Đang tải bài học…

AP Statistics

hai đỉnh

bimodal

Còn gọi: song đỉnh · hai mode

Hai đỉnh (bimodal) là dạng phân phối có hai vùng tần số cao nổi bật, cách nhau bởi một vùng thưa hơn, tạo hai đỉnh rõ trên đồ thị.

Khi quan sát biểu đồ tần số của một tập dữ liệu (data set), ta thường chú ý đến hình dạng tổng thể của phân phối. Một phân phối được gọi là hai đỉnh (bimodal) khi đồ thị của nó có hai vùng tập trung dữ liệu nổi bật, cách nhau bởi một vùng thưa hơn. Hai đỉnh này không nhất thiết phải cao bằng nhau, nhưng cả hai đều phải nổi bật rõ ràng so với vùng lân cận — một gồ nhỏ do dao động ngẫu nhiên không đủ để gọi là đỉnh thứ hai.

Hiện tượng hai đỉnh thường xuất hiện khi tập dữ liệu thực ra là sự pha trộn của hai nhóm có đặc điểm khác nhau. Chẳng hạn, nếu đo thời gian phun trào của một mạch nước ngầm trong nhiều năm, ta có thể thấy một nhóm lần phun ngắn tập trung quanh khoảng gần hai phút và một nhóm lần phun dài tập trung quanh hơn bốn phút, tạo ra hai đỉnh tách biệt. Do đó, khi gặp phân phối hai đỉnh, người phân tích nên đặt câu hỏi liệu tập dữ liệu có đang trộn lẫn hai quần thể con có bản chất khác nhau hay không.

Việc nhận diện phân phối hai đỉnh có ý nghĩa thực tiễn quan trọng. Nếu dùng trung bình (mean) hay trung vị (median) để mô tả toàn bộ tập dữ liệu, giá trị thu được có thể rơi vào đúng vùng thưa giữa hai đỉnh — tức là không đại diện cho bất kỳ nhóm nào trong thực tế. Vì vậy, khi mô tả một phân phối hai đỉnh trong bài thi, thí sinh cần nêu đủ bốn yếu tố: hình dạng (hai đỉnh), trung tâm, độ trải rộng, và các đặc điểm bất thường như khoảng trống hoặc giá trị ngoại lai. Ngược lại, bỏ qua bất kỳ yếu tố nào trong số đó sẽ khiến phần mô tả thiếu đầy đủ trong ngữ cảnh của bài toán.

Trực giác: Như một lớp học có hai nhóm học sinh hoàn toàn khác nhau về chiều cao — nhóm chưa dậy thì và nhóm đã dậy thì — biểu đồ chiều cao sẽ có hai đỉnh thay vì một ngọn núi duy nhất ở giữa.

Khái niệm này sinh ra từ đâu

GaltungKimElal-Olivero

"Bimodal" nghĩa đen là "hai mốt", dùng để mô tả những phân phối có hai vùng giá trị tập trung thay vì một. Thuật ngữ nảy sinh từ nhu cầu gọi tên các tập dữ liệu mà một tâm duy nhất không mô tả nổi, và về sau được các nhà thống kê phát triển thành cả một họ mô hình riêng.

Khi vẽ dữ liệu thực tế, người ta thường gặp những biểu đồ không chịu gom về một chỗ nhô cao duy nhất mà tách thành hai vùng dày. Cách đọc quen thuộc theo trung bình và độ lệch chuẩn khi ấy trở nên vô nghĩa, vì con số ở giữa lại rơi đúng vào vùng thưa dữ liệu nhất. Hình dạng này thường báo hiệu trong mẫu có hai nhóm con khác nhau: một nghiên cứu về đặc điểm tăng động giảm chú ý ở trẻ em, chẳng hạn, cho thấy phần lớn kết quả bình thường còn một nhóm nhỏ tách hẳn ra. Vì vậy, thống kê cần một từ để gọi đúng tình huống đó trước khi bàn đến việc mô hình hóa nó.

Thử nghiệm tương tác

Kéo độ rộng nhóm — xem hai đỉnh hiện ra rồi biến mất

Hay hiểu sai

Hai đỉnh không đòi hỏi hai đỉnh cao bằng nhau.

Đỉnh trên biểu đồ không phải là mốt của dữ liệu.

