AP Statistics

phân phối lệch

skewed

Phân phối lệch là phân phối không đối xứng, trong đó phần lớn dữ liệu tập trung về một phía và một đuôi dài kéo ra phía đối diện.

Một phân phối được gọi là lệch khi biểu đồ của nó không có trục đối xứng: dữ liệu dồn về một đầu trong khi đầu kia kéo dài thành một đuôi mỏng. Chiều của đuôi quyết định tên gọi — nếu đuôi kéo về phía phải thì ta nói phân phối lệch phải, còn nếu đuôi kéo về phía trái thì phân phối lệch trái. Chính vì vậy, khi nhìn vào biểu đồ cột hay biểu đồ chấm, cần chú ý xem đuôi nằm ở phía nào chứ không phải phần thân dày nằm ở đâu.

Độ lệch ảnh hưởng trực tiếp đến mối quan hệ giữa trung bình và trung vị. Trong phân phối lệch phải, các giá trị ngoại lai (outlier) nằm ở đuôi phải kéo trung bình lên cao hơn trung vị. Ngược lại, phân phối lệch trái khiến trung bình thấp hơn trung vị vì đuôi trái giữ lại những giá trị nhỏ bất thường. Do đó, khi phân phối lệch rõ rệt, trung vị thường là thước đo trung tâm đáng tin cậy hơn trung bình.

Trên đề thi, nhận biết độ lệch từ đồ thị là kỹ năng thường gặp. Ví dụ, thời gian nằm viện thường lệch phải vì đa số bệnh nhân xuất viện sớm nhưng một số ít ở lại rất lâu, tạo ra đuôi dài bên phải. Vì vậy, khi mô tả hình dạng phân phối, cần nêu đủ bốn yếu tố: hình dạng (trong đó có lệch hay không), trung tâm, độ phân tán, và các giá trị ngoại lai nếu có.

Trực giác: Hình dung một lớp học mà hầu hết học sinh ghi 8–9 điểm nhưng vài em không ôn bài chỉ được 1–2 điểm — cái đuôi điểm thấp kéo dài sang trái chính là dấu hiệu của phân phối lệch trái.

Công thức

sk = \frac{3(\bar{x} - Me)}{s}

Dùng khi cần một con số tóm tắt mức độ và hướng lệch của phân phối. sk > 0 tương ứng phân phối lệch phải (đuôi kéo về phía giá trị lớn), sk < 0 tương ứng phân phối lệch trái, sk ≈ 0 gợi ý phân phối gần đối xứng.

Trong đó

sk

hệ số lệch Pearson

\bar{x}

trung bình mẫu

Me

trung vị (median)

s

độ lệch chuẩn mẫu (standard deviation)

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1895Karl PearsonR. Fisher

Khái niệm phân phối lệch được Karl Pearson đưa vào thống kê năm 1895 khi ông mô tả những tập dữ liệu có dạng không đối xứng, tức không khớp với đường cong hình chuông quen thuộc.

Cuối thế kỷ 19, phần lớn lý thuyết thống kê được xây dựng quanh giả định dữ liệu phân bố đối xứng quanh giá trị trung bình. Thực tế lại bướng bỉnh hơn: nhiều tập số liệu có một đuôi kéo dài hẳn về một phía, khiến các công cụ sẵn có mô tả sai bản chất của chúng. Năm 1895, Karl Pearson đưa ra khái niệm độ lệch (skewness) để đo chính mức độ mất cân xứng ấy. Sang thập niên 1920, R. Fisher phát triển các phương pháp xử lý dữ liệu không chuẩn, và đến thập niên 1960 phép biến đổi Box–Cox (Box-Cox transformation) cho phép nắn dữ liệu lệch về dạng gần đối xứng hơn. Nhờ đó, phân phối lệch dần trở thành đối tượng được nghiên cứu thay vì bị né tránh.

Thử nghiệm tương tác

Kéo vài chấm ra thành đuôi — nhìn vạch trung bình chạy theo, vạch trung vị đứng yên

Hay hiểu sai

Lệch phải không có nghĩa là phần lớn dữ liệu nằm bên phải.

Trung vị nhỏ hơn trung bình trong phân phối lệch phải, không phải lớn hơn.

Phân phối gốc lệch không có nghĩa là phân phối mẫu của $\bar{x}$ cũng lệch.

Cỡ mẫu nhỏ từ tổng thể lệch thì không được coi phân phối của $\bar{x}$ là chuẩn.

Bảng xác suất tích lũy không đọc như bảng xác suất từng giá trị.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một công ty nhỏ ở TP.HCM có 9 nhân viên. Lương năm của họ, tính theo nghìn USD, được liệt kê theo thứ tự tăng dần như sau: 32, 34, 35, 36, 38, 40, 42, 45, 118. Giám đốc nhân sự muốn công bố một con số duy nhất để mô tả "mức lương tiêu biểu" của công ty trên tin tuyển dụng.

aTính trung bình và trung vị của bộ số liệu, rồi dựa vào tương quan giữa hai giá trị này để mô tả hình dạng phân phối.
bKiểm tra xem có giá trị nào bị coi là bất thường theo quy tắc 1,5×IQR hay không, và cho biết nên công bố số đo nào để mô tả mức lương tiêu biểu. Giải thích.

