Đang tải bài học…

AP Statistics

mốt

mode

Mốt là giá trị xuất hiện nhiều lần nhất trong một tập dữ liệu, đóng vai trò là đại lượng mô tả vị trí trung tâm của phân phối.

Trong thống kê mô tả, mốt là một trong ba đại lượng đo xu hướng trung tâm bên cạnh trung bình và trung vị. Để xác định mốt, người ta đơn giản tìm giá trị hoặc nhóm giá trị có tần số cao nhất trong bộ số liệu. Vì thế, mốt không cần tính toán bằng công thức đại số mà chỉ cần quan sát phân phối tần số.

Một tập dữ liệu có thể có một mốt duy nhất, nhiều mốt, hoặc không có mốt. Nếu hai giá trị cùng đạt tần số cao nhất, phân phối được gọi là hai mốt (bimodal); nếu có từ ba mốt trở lên, ta gọi là đa mốt (multimodal). Ngược lại, khi tất cả các giá trị xuất hiện đúng một lần, tập dữ liệu đó không có mốt. Nhờ tính chất này, mốt là đại lượng duy nhất trong ba đại lượng trung tâm có thể áp dụng cho cả biến phân loại lẫn biến định lượng.

Tuy nhiên, mốt có một hạn chế quan trọng: nó rất nhạy cảm với cách nhóm dữ liệu. Khi vẽ biểu đồ tần số, nhóm có cột cao nhất chính là nhóm chứa mốt, nhưng nếu thay đổi độ rộng của nhóm thì nhóm cao nhất có thể thay đổi theo. Do đó, khi mô tả phân phối của một biến định lượng, mốt thường được dùng để nhận dạng hình dạng tổng thể — chẳng hạn phân biệt phân phối một đỉnh với phân phối hai đỉnh — hơn là để đại diện cho một giá trị trung tâm chính xác.

Ký hiệu

\text{Mo}

hoặc

\hat{x}

Trực giác: Mốt giống như món ăn được gọi nhiều nhất trong thực đơn: không cần tính trung bình, chỉ cần nhìn vào tờ order nào dày nhất là biết ngay.

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1895Karl PearsonThucydides

Thuật ngữ "mode" được Karl Pearson đưa vào thống kê năm 1895, dùng để gọi vị trí ứng với tần số lớn nhất trên đường phân phối. Bản thân ý tưởng "lấy giá trị xuất hiện nhiều nhất làm giá trị đại diện" thì đã được dùng từ thời cổ đại.

Sử gia Thucydides kể rằng khi vây thành Plataea, quân Athens cần biết tường cao bao nhiêu để làm thang. Họ cho nhiều người lính cùng đếm số lớp gạch ở một đoạn tường chưa trát, rồi lấy con số được lặp lại nhiều nhất trong các lần đếm làm con số đáng tin, sau đó nhân với chiều cao mỗi viên gạch. Cách làm ấy chính là lấy giá trị có tần số lớn nhất để chống lại sai sót của từng người đếm. Mãi tới cuối thế kỷ 19, khi thống kê chuyển sang mô tả phân phối bằng đường cong, ý tưởng cũ mới được đặt cho một cái tên riêng và trở thành một đại lượng đo xu hướng trung tâm (central tendency) chính thức.

Thử nghiệm tương tác

Thêm vài số vào bộ dữ liệu — nhìn cột cao nhất nhảy chỗ

Hay hiểu sai

Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất, không phải số lần xuất hiện của nó.

Một tập dữ liệu có thể có hai mốt, nhiều mốt, hoặc không có mốt nào.

Trên biểu đồ tần số, mốt nằm trên trục ngang, không phải chiều cao của cột.

