường B gần đối xứng, có thể hơi nghiêng nhẹ sang phải nhưng không đủ rõ để gọi là lệch phải.

3Bước 3: Kiểm tra giá trị bất thường bằng quy tắc quen thuộc. Với trường A,

IQR = 18 - 8 = 10

nên ngưỡng trên là

18 + 1{,}5 \times 10 = 33

phút; giá trị lớn nhất 55 vượt ngưỡng này nên đó là một giá trị ngoại lai. Với trường B,

IQR = 26 - 14 = 12

nên ngưỡng trên là

26 + 1{,}5 \times 12 = 44

phút; giá trị lớn nhất 40 chưa tới ngưỡng, và ngưỡng dưới

14 - 18 = -4

cũng không loại quan sát nào. Như vậy chỉ trường A có quan sát bất thường.

4Bước 4: So sánh tâm phải dùng cùng một loại số đo, ở đây là trung vị vì trường A lệch và có giá trị ngoại lai. Trung vị của B là 20 phút, lớn hơn trung vị 12 phút của A, nghĩa là học sinh trường B nhìn chung đi học xa hơn về mặt thời gian.

5Bước 5: Về độ phân tán cần cẩn thận vì hai thước đo cho hai câu trả lời khác nhau. Khoảng biến thiên của A là

55 - 2 = 53

phút, lớn hơn của B là

40 - 5 = 35

phút, nhưng con số đó bị thổi lên bởi đúng một quan sát 55 phút. Ngược lại, nếu nhìn phần lõi của dữ liệu thì

IQR

của B bằng 12 phút, lớn hơn

IQR

của A bằng 10 phút. Do đó nên kết luận rằng nửa giữa số học sinh ở trường B trải rộng hơn một chút, còn trường A trông rộng hơn chỉ vì có một quan sát cực trị.

Phân phối thời gian đi học ở trường A lệch phải, còn ở trường B gần đối xứng. Trường A có một giá trị bất thường tại 55 phút (vượt ngưỡng 33 phút), trong khi trường B không có quan sát nào bất thường. Về tâm, học sinh trường B đi học lâu hơn với trung vị 20 phút so với 12 phút của trường A; về độ phân tán, khoảng tứ phân vị của trường B (12 phút) nhỉnh hơn của trường A (10 phút), dù khoảng biến thiên của trường A lại lớn hơn do quan sát cực trị. Khi trình bày trong bài thi, nhớ dùng từ so sánh trực tiếp như "lớn hơn", "rộng hơn" theo khung SOCS, vì mô tả riêng rẽ từng phân phối sẽ bị trừ điểm.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.