Đang tải bài học…

AP Statistics

độ phân tán

spread

Độ phân tán là đại lượng mô tả mức độ các giá trị trong một phân phối trải rộng ra xa nhau so với trung tâm.

Khi mô tả một phân phối, người ta không chỉ quan tâm đến vị trí trung tâm mà còn cần biết các giá trị nằm gần hay xa nhau đến mức nào. Độ phân tán chính là thước đo cho sự trải rộng đó. Một phân phối có độ phân tán lớn khi các quan sát nằm rải rác trên một khoảng rộng; ngược lại, độ phân tán nhỏ cho thấy các giá trị tập trung chặt quanh trung tâm.

Trong thực hành, độ phân tán được lượng hóa bằng nhiều thước đo khác nhau tùy ngữ cảnh. Khoảng biến thiên $R = x_{\max} - x_{\min}$ là thước đo đơn giản nhất, phản ánh khoảng cách từ giá trị nhỏ nhất đến giá trị lớn nhất của tập dữ liệu. Tuy nhiên, vì $R$ chỉ dựa trên hai điểm cực trị nên nó rất nhạy với giá trị bất thường; do đó, khoảng tứ phân vị $\text{IQR} = Q_3 - Q_1$ thường được dùng kèm với đồ thị hộp để mô tả phần giữa của phân phối, loại bỏ ảnh hưởng của các giá trị cực đoan ở hai đuôi.

Ngược lại, khi phân phối có dạng đối xứng hoặc xấp xỉ chuẩn, độ lệch chuẩn (standard deviation) $s = \sqrt{\dfrac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$ là thước đo phân tán được ưu tiên hơn, trong đó $\bar{x}$ là trung bình mẫu và $n$ là cỡ mẫu. Công thức này đo trung bình khoảng cách bình phương từ mỗi quan sát đến trung bình, rồi lấy căn để đưa kết quả về cùng đơn vị với dữ liệu gốc. Vì vậy, độ lệch chuẩn mang đầy đủ thông tin của toàn bộ tập dữ liệu, không chỉ hai điểm đầu cuối.

Ký hiệu

• $R$ : khoảng biến thiên
• $\text{IQR} = Q_3 - Q_1$
• $s$ : độ lệch chuẩn mẫu

Trực giác: Hai lớp học cùng điểm trung bình 7, nhưng lớp A hầu hết đạt từ 6 đến 8, còn lớp B có người được 2 lẫn người được 10 — độ phân tán của lớp B lớn hơn nhiều dù trung tâm bằng nhau.

Thử nghiệm tương tác

Kéo các chấm trên trục số — nhìn hai số đo tâm và hai số đo phân tán phản ứng khác nhau thế nào

Hay hiểu sai

Tăng cỡ mẫu làm hẹp độ phân tán, không làm dịch chuyển trung tâm.

Độ lệch chuẩn của dữ liệu khác với sai số chuẩn (standard error) của trung bình mẫu.

Điểm tản rộng dần ở một đầu là vi phạm điều kiện, không phải quan hệ yếu.

Đổi vai trò hai biến không làm đổi chiều hay độ mạnh của mối liên hệ.

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một nhà máy dùng hai dây chuyền A và B để đóng gói cà phê, khối lượng ghi trên bao bì là 500 gram. Kiểm tra viên lấy ngẫu nhiên 9 gói từ mỗi dây chuyền và cân được kết quả (đơn vị: gram), đã sắp xếp tăng dần: Dây chuyền A: 495, 497, 498, 499, 500, 501, 502, 503, 505 Dây chuyền B: 488, 492, 495, 498, 500, 502, 505, 508, 512

aTính trung bình, trung vị, khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mỗi dây chuyền.
bTính độ lệch chuẩn mẫu của mỗi dây chuyền.
cSo sánh trung tâm và độ phân tán của hai phân bố, rồi cho biết dây chuyền nào đáng tin cậy hơn đối với khách hàng mua gói 500 gram.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · bài “Mô tả phân phối của một biến định lượng” — khoá AP Statistics

Cần trướcbiến định lượng

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

độ lệch chuẩnstandard deviation

Khác nhau ở đâuĐộ phân tán là khái niệm tổng quát về sự biến động của dữ liệu, còn độ lệch chuẩn là một thước đo cụ thể tính bằng công thức toán học

Hay nhầm khiđề hỏi 'so sánh độ phân tán của hai phân phối' nhưng học sinh chỉ tính độ lệch chuẩn mà quên các thước đo khác như khoảng biến thiên hay khoảng tứ phân vị

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 96, 98, 135.