1Bước 1: Trước hết ta tính hai số đo trung tâm. Tổng của chín giá trị là

32+34+35+36+38+40+42+45+118=420

, nên trung bình là

\bar{x}=\dfrac{420}{9}\approx 46{,}7

nghìn USD. Vì có 9 giá trị đã sắp thứ tự, trung vị là giá trị đứng thứ năm, tức

M=38

nghìn USD. Như vậy trung bình lớn hơn trung vị khoảng 8,7 nghìn USD.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · bài “Mô tả phân phối của một biến định lượng” — khoá AP Statistics

Cần trướchình dạng (của phân phối)

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

phân phối lệch phảiskewed right

Khác nhau ở đâuPhân phối lệch phải có đuôi kéo dài về bên phải, khiến trung bình lớn hơn trung vị; phân phối lệch trái thì ngược lại

Hay nhầm khiđề hỏi 'lệch về phía nào' — thí sinh hay nhầm hướng đuôi với hướng đỉnh, cần nhớ tên lệch đặt theo chiều đuôi dài

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 63, 96, 98.

2Ví dụ 2/2

Trong năm 2000, một thành phố miền tây nước Mỹ ghi nhận 5 317 căn nhà cũ được bán lại. Phân phối giá bán của toàn bộ các căn nhà này lệch phải rất mạnh, với trung bình

\mu = 206\,274

USD và độ lệch chuẩn (standard deviation)

\sigma = 37\,881

USD. Một nhà nghiên cứu lấy ngẫu nhiên đơn giản các mẫu gồm 100 căn nhà từ tập hợp này và tính giá bán trung bình của mỗi mẫu.

aMô tả hình dạng, tâm và độ lệch chuẩn của phân phối mẫu của giá bán trung bình, kèm lý do cho từng đặc trưng.
bTính xác suất một mẫu ngẫu nhiên đơn giản gồm 100 căn nhà có giá bán trung bình vượt quá 210 000 USD.

1Bước 1: Ta kiểm tra các điều kiện trước khi mô tả phân phối mẫu (sampling distribution). Mẫu được lấy ngẫu nhiên đơn giản nên các quan sát mang tính đại diện; cỡ mẫu

n=100

nhỏ hơn 10% tổng thể vì

0{,}1\times 5317=531{,}7

, do đó công thức độ lệch chuẩn cho mẫu không hoàn lại vẫn dùng được. Ngoài ra

n=100\ge 30

, đủ lớn để áp dụng định lý giới hạn trung tâm (central limit theorem).

2Bước 2: Từ các điều kiện trên ta suy ra hình dạng. Tổng thể lệch phải rất mạnh, nhưng định lý giới hạn trung tâm khẳng định rằng khi cỡ mẫu đủ lớn thì phân phối của

\bar{x}

vẫn xấp xỉ chuẩn, bất kể tổng thể có hình dạng gì. Đây là điểm học sinh hay nhầm: độ lệch của tổng thể không truyền nguyên vẹn sang phân phối của trung bình mẫu, vì mỗi lần lấy mẫu 100 căn thì vài căn giá cao bị pha loãng bởi 99 căn còn lại.

3Bước 3: Tâm và độ phân tán được tính theo hai công thức quen thuộc:

\mu_{\bar{x}}=\mu=206\,274 \qquad \sigma_{\bar{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{37\,881}{\sqrt{100}}=3\,788{,}1

Công thức thứ nhất nói trung bình của mọi giá trị

\bar{x}

trùng đúng với trung bình tổng thể, còn công thức thứ hai nói các giá trị

\bar{x}

dao động quanh tâm chỉ bằng một phần mười so với từng căn nhà riêng lẻ.

4Bước 4: Sang câu (b), ta chuẩn hóa giá trị 210 000 USD:

z=\frac{210\,000-206\,274}{3\,788{,}1}=\frac{3\,726}{3\,788{,}1}\approx 0{,}98

Con số này cho biết mức 210 000 USD nằm cao hơn tâm khoảng 0,98 độ lệch chuẩn của phân phối mẫu. Tra bảng chuẩn được

P(Z<0{,}98)\approx 0{,}8365

, nên

P(\bar{x}>210\,000)=1-0{,}8365\approx 0{,}163

Phân phối của giá bán trung bình từ các mẫu 100 căn nhà xấp xỉ chuẩn nhờ định lý giới hạn trung tâm, có tâm tại 206 274 USD và độ lệch chuẩn 3 788,1 USD — nghĩa là dù giá nhà trong thành phố lệch phải rất mạnh, trung bình mẫu vẫn phân bố gần đối xứng quanh giá trị thật. Với phân phối đó, xác suất một mẫu ngẫu nhiên đơn giản gồm 100 căn có giá bán trung bình vượt 210 000 USD là khoảng 0,163, tức chỉ chừng 16 trong 100 mẫu như vậy cho kết quả cao đến thế.