Đang tải bài học…

AP Statistics

phân phối đối xứng

symmetric distribution

Còn gọi: symmetric · phân bố đối xứng · tương đối đối xứng

Phân phối đối xứng là phân phối có hai nửa đồ thị phản chiếu qua trục giữa, nên trung bình và trung vị xấp xỉ bằng nhau.

Khi quan sát biểu đồ tần số của một tập dữ liệu (data set), ta có thể vẽ một đường thẳng đứng qua tâm sao cho nửa bên trái và nửa bên phải trùng khít như hai chiếc gương úp vào nhau. Đó chính là phân phối đối xứng (symmetric distribution). Trong phân phối này, các giá trị nằm cách đều tâm xuất hiện với tần số như nhau, nên trung bình và trung vị hội tụ về cùng một điểm.

Do đó, việc nhận diện tính đối xứng giúp ta chọn đúng đại lượng mô tả trung tâm. Vì trung bình nhạy cảm với giá trị ngoại lai còn trung vị thì không, hai đại lượng này chỉ xấp xỉ bằng nhau khi phân phối ít bị kéo lệch. Ngược lại, nếu biểu đồ kéo dài về một phía, phân phối trở thành lệch phải hoặc lệch trái, và trung vị lúc đó mô tả trung tâm tốt hơn trung bình.

Nhờ đó, nhiều phương pháp suy luận thống kê đặt tính đối xứng làm điều kiện nền tảng. Chẳng hạn, phân phối chuẩn (normal distribution) và phân phối t đều đối xứng quanh trung bình, nên khoảng tin cậy và kiểm định giả thuyết dựa trên chúng hoạt động chính xác khi dữ liệu có dạng tương tự. Tuy nhiên, đối xứng không nhất thiết nghĩa là hình chuông: một phân phối đều (uniform distribution) cũng đối xứng nhưng không có đỉnh nhọn ở giữa.

Ký hiệuĐồ thị đối xứng qua đường thẳng

x = \mu

, với

\mu \approx \tilde{x}

(trung vị).

Trực giác: Hãy tưởng tượng bạn đếm số học sinh ở mỗi mức chiều cao rồi xếp chồng các khối lên nhau: khối cao nhất nằm ở giữa, và càng ra hai bên càng thấp dần đều — nếu gập đôi bức tranh theo đường giữa, hai nửa khớp nhau như cánh bướm, đó là phân phối đối xứng.

Công thức

\htmlClass{fp-0}{f(\mu - x)} = \htmlClass{fp-1}{f(\mu + x)}

Dùng để phát biểu định nghĩa toán học của phân phối đối xứng: đẳng thức phải đúng với mọi giá trị x > 0.

Trong đó

f

hàm mật độ xác suất (đối với biến liên tục) hoặc hàm khối xác suất (đối với biến rời rạc)

\mu

tâm đối xứng, thường trùng với trung bình và trung vị

x

khoảng cách từ tâm đến điểm đang xét, x > 0

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1733Abraham de MoivreCarl Friedrich GaussFrancis Galton

Ý niệm về một đường cong đối xứng hình chuông xuất hiện từ công trình của Abraham de Moivre năm 1733, sau đó được Carl Friedrich Gauss xây dựng chặt chẽ về mặt toán học; tên gọi "chuẩn" chỉ được Francis Galton dùng phổ biến vào cuối thế kỷ 19.

Bài toán khởi thủy không phải là mô tả dữ liệu mà là xử lý sai số. Suốt gần ba trăm năm, đường cong hình chuông từng mang những cái tên xoay quanh chữ "sai số": luật sai số (law of error), luật tần số của sai số, rồi luật thứ hai của Laplace hay luật Gauss. De Moivre làm việc với nó từ năm 1733, còn Gauss đặt nền móng toán học cho nó cùng với ý tưởng dẫn tới định lý giới hạn trung tâm (central limit theorem). Nhờ đó, một hình dạng đối xứng duy nhất trở thành khuôn mẫu để so sánh mọi phân bố dữ liệu khác trong thống kê.

Thử nghiệm tương tác

Nắn đống chấm cho hai nửa cân nhau — rồi kéo một chấm ra xa và nhìn hai vạch tách nhau

Hay hiểu sai

Đối xứng không có nghĩa là phân phối chuẩn (normal distribution).

Trung bình bằng trung vị không chứng minh được phân phối đối xứng.

Hộp cân đối trong biểu đồ hộp (boxplot) chưa đủ để kết luận đối xứng.

Đối xứng không đồng nghĩa với việc không có giá trị ngoại lai (outlier).

