AP Statistics

tần số

frequency

Còn gọi: count · số đếm · counts · tần suất tuyệt đối · số trường hợp · frequency count

Tần số (frequency) là số lần một giá trị hoặc một nhóm giá trị xuất hiện trong tập dữ liệu, và nó đo mức độ phổ biến của từng trường hợp trong mẫu.

Khi phân tích dữ liệu, người ta thường gom các giá trị thành từng nhóm và đếm xem có bao nhiêu quan sát rơi vào mỗi nhóm. Chẳng hạn, nếu một lớp học có 30 học sinh và 8 em đạt điểm từ 8 đến 10, thì tần số của nhóm điểm "8–10" là 8. Nhờ đó, ta có thể xây dựng bảng phân phối tần số (frequency distribution) để tóm tắt toàn bộ tập dữ liệu một cách gọn gàng.

Tuy nhiên, tần số tuyệt đối đôi khi không đủ để so sánh giữa các tập dữ liệu có kích thước khác nhau. Vì vậy, người ta thường chia tần số cho tổng số quan sát để thu được tần suất tương đối (relative frequency), ký hiệu là $f_i/n$ , trong đó $f_i$ là tần số của nhóm thứ $i$ và $n$ là tổng số quan sát. Công thức này cho biết tỉ lệ phần trăm của mỗi nhóm trong toàn bộ mẫu.

Ngược lại, nếu cộng dồn tần số từ nhóm đầu tiên đến nhóm hiện tại, ta được tần số tích lũy (cumulative frequency), giúp trả lời câu hỏi "có bao nhiêu quan sát nằm dưới một ngưỡng nhất định". Do đó, tần số không chỉ là con số đếm đơn thuần mà còn là nền tảng để xây dựng biểu đồ tần số (histogram) và các đồ thị tích lũy, từ đó mô tả hình dạng và xu hướng của phân phối dữ liệu.

Ký hiệu

f_i

— tần số của nhóm hoặc giá trị thứ

i

Trực giác: Giống như đếm xem trong giỏ có bao nhiêu quả táo đỏ, bao nhiêu quả táo xanh — mỗi loại một con số cho biết loại nào nhiều hơn.

Công thức

f_i

Dùng khi cần biết có bao nhiêu quan sát rơi vào một nhóm cụ thể trong bảng phân phối tần số.

Trong đó

f_i

tần số của nhóm thứ i, tức số quan sát thuộc nhóm đó

\htmlClass{fp-1}{\frac{\htmlClass{fp-0}{f_i}}{n}}

Dùng để tính tần số tương đối (relative frequency) của mỗi nhóm; kết quả cho biết nhóm đó chiếm bao nhiêu phần của toàn bộ dữ liệu.

Trong đó

f_i

tần số của nhóm thứ i

n

tổng số quan sát trong mẫu

Khái niệm này sinh ra từ đâu

thế kỷ 9Al-KindiJohn VennPierre-Simon Laplace

Việc đếm xem mỗi giá trị xuất hiện bao nhiêu lần đã được dùng có hệ thống từ thế kỷ 9, khi học giả Ả Rập Al-Kindi (801–873) đếm số lần xuất hiện của từng chữ cái để phá mật thư; nhiều thế kỷ sau, cách đếm ấy trở thành nền cho cách hiểu tần suất về xác suất mà John Venn bảo vệ năm 1866.

Bài viết sớm nhất được biết đến có dùng phương pháp thống kê là một cuốn sách Ả Rập thế kỷ 9, "Manuscript on Deciphering Cryptographic Messages" của Al-Kindi. Vấn đề của ông rất cụ thể: đọc được một bức thư đã bị mã hóa mà không có chìa khóa. Cách làm là đếm số lần mỗi ký hiệu xuất hiện trong bản mã, rồi đối chiếu với việc chữ cái nào thường gặp nhiều hay ít trong ngôn ngữ tự nhiên. Nhờ đó, một bảng đếm thuần túy đã thay thế cho việc mò mẫm. Về sau, ý tưởng "đếm số lần xảy ra" tiếp tục đi vào lý thuyết sai số và vào tranh luận về bản chất của xác suất.

Thử nghiệm tương tác

Kéo độ rộng nhóm — nhìn từng con số tần số bị viết lại

Hay hiểu sai

Tần số là số đếm, không phải phần trăm.

Tổng các tần số tương đối luôn bằng 1, không bằng 100 hay bằng cỡ mẫu.

Muốn so với quy tắc thực nghiệm, phải cộng dồn các nhóm chứ không đọc một dòng.

Không so sánh hai nhóm bằng tần số thô khi hai nhóm khác cỡ.

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một hộp kẹo chứa 50 viên được phân loại theo màu. Kết quả kiểm đếm được ghi lại trong bảng tần số sau: đỏ 12 viên, xanh dương 9 viên, xanh lá 15 viên, vàng 6 viên, cam 8 viên. Một câu hỏi trắc nghiệm dạng thường gặp yêu cầu chọn bảng trình bày đúng dữ liệu này dưới dạng tỉ lệ, đồng thời kiểm tra một phát biểu rút ra từ bảng.

aLập bảng tần số tương đối (relative frequency) cho màu của các viên kẹo và kiểm tra tổng các giá trị.
bBảng có ủng hộ phát biểu "Hơn một nửa số viên kẹo trong hộp có màu đỏ hoặc xanh lá" hay không?