Phân bố hai mốt không đòi hỏi hai đỉnh cao bằng nhau.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một giáo viên khảo sát 30 học sinh trong lớp về số anh chị em ruột của mỗi em. Kết quả được ghi lại thành bảng tần số dưới đây, trong đó dòng trên là số anh chị em và dòng dưới là số học sinh tương ứng: 0 anh chị em có 4 học sinh, 1 có 11 học sinh, 2 có 8 học sinh, 3 có 4 học sinh, 4 có 2 học sinh, và 5 có 1 học sinh.

aTìm mốt, trung vị và số trung bình của bộ dữ liệu này.
bDựa vào ba số đo vừa tính, hãy mô tả dạng phân bố của dữ liệu.
cGiáo viên kết luận: "Một học sinh điển hình trong lớp có 1 anh chị em." Kết luận này dựa trên số đo nào, và nó có điểm gì cần lưu ý?

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · bài “Mô tả phân phối của một biến định lượng” — khoá AP Statistics

Cần trướctần số

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

trung bìnhmean

Khác nhau ở đâuTrung bình cộng tất cả giá trị rồi chia cho số quan sát, còn mốt chỉ là giá trị xuất hiện nhiều lần nhất và không cần phép tính nào.

Hay nhầm khiĐề cho bảng tần số có một giá trị lặp lại rất nhiều và hỏi về giá trị phổ biến nhất; học sinh vội tính trung bình trong khi câu chỉ hỏi mốt.

trung vịmedian

Khác nhau ở đâuTrung vị là giá trị đứng giữa khi xếp thứ tự dữ liệu, còn mốt là giá trị có tần số lớn nhất và có thể không tồn tại hoặc có nhiều hơn một.

Hay nhầm khiCâu hỏi chọn số đo trung tâm cho phân phối lệch: đáp án chuẩn là trung vị, nhưng học sinh hay chọn mốt vì thấy đó là đỉnh cao nhất của đồ thị.

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 22, 60, 154.

Vì sao mang đúng cái tên này? Trước Pearson, đỉnh của đường cong phân phối được gọi dài dòng là "tung độ cực đại" (maximum ordinate) — tức điểm cao nhất của đồ thị tần số. Pearson dùng hai cách gọi này thay thế cho nhau, và trong một chú thích ông viết rằng ông thấy tiện khi dùng chữ "mode" để chỉ hoành độ (abscissa) ứng với tung độ có tần số lớn nhất. Nói cách khác, cái tên không mô tả chiều cao của đỉnh mà mô tả vị trí của đỉnh trên trục giá trị: hỏi "mode bằng bao nhiêu" là hỏi đỉnh nằm ở đâu, chứ không hỏi đỉnh cao bao nhiêu. Nhờ vậy mới có các tính từ phái sinh quen thuộc trong đề thi như phân phối một đỉnh (unimodal) hay hai đỉnh (bimodal). Tên tiếng Việt "mốt" là mượn thẳng âm của chữ mode, cũng chính là chữ đã vào tiếng Việt với nghĩa "thời trang, thứ đang thịnh hành" — một trùng hợp khá đắt, vì giá trị mốt đúng là giá trị đang "được chuộng" nhất trong mẫu.

Thêm vài số vào bộ dữ liệu — nhìn cột cao nhất nhảy chỗ

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mẹo phòng thi

Với biến định tính (categorical variable), mốt là số đo trung tâm duy nhất dùng được.

Máy tính không trả về mốt trong 1-Var Stats — phải tự đếm.

Thấy hai đỉnh thì phải viết chữ "bimodal" và giải thích nó gợi ý điều gì.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

Kiểm tra tổng tần số trước đã, vì mọi phép tính sau đều dựa vào nó:

4+11+8+4+2+1=30

, đúng bằng sĩ số lớp. Mốt là giá trị xuất hiện nhiều lần nhất, nên ta chỉ cần dò xem tần số nào lớn nhất. Tần số lớn nhất là

11

, ứng với giá trị

1

, do đó mốt bằng

1

anh chị em. Chỉ có một đỉnh duy nhất nên phân bố này là phân bố đơn mốt (unimodal).

