Đang tải bài học…

AP Statistics

trung tâm

center

Còn gọi: giá trị trung tâm

Trung tâm (center) của một phân phối là giá trị đại diện cho vị trí 'giữa' của toàn bộ dữ liệu, thường được đo bằng trung bình hoặc trung vị.

Khi mô tả một phân phối dữ liệu định lượng, thống kê học yêu cầu xem xét ít nhất bốn đặc trưng: hình dạng, trung tâm, độ biến thiên, và các đặc điểm bất thường như giá trị ngoại lai (outlier). Trong số đó, trung tâm đóng vai trò neo đậu — nó cho biết dữ liệu tập trung quanh giá trị nào và giúp người đọc hình dung mức điển hình của tập số liệu.

Có hai thước đo trung tâm phổ biến. Trung bình $\bar{x}$ được tính bằng:

$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$

trong đó $x_i$ là từng giá trị quan sát và $n$ là cỡ mẫu. Công thức này lấy tổng toàn bộ giá trị rồi chia đều, nên mọi quan sát đều được đếm với trọng số như nhau. Vì vậy, trung bình rất nhạy với các giá trị cực đoan: chỉ một quan sát quá lớn hoặc quá nhỏ cũng có thể kéo $\bar{x}$ lệch khỏi phần đông dữ liệu. Ngược lại, trung vị — giá trị chia tập số liệu đã sắp xếp thành hai nửa bằng nhau — bền vững hơn trước những giá trị ngoại lai và thường được ưu tiên khi phân phối lệch.

Việc chọn đúng thước đo trung tâm phụ thuộc vào hình dạng phân phối. Khi phân phối gần đối xứng và không có giá trị ngoại lai rõ rệt, trung bình và trung vị xấp xỉ nhau, và cả hai đều phản ánh tốt vị trí trung tâm. Tuy nhiên, khi phân phối lệch phải — chẳng hạn thu nhập hộ gia đình — trung bình bị đẩy về phía đuôi dài hơn so với trung vị. Nhờ đó, so sánh hai giá trị này có thể giúp nhận ra ngay hướng lệch của phân phối mà không cần nhìn đồ thị. Trên đề thi AP Statistics, mỗi khi so sánh hai phân phối, thí sinh cần nêu rõ trung tâm của phân phối nào lớn hơn và lý giải bằng ngữ cảnh cụ thể của bài toán.

Ký hiệu

• $\bar{x}$ (trung bình mẫu)
• $M$ hoặc $\tilde{x}$ (trung vị)

Trực giác: Trung tâm của một phân phối giống như điểm cân bằng của một chiếc bập bênh: nó cho biết dữ liệu 'ngồi' chủ yếu ở đâu trên trục số.

Công thức

\bar{x}=\htmlClass{fp-1}{\frac{\htmlClass{fp-0}{\sum x_i}}{n}}

Dùng khi dữ liệu định lượng không có giá trị ngoại lai (outlier) quá lớn; nếu phân phối lệch mạnh hoặc có giá trị ngoại lai, trung vị (median) thường mô tả trung tâm (center) chính xác hơn.

Trong đó

\bar{x}

trung bình mẫu (sample mean)

x_i

giá trị thứ i trong mẫu

n

kích thước mẫu — số quan sát

\sum

tổng lấy trên mọi quan sát từ i=1 đến n

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1599Edward WrightJohn Graunt

Dấu vết sớm nhất mà nguồn ghi lại được về ý tưởng đo trung tâm là số trung vị (median), xuất hiện năm 1599 trong cuốn sách hàng hải "Certaine Errors in Navigation" của Edward Wright, khi ông bàn cách xác định vị trí từ nhiều số đo lệch nhau.

Người đi biển thế kỷ 16 đo vị trí nhiều lần và nhận về nhiều con số khác nhau, nhưng con tàu thì chỉ ở một chỗ. Trong phần bàn về việc xác định vị trí của cuốn sách xuất bản năm 1599, Edward Wright đã nêu ý tưởng chọn ra một giá trị nằm giữa để đại diện cho cả loạt số đo — mầm mống của số trung vị. Hơn nửa thế kỷ sau, năm 1663, John Graunt công bố "Natural and Political Observations upon the Bills of Mortality", công trình được xem là tài liệu thống kê sớm nhất ở châu Âu, và nhu cầu tóm tắt những bảng số dài dằng dặc về dân số ngày càng lớn.

Thử nghiệm tương tác

Kéo một cốc cà phê ra thật xa — nhìn mốc trung bình trượt theo còn trung vị đứng yên

Hay hiểu sai

Trung tâm không phải lúc nào cũng là trung bình.

Trung vị kháng nhiễu, trung bình thì không.

Trung tâm của phân bố mẫu không đổi khi cỡ mẫu đổi.