1Bước 1: Trước hết cần xác định cỡ mẫu, vì mọi tỉ lệ đều được chia cho con số này. Cộng các tần số lại ta có

12+9+15+6+8=50

, đúng bằng số viên kẹo đề cho, nên bảng không bị thiếu hay thừa loại nào. Con số

n=50

sẽ đóng vai trò mẫu số chung cho toàn bộ bước sau.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · bài “Bảng & thống kê mô tả cho một biến phân loại” — khoá AP Statistics

Dẫn tớikiểm định độ phù hợp

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

tỉ lệproportion

Khác nhau ở đâuTần số là số đếm tuyệt đối (12 học sinh chọn A), còn tỉ lệ là phần tương đối so với tổng thể (12/40 = 0,30).

Hay nhầm khiĐề cho bảng tần số rồi hỏi 'tỉ lệ học sinh chọn đáp án A', học sinh chép nguyên số đếm mà quên chia cho tổng.

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 98, 104, 106.

2Ví dụ 2/2

Một mẫu số liệu thu được trên biến liên tục

x

có trung bình

-0{,}25

và độ lệch chuẩn (standard deviation)

0{,}03

. Mẫu gồm 200 quan sát và được chia thành các nhóm có độ rộng bằng nhau với tần số tương đối như sau:

-0{,}34\le x<-0{,}31

ứng với 0,02;

-0{,}31\le x<-0{,}28

ứng với 0,15;

-0{,}28\le x<-0{,}25

ứng với 0,33;

-0{,}25\le x<-0{,}22

ứng với 0,36;

-0{,}22\le x<-0{,}19

ứng với 0,11;

-0{,}19\le x<-0{,}16

ứng với 0,03.

aKhôi phục tần số của từng nhóm và kiểm tra tổng.
bTính tỉ lệ số liệu nằm trong khoảng một độ lệch chuẩn quanh trung bình và so sánh với quy tắc thực nghiệm (empirical rule).
cDùng tần số tích lũy tương đối (cumulative relative frequency) để nhận xét về hình dạng phân bố.

1Bước 1: Từ tần số tương đối muốn quay về tần số, ta chỉ cần đảo ngược phép chia ban đầu, tức là dùng

f_i=n\cdot(f_i/n)

với

n=200

. Lần lượt nhân từng dòng:

0{,}02\cdot200=4

0{,}15\cdot200=30

0{,}33\cdot200=66

0{,}36\cdot200=72

0{,}11\cdot200=22

và

0{,}03\cdot200=6

. Vì tất cả đều ra số nguyên nên cách chia nhóm là nhất quán với cỡ mẫu đã cho.

2Bước 2: Cộng các tần số vừa tìm được để kiểm tra:

4+30+66+72+22+6=200

, đúng bằng số quan sát. Tương ứng, tổng các tần số tương đối là

0{,}02+0{,}15+0{,}33+0{,}36+0{,}11+0{,}03=1{,}00

. Hai phép kiểm tra này luôn đi đôi với nhau, nên chỉ cần làm một trong hai là đủ khi thi.

3Bước 3: Khoảng một độ lệch chuẩn quanh trung bình là

-0{,}25\pm0{,}03

, tức từ

-0{,}28

đến

-0{,}22

. May mắn là hai mốc này trùng đúng với biên của hai nhóm giữa, nên ta cộng thẳng tần số tương đối của chúng:

0{,}33+0{,}36=0{,}69

. Vậy khoảng 69% số liệu nằm trong khoảng đó, rất sát con số 68% mà quy tắc thực nghiệm dự đoán cho một phân bố xấp xỉ chuẩn.

4Bước 4: Tần số tích lũy tương đối tại một mốc là tổng mọi tần số tương đối của các nhóm nằm bên trái mốc đó. Cộng dồn lần lượt ta được 0,02 tại

-0{,}31

; 0,17 tại

-0{,}28

; 0,50 tại

-0{,}25

; 0,86 tại

-0{,}22

; 0,97 tại

-0{,}19

và 1,00 tại

-0{,}16

. Giá trị 0,50 rơi đúng vào

x=-0{,}25

, nghĩa là trung vị trùng với trung bình.

5Bước 5: Ghép các dấu hiệu lại, ta thấy hai nhóm ở giữa cao nhất rồi tần số giảm dần đều về hai phía, trung vị bằng trung bình, và tỉ lệ trong một độ lệch chuẩn gần bằng 68%. Do đó phân bố (distribution) này gần đối xứng và một đỉnh, không có dấu hiệu lệch rõ rệt. Nếu đề yêu cầu chọn đồ thị tần số tích lũy tương đối tương ứng, ta phải chọn đường cong dạng chữ S dốc nhất quanh

x=-0{,}25

Các nhóm có tần số lần lượt là 4, 30, 66, 72, 22 và 6, cộng lại đúng 200 quan sát. Khoảng $-0{,}28\le x<-0{,}22$ chứa 69% số liệu, xấp xỉ mức 68% của quy tắc thực nghiệm, và tần số tích lũy tương đối đạt 0,50 ngay tại $x=-0{,}25$ ; vì vậy phân bố của $x$ gần đối xứng, một đỉnh, với tâm nằm quanh $-0{,}25$ .