2Bước 2: Với

n=30

là số chẵn, trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 15 và thứ 16 khi sắp xếp tăng dần. Ta cộng dồn tần số: đến giá trị

0

được 4 học sinh, đến giá trị

1

được

4+11=15

học sinh, đến giá trị

2

được

15+8=23

học sinh. Vậy giá trị thứ 15 là

1

còn giá trị thứ 16 là

2

, suy ra trung vị bằng

\frac{1+2}{2}=1{,}5

3Bước 3: Số trung bình tính theo công thức có trọng số

\bar{x}=\frac{\sum x_i f_i}{n}

, trong đó

x_i

là số anh chị em và

f_i

là số học sinh tương ứng. Thay số:

\sum x_i f_i = 0(4)+1(11)+2(8)+3(4)+4(2)+5(1)=0+11+16+12+8+5=52

. Do đó

\bar{x}=\frac{52}{30}\approx 1{,}73

anh chị em.

4Bước 4: So sánh ba số đo: mốt

=1

, trung vị

=1{,}5

, số trung bình

\approx 1{,}73

. Thứ tự tăng dần này là dấu hiệu quen thuộc của một phân bố lệch phải, bởi vài học sinh có 4 hoặc 5 anh chị em kéo số trung bình lên phía trên trong khi mốt vẫn đứng yên tại đỉnh bên trái. Mốt không bị các giá trị lớn kéo đi vì nó chỉ đếm xem đâu là giá trị phổ biến nhất, chứ không cộng độ lớn của từng quan sát vào.

5Bước 5: Câu nói của giáo viên chính là đang dùng mốt làm số đo "điển hình". Cách nói đó hợp lý ở chỗ 11 trên 30 học sinh, tức khoảng 37%, đúng là có 1 anh chị em — không có giá trị nào phổ biến hơn. Tuy nhiên cần cẩn thận: gần hai phần ba lớp lại không có 1 anh chị em, và mốt hoàn toàn bỏ qua thông tin về đuôi phải, nơi có những em 4 hay 5 anh chị em. Vì vậy khi bài thi yêu cầu mô tả tâm của phân bố lệch, nên nêu kèm trung vị chứ đừng chỉ nêu mốt.

Bộ dữ liệu có mốt bằng 1 anh chị em, trung vị bằng 1,5 và số trung bình xấp xỉ 1,73 anh chị em. Vì mốt < trung vị < số trung bình, phân bố số anh chị em của 30 học sinh này có một đỉnh duy nhất tại 1 và lệch phải nhẹ. Kết luận của giáo viên dựa trên mốt và đúng theo nghĩa "giá trị phổ biến nhất", nhưng nó chỉ mô tả nhóm 11 học sinh đông nhất chứ không phản ánh được phần đuôi các gia đình đông con, nên với dữ liệu lệch thì trung vị 1,5 là số đo tâm đáng tin hơn.

2Ví dụ 2/2

Bộ phận dịch vụ máy tính của một trường đại học lớn khảo sát ngẫu nhiên 100 sinh viên về số giờ mỗi tuần các em sử dụng phòng máy của trường. Kết quả được biểu diễn bằng biểu đồ tần số ghép nhóm với các nhóm rộng 2 giờ, tần số theo thứ tự từ nhóm

[0;2)

đến nhóm

[18;20)

lần lượt là: 8, 18, 12, 5, 4, 9, 22, 14, 6, 2.

aMô tả dạng của phân bố, có nêu rõ số mốt và các đặc điểm bất thường.
bƯớc lượng số trung bình và trung vị của mẫu, rồi giải thích vì sao hai số đo này không mô tả tốt "một sinh viên điển hình" ở đây.
cBiết mẫu gồm 45 sinh viên ngành sinh học và 55 sinh viên ngành kinh doanh, hãy đề xuất cách trình bày dữ liệu hợp lý hơn.