Trung bình và độ lệch chuẩn tóm tắt rất tệ cho phân bố hai đỉnh.

Phân bố gốc hai đỉnh không cấm ta dùng phân phối chuẩn cho trung bình mẫu.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một giáo viên thể dục ghi lại số lần hít đất tối đa mà 24 học sinh trong một lớp thực hiện được trong một phút. Số liệu (đã sắp xếp tăng dần) như sau: 8, 9, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 15, 16, 28, 29, 30, 30, 31, 32, 33, 33, 34, 35, 36, 38. Lớp này gồm cả học sinh vừa mới bắt đầu tập lẫn học sinh trong đội tuyển điền kinh của trường.

aVẽ biểu đồ thân–lá cho số liệu và mô tả phân bố theo bốn phương diện: hình dạng, trung tâm, độ phân tán và các đặc điểm bất thường (nhớ nêu trong ngữ cảnh).
bTính trung bình và trung vị. Giải thích vì sao trong tình huống này, việc chỉ báo cáo một con số đo trung tâm là gây hiểu lầm.
cĐề xuất một cách xử lý số liệu hợp lý hơn và giải thích lý do.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · bài “Đồ thị cho một biến định lượng” — khoá AP Statistics

Dẫn tớithống kê mô tả

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

phân phối đối xứngsymmetric distribution

Khác nhau ở đâuPhân phối đối xứng có một đỉnh ở giữa và hai bên cân bằng nhau, trong khi phân phối hai đỉnh có hai cụm tập trung riêng biệt

Hay nhầm khikhi histogram trông gần đối xứng nhưng thực ra có hai cụm — học sinh dễ gọi nhầm là đối xứng mà bỏ qua cấu trúc hai đỉnh

đồng đềuuniform

Khác nhau ở đâuPhân phối đồng đều không có đỉnh nổi bật nào, còn phân phối hai đỉnh có đúng hai vùng tập trung cao hơn hẳn phần còn lại

Hay nhầm khikhi nhóm dữ liệu trải rộng và đỉnh không thật sự nhọn, học sinh dễ mô tả nhầm là đồng đều thay vì hai đỉnh

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 79, 95–96.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi ghép tiền tố bi- nghĩa là "hai" với mode, tức mốt — giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất. Hiểu chặt chữ nghĩa thì một tập dữ liệu chỉ là hai đỉnh khi có đúng hai giá trị cùng chia nhau tần số cao nhất, nghĩa là không có giá trị đơn lẻ nào trội hơn hẳn. Tuy nhiên, trong thực hành người ta nới lỏng cách hiểu ấy và gọi hai đỉnh cho mọi phân phối có hai chỗ nhô cao rõ rệt, kể cả khi hai chỗ đó không bằng nhau. Chính vì thế mới sinh thêm bộ từ phân biệt: đỉnh lớn hơn gọi là đỉnh chính (major mode), đỉnh nhỏ hơn là đỉnh phụ (minor mode), còn chỗ trũng thấp nhất nằm giữa hai đỉnh gọi là điểm phản mốt (antimode). Tên tiếng Việt "hai đỉnh" nghiêng hẳn về nghĩa hình học này, tức nói về dáng của biểu đồ chứ không nói về tần số bằng nhau. Thuật ngữ còn được dùng như một nhãn phân loại hình dạng. Galtung từng đề xuất hệ thống AJUS đặt tên các dạng phân phối theo chữ cái gợi hình, trong đó chữ U chỉ trường hợp hai đỉnh nằm ở hai đầu và chữ S chỉ trường hợp nhiều đỉnh; ngược lại, chữ A dành cho dạng một đỉnh (unimodal) nhô lên ở giữa. Về sau, nhiều tác giả tìm cách mô hình hóa trực tiếp dữ liệu hai đỉnh thay vì ghép hai phân phối chuẩn lại với nhau theo kiểu hỗn hợp phân phối (mixture distribution), vốn hay gặp trục trặc khi ước lượng tham số. Kim đưa ra phần mở rộng hai đỉnh của mô hình skew-normal, còn Elal-Olivero giới thiệu mô hình bimodal-normal cho dữ liệu có hai cực đại. Nhờ đó, từ một tính từ mô tả hình dáng, "hai đỉnh" dần trở thành tên của cả một họ mô hình.