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một lớp có 22 học sinh làm bài kiểm tra Thống kê thang 10 điểm. Giáo viên ghi lại kết quả bằng bảng tần số: 2 học sinh được 5 điểm, 5 học sinh được 6 điểm, 8 học sinh được 7 điểm, 5 học sinh được 8 điểm và 2 học sinh được 9 điểm.

aMô tả hình dạng của phân phối điểm số và giải thích vì sao có thể gọi đây là một phân phối đối xứng.
bTính điểm trung bình và trung vị của lớp. Nhận xét về mối quan hệ giữa hai giá trị này và cho biết nó phù hợp với hình dạng đã mô tả ở câu (a) như thế nào.
cGiả sử có thêm một học sinh thi lại và chỉ được 1 điểm, nâng sĩ số lên 23. Hãy tính lại trung bình và trung vị, rồi cho biết nên dùng số đo nào để mô tả điểm số tiêu biểu của lớp.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · bài “Mô tả phân phối của một biến định lượng” — khoá AP Statistics

Dẫn tớithống kê mô tả

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

phân phối lệchskewed

Khác nhau ở đâuPhân phối đối xứng có hai nửa gương soi qua trục giữa, còn phân phối lệch có đuôi dài về một phía

Hay nhầm khiđề cho histogram trông gần đối xứng nhưng một bên đuôi hơi dài hơn, thí sinh vội kết luận là đối xứng

phân phối hình chuôngmound-shaped

Khác nhau ở đâuHình chuông chỉ nói phân phối có một đỉnh nổi lên ở giữa, không đảm bảo hai nửa đối xứng nhau

Hay nhầm khithí sinh thấy đồ thị có dạng chuông rồi mặc nhiên coi là đối xứng mà không kiểm tra hai đuôi

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 94, 630, 709.

Vì sao mang đúng cái tên này? Chữ "đối xứng" mô tả đúng cái nhìn thấy được: hai nửa đồ thị soi vào nhau qua một trục đứng. Điều thú vị nằm ở tên riêng của trường hợp đối xứng nổi tiếng nhất. Trong bài viết năm 1877, Galton mới chỉ dùng cụm "deviated normally" đúng một lần và vẫn gọi nó là "luật độ lệch"; đến thập niên 1880 ông mới dùng chữ "normal" một cách hệ thống, và chương 5 cuốn Natural Inheritance (1889) mang tên "Normal Variability", nơi xuất hiện cách gọi đường cong chuẩn (normal curve). Vì Galton có ảnh hưởng lớn tới thống kê Anh và qua Karl Pearson cùng R. A. Fisher lan ra toàn thế giới, tên gọi ấy thắng thế. Tuy nhiên, đường cong này chưa bao giờ được đặt theo tên de Moivre — Stigler lấy chính điều đó làm ví dụ cho "luật danh xưng" của ông, rằng người đặt tên hiếm khi là người khám phá.

Nắn đống chấm cho hai nửa cân nhau — rồi kéo một chấm ra xa và nhìn hai vạch tách nhau

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mẹo phòng thi

Luôn viết "approximately symmetric" chứ đừng viết "symmetric" trơ trọi.

Mô tả phân phối phải đủ hình dạng, tâm, độ phân tán và điểm bất thường, kèm ngữ cảnh.

Khi so sánh hai phân phối, phải dùng từ so sánh trực tiếp trong cùng một câu.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

Bước 1: Trước hết hãy nhìn dãy tần số theo thứ tự điểm tăng dần:

2,\;5,\;8,\;5,\;2

. Dãy này đọc xuôi hay đọc ngược đều cho kết quả như nhau, nghĩa là nếu gấp biểu đồ tần số lại tại cột điểm 7 thì hai nửa chồng khít lên nhau. Đỉnh duy nhất nằm ở giữa và hai đuôi thấp dần đều về hai phía, nên phân phối này vừa đối xứng vừa có một đỉnh (unimodal), không có dấu hiệu lệch về phía nào và cũng không có giá trị ngoại lai (outlier).

2Bước 2: Tính điểm trung bình bằng công thức trung bình có trọng số theo tần số:

\bar{x}=\frac{\sum x_i f_i}{n}=\frac{5(2)+6(5)+7(8)+8(5)+9(2)}{22}=\frac{10+30+56+40+18}{22}=\frac{154}{22}=7.

Ở đây

x_i

là điểm số,

f_i

là số học sinh đạt điểm đó và

n=22

là tổng số học sinh, nên tử số 154 chính là tổng điểm toàn lớp và kết quả cho biết mỗi học sinh trung bình được 7 điểm.

3Bước 3: Vì

n=22

là số chẵn, trung vị là trung bình cộng của hai giá trị đứng ở vị trí thứ 11 và 12 khi xếp điểm từ thấp đến cao. Tần số tích lũy lần lượt là

2

(đến điểm 5),

7

(đến điểm 6) và

15

(đến điểm 7), do đó cả vị trí 11 lẫn vị trí 12 đều rơi vào nhóm điểm 7, suy ra trung vị bằng

7

. Trung bình và trung vị trùng nhau tại 7, đúng như dự đoán cho một phân phối đối xứng: điểm cân bằng của khối lượng dữ liệu cũng chính là điểm chia đôi số quan sát.