Kéo các chấm trên trục số — nhìn hai số đo tâm và hai số đo phân tán phản ứng khác nhau thế nào

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mô tả phân bố phải đủ bốn phần: hình dạng, trung tâm, độ phân tán, giá trị ngoại lai (outlier).

Có giá trị ngoại lai hoặc phân bố lệch thì báo khoảng tứ phân vị (interquartile range), không báo độ lệch chuẩn.

Câu hỏi về phân bố mẫu, hãy viết thẳng công thức $\sigma/\sqrt{n}$ ra giấy.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

Bước 1: Trước hết ta tìm trung tâm của hai phân bố. Tổng khối lượng của cả hai mẫu đều bằng

4500

gram, nên

\bar{x}_A=\bar{x}_B=4500/9=500

gram. Vì mỗi mẫu có

n=9

giá trị đã sắp xếp, trung vị là giá trị thứ 5, tức là

M_A=M_B=500

gram. Như vậy hai dây chuyền có trung tâm hoàn toàn trùng nhau, và mọi khác biệt còn lại phải nằm ở chỗ khác.

2Bước 2: Chỗ khác đó chính là độ phân tán. Khoảng biến thiên (range) của A là

505-495=10

gram, còn của B là

512-488=24

gram. Để đo phần lõi giữa của dữ liệu, ta tìm tứ phân vị: với A,

Q_1=(497+498)/2=497{,}5

và

Q_3=(502+503)/2=502{,}5

nên khoảng tứ phân vị (interquartile range) là

IQR_A=5

gram; với B,

Q_1=(492+495)/2=493{,}5

và

Q_3=(505+508)/2=506{,}5

nên

IQR_B=13

gram. Cả hai thước đo đều cho cùng một thông điệp: dữ liệu của B trải rộng hơn hẳn.

3Bước 3: Thước đo thứ ba là độ lệch chuẩn (standard deviation), tính từ các độ lệch so với trung bình. Với A, các độ lệch là

-5,-3,-2,-1,0,1,2,3,5

, tổng bình phương bằng

78

, do đó

s_A=\sqrt{78/8}=\sqrt{9{,}75}\approx 3{,}12

gram. Với B, các độ lệch là

-12,-8,-5,-2,0,2,5,8,12

, tổng bình phương bằng

474

, nên

s_B=\sqrt{474/8}=\sqrt{59{,}25}\approx 7{,}70

gram. Độ lệch chuẩn của B lớn gấp khoảng 2,5 lần của A, khớp với những gì khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị đã báo.

4Bước 4: Cuối cùng ta diễn giải các con số trở lại bối cảnh, vì bài thi luôn chấm phần này. Hai dây chuyền cho khối lượng trung bình và trung vị như nhau, đều đúng 500 gram, nên xét về trung tâm thì không phân biệt được. Tuy nhiên B phân tán rộng hơn nhiều, nghĩa là gói cà phê từ B lệch khỏi 500 gram mạnh hơn theo cả hai chiều: khách hàng có thể nhận gói chỉ 488 gram, trong khi gói nhẹ nhất của A vẫn còn 495 gram. Nhân tiện, không mẫu nào có giá trị ngoại lai (outlier) vì mọi số liệu đều nằm trong khoảng

Q_1-1{,}5\,IQR

đến

Q_3+1{,}5\,IQR

, nên chênh lệch trên là đặc trưng thật của quy trình chứ không do một điểm dị thường gây ra.

Hai phân bố có cùng trung tâm ( $\bar{x}=M=500$ gram) nhưng khác nhau rõ về độ phân tán: dây chuyền A có khoảng biến thiên 10 gram, $IQR=5$ gram, $s\approx 3{,}12$ gram, còn dây chuyền B có khoảng biến thiên 24 gram, $IQR=13$ gram, $s\approx 7{,}70$ gram. Vì vậy A ổn định hơn và đáng tin cậy hơn với khách hàng: tuy trung bình cả hai đều đạt 500 gram, gói cà phê lấy từ A hầu như luôn sát mức ghi trên bao bì, trong khi gói lấy từ B có thể thiếu hoặc thừa hơn 10 gram.

