Đang tải bài học…

AP Statistics

đối xứng

symmetric

Còn gọi: phân phối đối xứng · symmetry

Đối xứng (symmetric) chỉ phân phối có dữ liệu phân bố đều ở hai phía của tâm, tạo hai nửa phản chiếu qua trục giữa.

Khi vẽ đồ thị của một phân phối đối xứng (symmetric distribution), nửa bên trái và nửa bên phải giống nhau như hình phản chiếu qua đường thẳng đứng đi qua tâm. Do đó, nếu gấp đồ thị theo trục giữa thì hai nửa sẽ chồng khít lên nhau. Phân phối chuẩn là ví dụ điển hình, với đỉnh nằm chính giữa và hai đuôi trải dài đều về hai phía.

Để nhận biết tính đối xứng bằng số, ta so sánh trung bình (mean) với trung vị (median). Trong phân phối đối xứng, hai giá trị này xấp xỉ bằng nhau vì các giá trị cao và thấp cân bằng lẫn nhau. Ngược lại, khi phân phối lệch, trung bình bị kéo về phía đuôi dài nên khác biệt rõ rệt với trung vị. Chẳng hạn, dữ liệu lệch phải có trung bình lớn hơn trung vị do ảnh hưởng của các giá trị lớn bất thường.

Việc xác định phân phối có đối xứng hay không ảnh hưởng trực tiếp đến lựa chọn phương pháp phân tích. Nhiều kiểm định giả thuyết (hypothesis testing) và khoảng tin cậy (confidence interval) dựa trên giả định dữ liệu có dạng đối xứng hoặc xấp xỉ chuẩn. Vì vậy, khi phân phối lệch mạnh, các phương pháp phi tham số hoặc biến đổi dữ liệu thường được ưu tiên.

Trực giác: Giống như một chiếc cân thăng bằng hoàn hảo: đặt điểm tựa ngay giữa thì hai bên nặng bằng nhau, cân nằm ngang.

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1794 (trong hình học) và 1808–1895 (trong thống kê)Adrien-Marie LegendreCarl Friedrich GaussPierre-Simon LaplaceKarl Pearson

Thử nghiệm tương tác

Kéo từng chấm cho hai bên vạch tâm cân nhau — nhìn trung bình và trung vị chồng lên nhau

Hay hiểu sai

Đối xứng không đồng nghĩa với phân phối chuẩn (normal distribution).

Trung bình bằng trung vị không suy ngược lại được thành đối xứng.

Độ lệch chuẩn lớn hơn không làm tăng tỉ lệ giá trị nằm dưới trung bình.

Đối xứng và một mốt (unimodal) là hai tính chất tách rời nhau.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một siêu thị nhận ba lô nam việt quất đóng túi, lần lượt từ nông trại A, nông trại B và nông trại C. Với cả ba lô, phân bố khối lượng của một túi đều có một mốt (unimodal) và đối xứng. Bảng sau cho biết số túi, khối lượng trung bình và độ lệch chuẩn (standard deviation) của mỗi lô, đơn vị ounce (oz). Nông trại A: 250 túi, trung bình 32,1 oz, độ lệch chuẩn 0,8 oz. Nông trại B: 150 túi, trung bình 31,6 oz, độ lệch chuẩn 0,5 oz. Nông trại C: 100 túi, trung bình 32,4 oz, độ lệch chuẩn 0,6 oz.

aƯớc lượng khối lượng trung vị của một túi trong lô hàng từ nông trại A và giải thích vì sao ước lượng đó hợp lý.
bTính khối lượng trung bình của toàn bộ 500 túi trong cả ba lô hàng.
cTrong ba lô hàng, lô nào có tỉ lệ túi nặng hơn 33 oz lớn nhất? Giải thích.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · bài “Mô tả phân phối của một biến định lượng” — khoá AP Statistics

Cần trướchình dạng (của phân phối)

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

phân phối chuẩnnormal distribution

Khác nhau ở đâuMọi phân phối chuẩn đều đối xứng, nhưng không phải mọi phân phối đối xứng đều là phân phối chuẩn

Hay nhầm khiđề cho dữ liệu đối xứng và học sinh tự động áp dụng quy tắc 68-95-99.7 như thể phân phối đó là chuẩn

đồng đềuuniform

Khác nhau ở đâuPhân phối đồng đều là một trường hợp đặc biệt của đối xứng, nhưng đối xứng không nhất thiết phải đồng đều

Hay nhầm khiđề vẽ histogram có dạng đều và học sinh nhầm lẫn giữa hai khái niệm khi mô tả hình dạng

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 22, 63, 101.

Ý niệm đối xứng bước vào khoa học hiện đại qua định nghĩa hình học của Adrien-Marie Legendre năm 1794, rồi được thống kê mượn lại khi Gauss và Laplace mô tả đường cong chuẩn năm 1808 và khi Karl Pearson bắt đầu phân loại các đường cong đối xứng và bất đối xứng năm 1895.