Trung bình của biến ngẫu nhiên không phải giá trị bạn sẽ quan sát được.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một máy pha cà phê trong căng tin của trường được kiểm tra về lượng caffeine trong mỗi cốc 16 ounce. Người ta chọn ngẫu nhiên 11 cốc pha vào những thời điểm khác nhau trong tháng và đo được lượng caffeine (đơn vị mg) như sau: 120, 128, 132, 135, 138, 140, 142, 145, 150, 158, 232.

aTính trung bình và trung vị của mẫu số liệu trên.
bKiểm tra xem giá trị 232 mg có phải là giá trị bất thường theo quy tắc 1,5·IQR hay không.
cNên dùng số đo nào để mô tả trung tâm của phân bố này? Giải thích trong ngữ cảnh bài toán.

1Bước 1: Trước hết ta cộng toàn bộ 11 giá trị:

120+128+132+135+138+140+142+145+150+158+232 = 1620

. Do đó trung bình của mẫu là

\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{1620}{11} \approx 147{,}27

mg. Con số này là "điểm cân bằng" của toàn bộ số liệu, nghĩa là mọi quan trắc đều góp phần vào kết quả, kể cả những giá trị nằm rất xa phần đông.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · bài “Mô tả phân phối của một biến định lượng” — khoá AP Statistics

Dẫn tớitóm tắt năm số

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

độ phân tánspread

Khác nhau ở đâuTrung tâm xác định vị trí điển hình của dữ liệu, còn độ phân tán đo mức độ dao động của dữ liệu quanh vị trí đó

Hay nhầm khiđề hỏi 'mô tả phân phối' — học sinh hay chỉ nêu trung tâm mà quên báo cáo độ phân tán và hình dạng

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 22, 98, 120.

Vì sao mang đúng cái tên này? Bản thân ngành thống kê mang cái tên rất xa với toán học: chữ "statistics" bắt nguồn từ tiếng Latin "status" nghĩa là tình trạng, về sau chuyển thành "nhà nước", và từ cụm "statisticum collegium" nghĩa là hội đồng nhà nước. Nhà chính trị học người Đức Gottfried Achenwall đã đặt ra từ "Statistik" năm 1749 để chỉ việc phân tích dữ liệu về quốc gia, còn Sir John Sinclair mới là người đưa từ này vào tiếng Anh cùng bộ "Statistical Account of Scotland" trong thập niên 1790. Nhờ đó, ta hiểu vì sao các phép đo tóm tắt lại ra đời sớm đến vậy: nhà nước cần một con số duy nhất nói thay cho hàng vạn con số thu thập được về dân số và kinh tế. Ý niệm "trung tâm" chính là câu trả lời cho câu hỏi ấy — chọn một giá trị đại diện đứng ở giữa, thay mặt cả tập dữ liệu. Sang đầu thế kỷ 19, phạm vi của ngành mở rộng ra mọi loại dữ liệu chứ không còn bó hẹp trong việc nước, và các thước đo trung tâm theo đó trở thành công cụ chung của mọi lĩnh vực.

Kéo một cốc cà phê ra thật xa — nhìn mốc trung bình trượt theo còn trung vị đứng yên

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mẹo phòng thi

Mô tả phân bố phải đủ bốn phần: hình dạng, trung tâm, độ biến thiên, giá trị bất thường.

Ở câu suy luận, hãy tách bạch trung tâm của dữ liệu và trung tâm của phân bố mẫu.

Gặp câu so sánh hai mô phỏng, đọc kỹ đâu là số lần thử và đâu là cỡ mẫu.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

2Bước 2: Vì dãy số đã được sắp xếp tăng dần và

n = 11

là số lẻ, trung vị nằm đúng ở vị trí thứ

\frac{11+1}{2} = 6

, tức là

M = 140

mg. Như vậy trung bình lớn hơn trung vị khoảng 7 mg, một dấu hiệu cho thấy phân bố bị kéo về phía các giá trị lớn, hay nói cách khác là lệch phải.

3Bước 3: Để trả lời ý (b), ta tìm hai tứ phân vị. Nửa dưới gồm 120, 128, 132, 135, 138 nên

Q_1 = 132

; nửa trên gồm 142, 145, 150, 158, 232 nên

Q_3 = 150

. Từ đó khoảng tứ phân vị (interquartile range) là

\mathrm{IQR} = 150 - 132 = 18

mg.

4Bước 4: Áp dụng quy tắc quen thuộc, ngưỡng trên để nhận diện giá trị bất thường là

Q_3 + 1{,}5\,\mathrm{IQR} = 150 + 1{,}5(18) = 177

mg. Vì

232 > 177

nên cốc cà phê chứa 232 mg caffeine là một giá trị ngoại lai (outlier) phía trên. Ngược lại, ngưỡng dưới

Q_1 - 1{,}5\,\mathrm{IQR} = 132 - 27 = 105

mg không loại bỏ giá trị nhỏ nhất là 120 mg, nên phân bố chỉ có bất thường ở một phía.