Kéo độ rộng nhóm — xem hai đỉnh hiện ra rồi biến mất

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mẹo phòng thi

Khi mô tả phân bố, viết chữ "bimodal" ở phần hình dạng và chỉ rõ hai cụm nằm quanh đâu.

Thấy hai đỉnh thì thêm một câu đoán rằng dữ liệu gồm hai nhóm bị gộp chung.

Đọc lại đề xem câu hỏi nói về dữ liệu hay về trung bình mẫu trước khi kết luận điều kiện.

Tần suất trong đề AP StatisticsHay gặp

Bước 1: Trước hết ta dựng biểu đồ thân–lá (stemplot) với thân là hàng chục, lá là hàng đơn vị. Kết quả thu được bốn hàng: thân 0 có lá 8, 9; thân 1 có lá 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6; thân 2 có lá 8, 9; thân 3 có lá 0, 0, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 8. Nhìn vào chiều dài các hàng, ta thấy hai hàng dài (10 giá trị mỗi hàng) nằm ở hai đầu và hai hàng rất ngắn nằm xen giữa, tức là đồ thị có hai chỗ nhô cao rõ rệt chứ không phải một.

2Bước 2: Mô tả cho ý (a): phân bố có hai đỉnh, một đỉnh quanh 11–12 lần hít đất và một đỉnh quanh 32–33 lần hít đất. Số liệu trải từ 8 đến 38 lần, nên khoảng biến thiên là

38-8=30

lần. Đặc điểm bất thường đáng chú ý nhất là khoảng trống (gap) giữa 16 và 28: không có học sinh nào đạt từ 17 đến 27 lần hít đất, vì vậy dữ liệu tách hẳn thành hai cụm. Không có giá trị nào nằm lẻ loi xa hẳn phần còn lại nên ta chưa thấy dấu hiệu của giá trị ngoại lai (outlier).

3Bước 3: Tính trung vị: với

n=24

giá trị, trung vị là trung bình của giá trị thứ 12 và thứ 13, tức

\dfrac{16+28}{2}=22

lần. Tính trung bình: tổng của 12 giá trị nhóm dưới là

146

, tổng của 12 giá trị nhóm trên là

389

, nên tổng chung là

535

và

\bar{x}=\dfrac{535}{24}\approx 22{,}3

lần. Hai con số này rất gần nhau, nhưng điều đó không hề chứng tỏ phân bố đối xứng.

4Bước 4: Giải thích cho ý (b): cả

22

lẫn

22{,}3

đều rơi đúng vào khoảng trống, nơi không có một học sinh nào cả. Nói "trung bình lớp làm được khoảng 22 lần hít đất" là mô tả một học sinh không tồn tại, vì mọi em hoặc làm dưới 17 lần hoặc làm trên 27 lần. Đây chính là lý do khi phân bố có hai đỉnh, số đo trung tâm mất ý nghĩa mô tả: nó chỉ là điểm cân bằng hình học giữa hai cụm chứ không đại diện cho ai.

5Bước 5: Ý (c): vì đề bài cho biết lớp gồm hai loại học sinh khác hẳn nhau về mức luyện tập, cách hợp lý là tách số liệu thành hai nhóm rồi tóm tắt riêng. Nhóm dưới có trung vị

\dfrac{12+12}{2}=12

lần, nhóm trên có trung vị

\dfrac{32+33}{2}=32{,}5

lần. Hai con số này mô tả từng nhóm chính xác hơn nhiều so với một con số 22 chung chung, đồng thời làm lộ ra biến ẩn giải thích hai đỉnh: học sinh có tham gia đội tuyển hay không.

Phân bố số lần hít đất của 24 học sinh có hai đỉnh, một đỉnh quanh 11–12 lần và một đỉnh quanh 32–33 lần, trải từ 8 đến 38 lần, với khoảng trống rõ rệt từ 17 đến 27 lần và không có giá trị ngoại lai. Trung vị là 22 lần và trung bình xấp xỉ 22,3 lần, nhưng cả hai đều rơi vào vùng trống nên không mô tả đúng bất kỳ học sinh nào. Vì hai đỉnh phản ánh hai nhóm học sinh khác nhau (mới tập và trong đội tuyển), ta nên tách dữ liệu và báo cáo trung vị riêng cho từng nhóm: khoảng 12 lần cho nhóm mới tập và khoảng 32,5 lần cho nhóm đội tuyển.