Trước khi trở thành một tính từ quen thuộc để mô tả hình dáng phân phối, đối xứng là chuyện của hình học không gian. Năm 1794, Legendre đưa ra một cách định nghĩa mới về đối xứng trong hình học khối, và cách hiểu ấy trở thành nền cho hầu hết các ngành khoa học về sau. Thống kê tiếp nhận ý niệm này khi Gauss cùng Laplace mô tả đường cong chuẩn năm 1808: đường cong đó cân bằng quanh tâm, một nửa số giá trị nằm dưới trung bình và một nửa nằm trên, đồng thời trung bình, trung vị và mốt trùng nhau. Đến năm 1895, Karl Pearson đi xa hơn khi bắt đầu phân loại có hệ thống các đường cong đối xứng và bất đối xứng, mở đường cho việc mô tả hình dáng dữ liệu như ta làm hôm nay.

Vì sao mang đúng cái tên này? Cái tên nghe rất hình học, và đúng là nó đến từ hình học thật. Legendre dùng đối xứng để nói về hai nửa của một khối trùng khít nhau qua một mặt phẳng, và chính định nghĩa ấy được các ngành khoa học khác vay mượn. Khi thống kê cần một chữ để chỉ những phân phối mà nửa trái và nửa phải soi nhau qua tâm — như đường cong chuẩn (normal distribution) của Gauss và Laplace, nơi trung bình, trung vị và mốt cùng rơi vào một điểm — thì chữ có sẵn trong hình học được dùng luôn. Vì vậy khi Pearson phân loại các đường cong đối xứng và bất đối xứng (symmetrical and asymmetrical curves) năm 1895, thuật ngữ đã mang đúng nghĩa hình dáng mà đề thi ngày nay vẫn hỏi.

Kéo từng chấm cho hai bên vạch tâm cân nhau — nhìn trung bình và trung vị chồng lên nhau

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mẹo phòng thi

Gặp "unimodal and symmetric" kèm trung bình, hãy viết ngay câu mean = median.

Với câu "which of the following must be true", loại mọi phương án cần thêm giả thiết chuẩn.

Đừng lẫn phân vị với điểm chuẩn hóa khi ước lượng $z$ của tứ phân vị thứ ba.

Tần suất trong đề AP StatisticsÍt gặp

Bước 1: Ý (a) khai thác đúng ý nghĩa của tính đối xứng. Khi một phân bố đối xứng và chỉ có một mốt, hai nửa của phân bố cân bằng nhau quanh trục giữa, nên điểm cân bằng (trung bình) và điểm chia đôi số quan sát (trung vị) rơi vào cùng một chỗ. Do đó với lô hàng của nông trại A, trung vị xấp xỉ 32,1 oz. Cần nói rõ đây là ước lượng chứ không phải khẳng định tuyệt đối: đề chỉ cho biết phân bố đối xứng ở mức gần đúng, nên câu trả lời chuẩn là "trung vị vào khoảng 32,1 oz".

2Bước 2: Ý (b) đòi trung bình gộp của cả ba lô, và đây là chỗ thí sinh hay hỏng. Không được lấy trung bình cộng của ba số 32,1; 31,6 và 32,4 vì ba lô có số túi khác nhau; phải dùng trung bình có trọng số

\bar{x}=\frac{\sum n_i\bar{x}_i}{\sum n_i}.

Công thức này nói rằng ta cộng tổng khối lượng của từng lô rồi chia cho tổng số túi, chứ không chia đều vai trò cho ba lô.

3Bước 3: Thay số:

250(32{,}1)=8025

150(31{,}6)=4740

100(32{,}4)=3240

, nên tổng khối lượng là

8025+4740+3240=16005

oz. Tổng số túi là

250+150+100=500

, do đó

\bar{x}=16005/500=32{,}01

oz. Nếu lấy trung bình cộng đơn giản thì được

96{,}1/3\approx 32{,}03

oz — sai lệch nhỏ nhưng vẫn là đáp án sai, vì lô A đông túi nhất phải có tiếng nói nặng hơn.

4Bước 4: Ý (c) cần chuyển mốc 33 oz sang điểm chuẩn hóa

z=(x-\bar{x})/s

cho từng lô, tức là đo xem 33 oz cách trung bình bao nhiêu lần độ lệch chuẩn. Với A:

z=(33-32{,}1)/0{,}8=1{,}125

. Với B:

z=(33-31{,}6)/0{,}5=2{,}80

. Với C:

z=(33-32{,}4)/0{,}6=1{,}00

5Bước 5: Vì cả ba phân bố đều đối xứng và một mốt, chúng có dáng gần giống nhau, nên phần diện tích nằm bên phải mốc 33 oz chỉ còn phụ thuộc vào giá trị

z

z

càng nhỏ thì đuôi bên phải càng dày. So sánh

1{,}00<1{,}125<2{,}80

, ta thấy nông trại C có tỉ lệ lớn nhất. Nếu xấp xỉ bằng phân bố chuẩn thì tỉ lệ tương ứng vào khoảng

0{,}159

cho C,

0{,}130

cho A và chỉ

0{,}003

cho B.