5Bước 5: Cuối cùng ta so sánh hai số đo trung tâm dưới ảnh hưởng của giá trị 232. Trung vị chỉ phụ thuộc vào vị trí của quan trắc nên dù cốc bất thường kia có tới 300 hay 400 mg thì

M

vẫn bằng 140; ngược lại, trung bình bị kéo lên hẳn 7 mg chỉ vì một cốc duy nhất. Vì vậy trung vị là số đo chống chịu (resistant) và phù hợp hơn khi phân bố lệch hoặc có giá trị ngoại lai.

Mẫu 11 cốc cà phê có trung bình $\bar{x} \approx 147{,}27$ mg và trung vị $M = 140$ mg; giá trị 232 mg vượt ngưỡng 177 mg nên là một giá trị bất thường phía trên. Do phân bố lệch phải và có giá trị bất thường này, nên dùng trung vị 140 mg để mô tả trung tâm: một cốc cà phê 16 ounce điển hình pha từ máy này chứa khoảng 140 mg caffeine, còn trung bình 147,27 mg đã bị đẩy lên cao hơn mức tiêu biểu vì một cốc đặc bất thường.

2Ví dụ 2/2

Trong một khảo sát gần đây, tỉ lệ người trưởng thành chọn truyện trinh thám là loại sách yêu thích nhất là

p = 0{,}325

. Người ta thực hiện hai mô phỏng cho phân bố mẫu của tỉ lệ mẫu (sampling distribution of a sample proportion) lấy từ tổng thể có tỉ lệ đúng bằng 0,325. Mô phỏng A gồm 1.500 lần lấy mẫu, mỗi lần cỡ mẫu

n = 100

. Mô phỏng B gồm 2.000 lần lấy mẫu, mỗi lần cỡ mẫu

n = 50

aDự đoán trung tâm của hai phân bố mô phỏng và giải thích vì sao chúng gần như bằng nhau.
bTính độ lệch chuẩn lý thuyết của tỉ lệ mẫu trong mỗi mô phỏng và cho biết phân bố nào phân tán hơn.

1Bước 1: Với mọi cỡ mẫu, tỉ lệ mẫu là một ước lượng không chệch (unbiased) của tỉ lệ tổng thể, nghĩa là

\mu_{\hat{p}} = p

. Áp dụng vào bài toán, cả hai mô phỏng đều lấy mẫu từ tổng thể có

p = 0{,}325

, nên trung tâm của cả hai đống chấm mô phỏng đều xấp xỉ 0,325. Điều đáng lưu ý là cỡ mẫu 100 hay 50 không hề làm dịch chuyển trung tâm; nó chỉ quyết định các giá trị

\hat{p}

bám sát 0,325 đến mức nào.

2Bước 2: Số lần lấy mẫu (1.500 so với 2.000) cũng không đổi vị trí trung tâm mà chỉ làm hình dạng mô phỏng mượt hơn và gần với phân bố lý thuyết hơn. Vì vậy khi đề hỏi so sánh "center" của hai mô phỏng, câu trả lời đúng là chúng gần như bằng nhau, chứ không phải mô phỏng nhiều lần hơn thì trung tâm lớn hơn.

3Bước 3: Sang ý (b), ta dùng công thức

\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}

, trong đó tử số

p(1-p) = 0{,}325 \times 0{,}675 = 0{,}219375

. Với mô phỏng A:

\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{0{,}219375}{100}} = \sqrt{0{,}00219375} \approx 0{,}0468

4Bước 4: Với mô phỏng B, chỉ có mẫu số thay đổi:

\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{0{,}219375}{50}} = \sqrt{0{,}0043875} \approx 0{,}0662

. Vì cỡ mẫu giảm một nửa nên độ lệch chuẩn (standard deviation) tăng lên gấp

\sqrt{2} \approx 1{,}41

lần, đúng như quan hệ nghịch với

\sqrt{n}

trong công thức.

5Bước 5: Ghép hai kết quả lại, ta thấy trung tâm và độ phân tán là hai đặc trưng độc lập của cùng một phân bố. Hai mô phỏng cùng nhắm vào một đích 0,325, nhưng mô phỏng B với cỡ mẫu nhỏ hơn thì các giá trị

\hat{p}

tản ra xa đích hơn.

6Bước 6: Khi trình bày bài thi, hãy nhớ nêu rõ cả hai ý: trung tâm xấp xỉ bằng nhau vì cùng

p

, còn độ phân tán khác nhau vì khác

n

. Nhiều thí sinh mất điểm do chỉ so sánh một trong hai đặc trưng, hoặc do nhầm số lần mô phỏng với cỡ mẫu.

Trung tâm của cả hai phân bố mô phỏng đều xấp xỉ 0,325 vì tỉ lệ mẫu là ước lượng không chệch của tỉ lệ tổng thể, bất kể cỡ mẫu hay số lần lấy mẫu. Tuy nhiên, mô phỏng A có $\sigma_{\hat{p}} \approx 0{,}0468$ còn mô phỏng B có $\sigma_{\hat{p}} \approx 0{,}0662$ , nên các tỉ lệ mẫu về sở thích truyện trinh thám trong mô phỏng B phân tán rộng hơn quanh cùng một trung tâm 0,325.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.