1Bước 1: Trước hết kiểm tra tổng tần số:

8+18+12+5+4+9+22+14+6+2=100

, khớp với cỡ mẫu. Khi dữ liệu đã ghép nhóm, ta không đọc được mốt là một con số cụ thể mà chỉ xác định được nhóm chứa mốt (modal class), tức nhóm có tần số cao nhất. Ở đây có hai nhóm nhô lên rõ rệt so với các nhóm lân cận: nhóm

[2;4)

với 22 sinh viên. Do đó phân bố có hai mốt (bimodal).

2Bước 2: Giữa hai đỉnh đó là một vùng trũng: các nhóm

[6;8)

và

[8;10)

chỉ có 5 và 4 sinh viên. Vùng trũng này chia dữ liệu thành hai cụm tách biệt, một cụm dùng phòng máy khoảng 2–6 giờ mỗi tuần và một cụm dùng khoảng 12–16 giờ mỗi tuần. Vì phân bố có hai đỉnh nên ta không mô tả nó là lệch trái hay lệch phải; mô tả đúng là hai mốt với một khoảng trống ở giữa, không có giá trị ngoại lai (outlier) nào tách hẳn ra.

3Bước 3: Để ước lượng số trung bình từ bảng ghép nhóm, ta lấy điểm giữa mỗi nhóm làm đại diện:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19

. Khi đó

\sum x_i f_i = 1(8)+3(18)+5(12)+7(5)+9(4)+11(9)+13(22)+15(14)+17(6)+19(2)

, tức

8+54+60+35+36+99+286+210+102+38=928

. Vậy

\bar{x}\approx\frac{928}{100}=9{,}28

giờ mỗi tuần.

4Bước 4: Với trung vị, ta cộng dồn tần số: 8, 26, 38, 43, 47, 56, 78, 92, 98, 100. Giá trị thứ 50 và 51 rơi vào nhóm

[10;12)

, nên trung vị nằm trong khoảng từ 10 đến 12 giờ, ước lượng khoảng

10{,}7

giờ. Điều đáng nói là cả

9{,}28

lẫn

10{,}7

đều rơi đúng vào vùng trũng giữa hai đỉnh, nơi rất ít sinh viên thực sự đứng. Nói cách khác, "trung bình khoảng 9 giờ" mô tả một sinh viên hầu như không tồn tại, trong khi hai mốt lại chỉ thẳng vào hai nhóm sinh viên có thật.

5Bước 5: Hai đỉnh thường là dấu hiệu mẫu đang trộn lẫn hai tổng thể con khác nhau. Ở đây rất có thể sinh viên kinh doanh chỉ ghé phòng máy vài giờ mỗi tuần, còn sinh viên sinh học phải chạy phần mềm phân tích nên ở lại lâu hơn nhiều. Vì vậy cách trình bày hợp lý là tách dữ liệu theo ngành rồi vẽ hai biểu đồ tần số ghép nhóm cùng thang đo, hoặc dùng hai biểu đồ hộp song song (parallel boxplots), sau đó so sánh tâm và độ phân tán của từng nhóm bằng ngôn ngữ so sánh.

Phân bố số giờ dùng phòng máy của 100 sinh viên có hai mốt, với nhóm chứa mốt là $[2;4)$ và $[12;14)$ , cùng một khoảng trũng quanh 6–10 giờ chia mẫu thành hai cụm rõ rệt. Số trung bình khoảng 9,28 giờ và trung vị khoảng 10,7 giờ đều nằm lọt trong vùng trũng đó, nên chúng không đại diện cho bất kỳ nhóm sinh viên thực nào; chính hai mốt mới cho biết có hai kiểu sử dụng phòng máy khác nhau. Do mẫu gồm hai ngành học, nên tách riêng sinh viên sinh học và sinh viên kinh doanh rồi so sánh bằng biểu đồ hộp song song sẽ mô tả dữ liệu trung thực hơn nhiều so với một số đo tâm duy nhất cho cả 100 em.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.