2Ví dụ 2/2

Trong 19 năm quan sát ở một vùng, người ta ghi lại phần trăm thay đổi của quần thể sói (biến

y

) và mật độ nai sừng tấm tính bằng số con trên mỗi kilômét vuông (biến

x

). Biểu đồ phân tán cho thấy mối liên hệ âm; ngoài ra, các điểm nằm sát đường thẳng ở vùng mật độ nai thấp nhưng tản rộng dần ra ở vùng mật độ nai cao. Đường hồi quy bình phương tối thiểu được báo cáo là

\hat{y}=18-25x

aGiải thích ý nghĩa của hệ số góc trong ngữ cảnh bài toán.
bMột năm có mật độ nai là 0,6 con/km² và phần trăm thay đổi quần thể sói thực tế là $-12$ %. Tính giá trị dự đoán và phần dư của năm đó.
cNhận xét về hình dạng độ phân tán của các điểm ảnh hưởng thế nào đến việc suy luận thống kê cho hệ số góc.

1Bước 1: Hệ số góc của đường hồi quy luôn được đọc theo kiểu "tăng một đơn vị của

x

thì

\hat{y}

thay đổi bao nhiêu". Ở đây hệ số góc bằng

-25

, nên khi mật độ nai tăng thêm 1 con trên mỗi kilômét vuông, mô hình dự đoán phần trăm thay đổi của quần thể sói giảm đi 25 điểm phần trăm. Dấu âm phù hợp với mô tả rằng mối liên hệ là âm.

2Bước 2: Với

x=0{,}6

, ta thay vào phương trình:

\hat{y}=18-25(0{,}6)=18-15=3

. Mô hình dự đoán quần thể sói năm đó tăng 3%. Trong khi đó số liệu thực tế là

-12

%, nên phần dư (residual) bằng

y-\hat{y}=-12-3=-15

điểm phần trăm. Phần dư âm và khá lớn cho thấy tại năm này đường hồi quy dự đoán cao hơn thực tế rất nhiều.

3Bước 3: Chính độ lớn của phần dư đó dẫn sang ý (c). Việc các điểm tản rộng dần khi mật độ nai tăng có nghĩa là độ phân tán của

y

quanh đường hồi quy không giữ nguyên mà phình ra theo

x

; nếu vẽ biểu đồ phần dư, ta sẽ thấy một hình phễu chứ không phải một dải bề ngang đều. Đây đúng là dấu hiệu vi phạm điều kiện độ lệch chuẩn không đổi (equal standard deviation condition) của mô hình hồi quy tuyến tính.

4Bước 4: Hệ quả thực tế là gì? Sai số chuẩn của hệ số góc được tính dựa trên giả định rằng mọi giá trị

x

đều có cùng mức dao động, nên khi giả định này hỏng, khoảng tin cậy và giá trị

p

cho hệ số góc không còn đáng tin cậy nữa. Ngoài ra, dự đoán ở vùng mật độ nai cao kém chính xác hơn nhiều so với dự đoán ở vùng mật độ nai thấp, dù cả hai đều dùng chung một đường thẳng.

Hệ số góc $-25$ nghĩa là cứ thêm 1 con nai trên mỗi kilômét vuông thì phần trăm thay đổi quần thể sói được dự đoán giảm 25 điểm phần trăm. Tại $x=0{,}6$ , giá trị dự đoán là $3\%$ còn phần dư là $-15$ điểm phần trăm, tức mô hình đã dự đoán cao hơn thực tế 15 điểm. Vì độ phân tán của các điểm tăng dần theo mật độ nai, điều kiện độ lệch chuẩn không đổi bị vi phạm, nên kết quả kiểm định hay khoảng tin cậy cho hệ số góc cần được xem xét thận trọng, và dự đoán ở vùng mật độ nai cao sẽ kém chính xác hơn.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.