Đang tải bài học…

AP Statistics

tỉ lệ

proportion

Còn gọi: tỷ lệ

Tỉ lệ là một con số đo phần của tổng thể hoặc mẫu có một đặc điểm cụ thể, thường được biểu diễn dưới dạng phân số, số thập phân, hoặc phần trăm.

Tỉ lệ (proportion) phản ánh mức độ phổ biến của một đặc điểm trong một nhóm quan sát. Khi ta đếm số cá thể có đặc điểm đó rồi chia cho tổng số cá thể trong nhóm, kết quả thu được là một số nằm trong khoảng từ 0 đến 1. Đây là đại lượng xuất hiện xuyên suốt chương trình AP Statistics, từ thống kê mô tả cho đến suy luận.

Cụ thể, nếu trong một mẫu có $n$ quan sát mà $k$ trong số đó thỏa mãn điều kiện đang xét, thì tỉ lệ mẫu ký hiệu là $\hat{p}$ và được tính theo công thức

$\hat{p} = \frac{k}{n}$

trong đó $k$ là số quan sát thỏa điều kiện và $n$ là cỡ mẫu. Tỉ lệ tổng thể — tham số (parameter) chưa biết mà ta muốn ước lượng — được ký hiệu là $p$ . Vì vậy, sự phân biệt này rất quan trọng: $\hat{p}$ là thống kê tính từ dữ liệu (data), còn $p$ là giá trị cố định của tổng thể.

Tỉ lệ mẫu $\hat{p}$ là ước lượng không chệch của tỉ lệ tổng thể $p$ , nghĩa là trung bình của tất cả các giá trị $\hat{p}$ có thể có bằng đúng $p$ . Nhờ đó, ta có thể dùng $\hat{p}$ để xây dựng khoảng tin cậy (confidence interval) hoặc thực hiện kiểm định giả thuyết (hypothesis testing) về $p$ . Phân phối mẫu của $\hat{p}$ sẽ xấp xỉ chuẩn khi cỡ mẫu đủ lớn — cụ thể là khi $np \geq 10$ và $n(1-p) \geq 10$ — theo định lý giới hạn trung tâm. Tuy nhiên, điều kiện này phải được kiểm tra và trình bày rõ ràng trong bài làm, vì thiếu bước xác nhận sẽ bị trừ điểm.

Ký hiệu

• $p$ — tỉ lệ tổng thể (tham số)
• $\hat{p}$ — tỉ lệ mẫu (thống kê)

Trực giác: Nếu lớp có 40 học sinh mà 10 em đeo kính, tỉ lệ là 10/40 = 0,25 — tức một phần tư lớp.

Công thức

\hat{p} = \frac{x}{n}

Dùng khi cần tính tỉ lệ của một đặc điểm trong mẫu, chẳng hạn tỉ lệ sản phẩm lỗi hay tỉ lệ cử tri ủng hộ một ứng viên.

Trong đó

\hat{p}

tỉ lệ mẫu (sample proportion)

x

số quan sát mang đặc điểm cần xét

n

cỡ mẫu, tức tổng số quan sát

Khái niệm này sinh ra từ đâu

thời Hy Lạp cổ đạiEudoxusEuclidJohn WallisIsaac Newton

Ý niệm tỉ lệ được nhà toán học Hy Lạp cổ đại Eudoxus định nghĩa chặt chẽ như một sự bằng nhau giữa hai tỉ số, và định nghĩa ấy trở thành nội dung của Quyển V trong bộ Cơ sở của Euclid.

Thử nghiệm tương tác

Giữ nguyên tử số 25 — đổi mẫu số và nhìn tỉ lệ nhảy từ 0,89 xuống 0,08

Hay hiểu sai

Trong kiểm định một tỉ lệ, mẫu số của độ lệch chuẩn dùng $p_0$ , không dùng $\hat{p}$ .

Tỉ lệ đồng thời và tỉ lệ có điều kiện có mẫu số khác nhau.

Khoảng tin cậy nói về tỉ lệ của tổng thể, không nói về tỉ lệ của mẫu.

Khoảng tin cậy cho hiệu hai tỉ lệ chứa số 0 nghĩa là chưa có bằng chứng về sự khác biệt.

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Ở Hoa Kỳ,

36\%

dân số có nhóm máu A dương. Một nhà nghiên cứu lấy mẫu ngẫu nhiên

150

người Na Uy và thấy

66

người có nhóm máu A dương. Nhà nghiên cứu muốn kiểm tra xem tỉ lệ người Na Uy có nhóm máu A dương có khác với tỉ lệ ở Hoa Kỳ hay không.

aTính tỉ lệ mẫu (sample proportion) và phát biểu cặp giả thuyết cho kiểm định.
bXác định độ lệch chuẩn được dùng để tính thống kê kiểm định (test statistic), và giải thích vì sao dùng con số đó chứ không dùng tỉ lệ quan sát được.
cTính thống kê kiểm định và kết luận ở mức ý nghĩa $\alpha = 0.05$ .