2Ví dụ 2/2

Một trường trung học khảo sát thời gian đi từ nhà đến trường (đơn vị: phút) của 76 học sinh. Kết quả được ghi trong bảng tần số theo nhóm dưới đây, mỗi nhóm rộng 10 phút và lấy cận dưới, không lấy cận trên: [0;10) có 4 học sinh; [10;20) có 18; [20;30) có 8; [30;40) có 11; [40;50) có 9; [50;60) có 20; [60;70) có 6.

aMô tả hình dạng của phân bố nếu vẽ biểu đồ tần số từ bảng trên.
bMột học sinh cho rằng phân bố có ba đỉnh vì nhóm [30;40) cao hơn hai nhóm kề bên. Nhận xét ý kiến này.
cXác định nhóm chứa trung vị và bình luận về việc dùng trung vị để tóm tắt dữ liệu này.

1Bước 1: Ta đọc dãy tần số theo thứ tự các nhóm: 4, 18, 8, 11, 9, 20, 6. Khi vẽ biểu đồ tần số (histogram), chiều cao các cột sẽ lên xuống theo đúng dãy này. Hai cột cao vượt trội là 18 ở nhóm [10;20) và 20 ở nhóm [50;60), và giữa chúng là một vùng các cột thấp hơn hẳn.

2Bước 2: Trả lời ý (a): phân bố có hai đỉnh, một đỉnh ở khoảng 10–20 phút và một đỉnh ở khoảng 50–60 phút, với vùng trũng ở giữa quanh 20–50 phút. Dữ liệu trải từ 0 đến dưới 70 phút. Hai đỉnh này gợi ý hai nhóm học sinh khác nhau: nhóm ở gần trường đi bộ hoặc đạp xe, và nhóm ở xa phải đi xe buýt.

3Bước 3: Ý (b): đúng là

11 > 8

và

11 > 9

, nên cột [30;40) là một chỗ nhô nhẹ. Tuy nhiên chênh lệch chỉ 2 đến 3 học sinh, quá nhỏ so với hai đỉnh thật vốn cao gấp đôi các cột lân cận. Trong mô tả phân bố, ta chỉ gọi là đỉnh những chỗ nhô lên rõ rệt, còn mọi gợn nhỏ do dao động ngẫu nhiên của mẫu thì không; nếu đổi độ rộng nhóm, gợn nhỏ đó có thể biến mất hoàn toàn. Vì vậy nên kết luận phân bố có hai đỉnh chứ không phải ba.

4Bước 4: Ý (c): với

n=76

, trung vị nằm giữa giá trị thứ 38 và thứ 39. Tần số tích lũy lần lượt là

4

4+18=22

22+8=30

30+11=41

, nên cả giá trị thứ 38 lẫn thứ 39 đều rơi vào nhóm [30;40). Điều đáng nói là nhóm này nằm ngay trong vùng trũng giữa hai đỉnh, tức là trung vị lại chỉ vào khoảng thời gian mà tương đối ít học sinh có.

5Bước 5: Do đó, khi báo cáo kết quả khảo sát, chỉ nói "thời gian đi học điển hình khoảng 30–40 phút" là che mất cấu trúc thật của dữ liệu. Cách trình bày trung thực hơn là nêu rõ có hai nhóm học sinh với thời gian đi lại rất khác nhau, kèm theo tỉ lệ mỗi nhóm; chẳng hạn tỉ lệ học sinh đi dưới 30 phút là

\dfrac{4+18+8}{76}=\dfrac{30}{76}\approx 0{,}395

, tức khoảng

39{,}5\%

Phân bố thời gian đi học của 76 học sinh có hai đỉnh, một đỉnh ở nhóm [10;20) phút và một đỉnh ở nhóm [50;60) phút, với vùng trũng ở giữa. Chỗ nhô nhẹ ở nhóm [30;40) chỉ hơn hai nhóm kề bên 2–3 học sinh nên là dao động ngẫu nhiên, không phải đỉnh thứ ba. Trung vị rơi vào nhóm [30;40) phút, tức nằm ngay giữa vùng trũng, nên nó không đại diện cho học sinh nào; báo cáo hợp lý phải nói rõ trường có hai nhóm học sinh với quãng đường đến trường khác hẳn nhau, trong đó khoảng 39,5% đi hết dưới 30 phút.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.