4Bước 4: Khi thêm học sinh được 1 điểm, tổng điểm thành

154+1=155

và sĩ số thành 23, nên

\bar{x}=\frac{155}{23}\approx 6{,}74

. Trung vị bây giờ là giá trị ở vị trí thứ 12; tần số tích lũy mới là

1,\;3,\;8,\;16

, nên vị trí 12 vẫn nằm trong nhóm điểm 7 và trung vị giữ nguyên bằng

7

. Một quan sát cực đoan duy nhất đã kéo trung bình xuống mà không hề động đến trung vị, khiến

\bar{x}<M

và phân phối trở nên lệch trái (skewed to the left).

5Bước 5: Từ đó rút ra nguyên tắc chọn số đo: khi phân phối còn đối xứng thì trung bình và trung vị nói cùng một điều nên dùng cái nào cũng được, và người ta thường chọn cặp trung bình kèm độ lệch chuẩn (standard deviation). Ngược lại, khi có giá trị ngoại lai làm phân phối lệch đi, trung vị mới là số đo bền vững (resistant) và nên đi kèm khoảng tứ phân vị. Vì vậy ở câu (c) ta báo cáo trung vị chứ không báo cáo trung bình.

Phân phối điểm ban đầu của 22 học sinh là đối xứng, một đỉnh, tâm tại 7 điểm và không có giá trị ngoại lai; đúng như đặc trưng của dạng này, trung bình và trung vị bằng nhau và cùng bằng 7 điểm. Sau khi thêm học sinh 1 điểm, trung bình tụt xuống khoảng 6,74 trong khi trung vị vẫn là 7, cho thấy phân phối đã lệch trái; do đó điểm tiêu biểu của lớp nên được báo cáo bằng trung vị 7 điểm.

2Ví dụ 2/2

Chiều cao của nam sinh lớp 12 tại một thành phố được mô hình hóa xấp xỉ bằng phân phối chuẩn (normal distribution) với trung bình

\mu=170

cm và độ lệch chuẩn

\sigma=6

cm. Một nghiên cứu viên đã tra bảng và biết rằng tỉ lệ nam sinh cao trên 179 cm là

0{,}0668

aTính tỉ lệ nam sinh có chiều cao từ 164 cm đến 176 cm và cho biết tỉ lệ nam sinh cao dưới 164 cm.
bKhông tra bảng thêm lần nào, hãy dùng tính đối xứng để tìm tỉ lệ nam sinh cao dưới 161 cm.

1Bước 1: Phân phối chuẩn là trường hợp tiêu biểu nhất của phân phối đối xứng: đồ thị hình chuông nhận đường thẳng

x=\mu

làm trục đối xứng, nên trung bình, trung vị và mốt trùng nhau tại

170

cm. Nhờ tính chất đó, mọi diện tích nằm bên trái

\mu

đều có một diện tích bằng nó ở bên phải, miễn là hai vùng cách

\mu

một khoảng như nhau. Đây chính là công cụ giúp ta trả lời câu (b) mà không cần tra bảng lần hai.

2Bước 2: Với câu (a), hãy đổi hai mốc chiều cao sang điểm chuẩn theo

z=\frac{x-\mu}{\sigma}

z_1=\frac{164-170}{6}=-1,\qquad z_2=\frac{176-170}{6}=1.

Hai mốc này nằm cách trung bình đúng một độ lệch chuẩn về hai phía, nên theo quy tắc thực nghiệm (empirical rule) ta có

P(164<X<176)\approx 0{,}68

3Bước 3: Phần diện tích còn lại ngoài khoảng trên là

1-0{,}68=0{,}32

, và vì phân phối đối xứng nên hai đuôi chia đôi phần này thành hai nửa bằng nhau. Do đó

P(X<164)=P(X>176)=\frac{0{,}32}{2}=0{,}16.

Nếu không có tính đối xứng thì ta buộc phải tra bảng riêng cho từng đuôi, còn ở đây một phép chia đôi là đủ.

4Bước 4: Sang câu (b), nhận xét rằng

179-170=9

và

170-161=9

, nghĩa là hai mốc 179 cm và 161 cm cách trung bình cùng một khoảng, ứng với

z=1{,}5

và

z=-1{,}5

. Vì đồ thị đối xứng qua

x=170

, diện tích đuôi phải phía trên 179 cm bằng đúng diện tích đuôi trái phía dưới 161 cm, nên

P(X<161)=P(X>179)=0{,}0668.

Ta có ngay đáp số mà không cần tra bảng thêm.

Khoảng 68% nam sinh của thành phố cao từ 164 cm đến 176 cm, và khoảng 16% cao dưới 164 cm. Nhờ trục đối xứng tại $\mu=170$ cm, tỉ lệ nam sinh cao dưới 161 cm bằng đúng tỉ lệ cao trên 179 cm, tức khoảng 6,68%.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.