1Bước 1:

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàySuy luận cho tỉ lệ (dữ liệu phân loại) · bài “Phân phối mẫu của tỉ lệ mẫu p̂” — khoá AP Statistics

Cần trướctần số

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

xác suấtprobability

Khác nhau ở đâuXác suất là tham số cố định mô tả khả năng xảy ra của một biến cố, còn tỉ lệ mẫu là thống kê thay đổi theo từng mẫu rút ra

Hay nhầm khiđề cho dữ liệu mẫu rồi hỏi xác suất của một kết cục nhưng thí sinh trả lời bằng tỉ lệ quan sát mà không nêu rõ đang ước lượng tham số p

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 13–14, 24.

Người Hy Lạp cổ đại vấp phải một khó khăn: nhiều cặp đại lượng hình học, chẳng hạn cạnh và đường chéo của hình vuông, không thể so sánh bằng số nguyên. Vì vậy họ cần một cách khẳng định "tỉ số của A với B bằng tỉ số của C với D" mà không cần đo cả bốn đại lượng bằng số. Eudoxus giải quyết bằng cách so sánh các bội số bằng nhau: nếu mọi bội số của A và C luôn cùng lớn hơn, cùng bằng hoặc cùng nhỏ hơn các bội số tương ứng của B và D, thì bốn đại lượng lập thành một tỉ lệ. Mãi về sau, khi tỉ số được thừa nhận là số, người ta mới chuyển từ việc giải tỉ lệ sang giải phương trình.

Vì sao mang đúng cái tên này? Từ tiếng Anh proportion đi vào toán học qua bản dịch chữ ἀνάλογον mà Euclid dùng ở Định nghĩa 6 của Quyển V: "những đại lượng (magnitudes) có cùng tỉ số (ratio) thì được gọi là in proportion". Nói cách khác, cái tên ban đầu không chỉ một con số đơn lẻ mà chỉ một quan hệ giữa bốn đại lượng, tức trạng thái "tương xứng" của hai tỉ số. Điều này giải thích vì sao trong tiếng Việt ta có cả "tỉ số" lẫn "tỉ lệ": tỉ số là phép so sánh của một cặp, còn tỉ lệ vốn là lời khẳng định hai cặp so sánh ấy khớp nhau. Ngay chữ λόγος (logos) trong tiếng Hy Lạp cũng mang đồng thời các nghĩa "lời", "tỉ số" và "tỉ lệ", cho thấy hai khái niệm này gắn với nhau từ gốc. Về sau, khi Wallis và Newton hiểu tỉ số như một cách gán số cho từng cặp đại lượng, tỉ lệ dần thu hẹp lại thành một phân số quen thuộc — dạng mà thống kê ngày nay dùng để chỉ phần cá thể mang một đặc điểm trong tổng thể.

Giữ nguyên tử số 25 — đổi mẫu số và nhìn tỉ lệ nhảy từ 0,89 xuống 0,08

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Viết rõ ký hiệu tham số ngay khi đặt giả thuyết, kèm một câu định nghĩa bằng lời.

Đọc kỹ chiều của đối thuyết trước khi bấm máy tính giá trị p.

Kiểm tra điều kiện bằng số cụ thể, đừng chỉ chép tên điều kiện.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

Phân biệt hai đại lượng dễ lẫn. Chữ

p

chỉ tỉ lệ của cả tổng thể người Na Uy — đây là con số ta không biết và muốn tìm hiểu; còn

\hat{p}

là tỉ lệ tính được từ

150

người trong mẫu. Ở đây

\hat{p} = \dfrac{66}{150} = 0.44

, nghĩa là

44\%

số người được lấy mẫu có nhóm máu A dương. Vì câu hỏi là "có khác hay không" nên ta viết

H_0: p = 0.36

và

H_a: p \neq 0.36

, một kiểm định hai phía.

2Bước 2: Kiểm tra ba điều kiện trước khi dùng phân phối chuẩn. Mẫu được lấy ngẫu nhiên nên điều kiện ngẫu nhiên hóa thỏa mãn;

150

người rõ ràng nhỏ hơn

10\%

dân số Na Uy nên các quan sát coi như độc lập. Điều kiện chuẩn hóa kiểm bằng hai tích

np_0 = 150(0.36) = 54

và

n(1-p_0) = 150(0.64) = 96

, cả hai đều lớn hơn

10

. Do đó phân bố mẫu (sampling distribution) của

\hat{p}

xấp xỉ chuẩn và ta được phép dùng kiểm định

z

3Bước 3: Tính độ lệch chuẩn (standard deviation) của phân bố mẫu theo công thức

\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}

. Thay số:

\sqrt{\dfrac{(0.36)(0.64)}{150}} = \sqrt{\dfrac{0.2304}{150}} = \sqrt{0.001536} \approx 0.0392

. Con số này cho biết nếu giả thuyết không đúng thì các tỉ lệ mẫu cỡ

150

sẽ dao động quanh

0.36

với biên độ khoảng

0.039

4Bước 4: Giải thích lựa chọn

p_0 = 0.36

thay vì

\hat{p} = 0.44

. Toàn bộ lập luận của kiểm định giả thuyết đặt trên giả định

H_0

đúng, nên ta phải mô tả phân bố mẫu trong thế giới mà

p = 0.36

; giá trị

0.44

chỉ là kết quả quan sát cần đem ra so sánh với thế giới đó. Đây chính là điểm khác biệt với khoảng tin cậy (confidence interval), nơi không có giá trị giả định nào nên buộc phải lấy

\hat{p}

để ước lượng sai số chuẩn (standard error).

5Bước 5: Chuẩn hóa và tra xác suất. Ta có

z = \dfrac{\hat{p} - p_0}{\sigma_{\hat{p}}} = \dfrac{0.44 - 0.36}{0.0392} \approx 2.04

, tức tỉ lệ quan sát nằm cách giá trị giả thuyết hơn hai độ lệch chuẩn về phía trên. Vì kiểm định hai phía, giá trị

p

bằng

2P(Z \geq 2.04) \approx 2(0.0207) = 0.041

. Con số

0.041

nhỏ hơn

\alpha = 0.05

Tỉ lệ mẫu là $\hat{p} = 0.44$ , độ lệch chuẩn dùng cho thống kê kiểm định là $\sqrt{(0.36)(0.64)/150} \approx 0.0392$ , và $z \approx 2.04$ với giá trị $p \approx 0.041$ . Vì $0.041 < 0.05$ , ta bác bỏ $H_0$ : dữ liệu cung cấp bằng chứng thuyết phục rằng tỉ lệ người Na Uy có nhóm máu A dương khác với tỉ lệ $36\%$ ở Hoa Kỳ.

2Ví dụ 2/2

Mỗi kế toán viên tại một công ty kiểm toán lớn được phân loại theo cấp bậc (junior hoặc senior) và theo phương tiện đi làm. Kết quả của toàn bộ

320

kế toán viên được tóm tắt trong bảng sau. | Phương tiện | Junior | Senior | Tổng | |---|---|---|---|Đi bộ

25

3

28

Xe buýt

87

12

99

Tự lái xe

96

25

121

Đi chung xe

52

20

72

Tổng

260

60

320

aTính tỉ lệ kế toán viên của công ty đi làm bằng xe buýt.
bTính tỉ lệ kế toán viên vừa ở cấp junior vừa đi xe buýt, và chỉ rõ nó khác gì với kết quả câu (a).
cSo sánh tỉ lệ tự lái xe của hai nhóm cấp bậc và nêu nhận xét.

1Bước 1: Xác định mẫu số trước khi chia. Câu (a) hỏi về toàn bộ công ty nên mẫu số là tổng

320

người, còn tử số là số người đi xe buýt bất kể cấp bậc, tức

99

. Vậy tỉ lệ biên (marginal proportion) cần tìm là

\dfrac{99}{320} \approx 0.309

. Nói cách khác, khoảng

30.9\%

kế toán viên của công ty đi làm bằng xe buýt.

2Bước 2: Chuyển sang câu (b), chú ý chữ "vừa… vừa…". Yêu cầu này chỉ đếm những người nằm đồng thời ở cột junior và hàng xe buýt, tức đúng một ô của bảng với

87

người, trong khi mẫu số vẫn là toàn công ty. Do đó tỉ lệ chung (joint proportion) bằng

\dfrac{87}{320} \approx 0.272

. So với câu (a), tử số bị thu hẹp còn mẫu số giữ nguyên, nên

0.272 < 0.309

là điều đương nhiên.

3Bước 3: Với câu (c), mẫu số phải đổi theo từng nhóm được so sánh. Trong

260

kế toán viên junior có

96

người tự lái xe, cho

\dfrac{96}{260} \approx 0.369

; trong

60

kế toán viên senior có

25

người tự lái xe, cho

\dfrac{25}{60} \approx 0.417

. Hai con số này là tỉ lệ có điều kiện (conditional proportion), vì mỗi lần ta chỉ xét riêng một cấp bậc rồi mới chia.

4Bước 4: Đọc ý nghĩa của phép so sánh. Nếu đem so số người thô thì junior tự lái xe nhiều gấp gần bốn lần senior, nhưng kết luận đó vô nghĩa bởi nhóm junior vốn đông hơn nhiều. Chính vì vậy tỉ lệ mới là công cụ so sánh đúng: sau khi quy về cùng thang "trên mỗi người trong nhóm", ta thấy senior tự lái xe với tỉ lệ nhỉnh hơn, chênh khoảng

0.417 - 0.369 = 0.048

, tức gần

5

điểm phần trăm.

Tỉ lệ đi xe buýt của toàn công ty là $99/320 \approx 0.309$ ; tỉ lệ vừa là junior vừa đi xe buýt là $87/320 \approx 0.272$ , nhỏ hơn vì chỉ đếm một ô của bảng thay vì cả hàng. Xét riêng từng cấp bậc, $36.9\%$ kế toán viên junior tự lái xe so với $41.7\%$ ở nhóm senior, nên nhóm senior có xu hướng tự lái xe đi làm nhiều hơn một chút.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.