6Bước 6: Chú ý một cái bẫy về ngôn từ: tính đối xứng cho phép ta nói trung bình xấp xỉ trung vị và cho phép so sánh các đuôi bằng

z

, nhưng nó không tự động biến phân bố thành phân bố chuẩn. Vì vậy lời giải nên dùng cách nói dè dặt như "gần đối xứng", "xấp xỉ chuẩn", đúng như tinh thần mà bài thi mong đợi.

Trung vị khối lượng túi của nông trại A vào khoảng 32,1 oz, vì phân bố khối lượng của lô này đối xứng và một mốt nên trung bình và trung vị gần trùng nhau. Trung bình của toàn bộ 500 túi là 32,01 oz, tính bằng trung bình có trọng số theo số túi của từng lô. Trong ba lô, lô của nông trại C có tỉ lệ túi nặng hơn 33 oz lớn nhất, vì mốc 33 oz chỉ cách trung bình của lô này đúng 1,00 độ lệch chuẩn, nhỏ hơn so với 1,125 của lô A và 2,80 của lô B.

2Ví dụ 2/2

Một trò chơi thưởng cho người chơi số điểm

X

nhận các giá trị 1, 2, 3, 4, 5 với xác suất lần lượt là 0,10; 0,20; 0,40; 0,20; 0,10. Đây là một phân bố xác suất (probability distribution) đối xứng quanh giá trị 3.

aXác định trung bình và trung vị của $X$ , có kiểm chứng bằng tính toán.
bVới phân bố này, mệnh đề "xác suất để $X$ nhỏ hơn hoặc bằng trung bình đúng bằng 0,5" đúng hay sai?
cMột bài thi khác cho biết phân bố điểm số của học sinh không đối xứng và hỏi ước lượng tốt nhất cho điểm chuẩn hóa của tứ phân vị thứ ba (third quartile). Hãy giải thích vì sao khi đó không thể trả lời bằng con số quen thuộc 0,67.

1Bước 1: Trước hết hãy nhìn ra tính đối xứng bằng mắt thay vì bằng máy tính: xác suất của 1 và 5 bằng nhau, xác suất của 2 và 4 bằng nhau, còn 3 đứng chính giữa. Vì hai cánh cân nhau quanh 3 nên trung bình phải bằng 3. Kiểm chứng:

\mu=1(0{,}10)+2(0{,}20)+3(0{,}40)+4(0{,}20)+5(0{,}10)=0{,}10+0{,}40+1{,}20+0{,}80+0{,}50=3{,}00

, đúng như dự đoán.

2Bước 2: Trung vị tìm bằng xác suất tích lũy:

P(X\le 1)=0{,}10

P(X\le 2)=0{,}30

P(X\le 3)=0{,}70

. Mốc 0,5 bị vượt qua tại giá trị 3, nên trung vị bằng 3. Vậy ý (a) cho kết luận quen thuộc: với phân bố đối xứng, trung bình và trung vị trùng nhau, ở đây cùng bằng 3.

3Bước 3: Sang ý (b), phải hết sức cẩn thận vì đây chính là kiểu bẫy của câu hỏi "which of the following must be true". Tính đối xứng bảo đảm

P(X<\mu)=P(X>\mu)

, và quả thật

P(X<3)=0{,}10+0{,}20=0{,}30

bằng

P(X>3)=0{,}20+0{,}10=0{,}30

. Tuy nhiên

P(X\le 3)=0{,}70\neq 0{,}5

, vì riêng giá trị 3 đã chiếm một khối xác suất 0,40. Do đó mệnh đề trong đề là sai; điều luôn đúng là hai đuôi cân nhau, chứ không phải mỗi nửa đúng bằng 0,5.

4Bước 4: Ý (c) chạm vào giới hạn của tính đối xứng. Con số 0,67 quen thuộc đến từ phân bố chuẩn: ở đó tứ phân vị thứ ba nằm cách trung bình khoảng 0,67 độ lệch chuẩn, vì diện tích bên trái điểm

z=0{,}67

xấp xỉ 0,75. Nhưng kết quả này gắn chặt với dáng chuông đối xứng, chứ không phải với mọi phân bố.

5Bước 5: Khi phân bố lệch, đuôi dài kéo trung bình về phía nó và làm phồng độ lệch chuẩn, nên khoảng cách từ tứ phân vị thứ ba tới trung bình tính theo đơn vị độ lệch chuẩn có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn 0,67 tùy hướng và mức độ lệch. Vì đề không cho biết hình dạng cụ thể, không có căn cứ nào để chốt một con số. Vì vậy câu trả lời đúng là không thể xác định nếu chỉ biết phân bố không đối xứng.

6Bước 6: Rút ra một nguyên tắc dùng chung cho cả hai ý cuối: đối xứng là điều kiện đủ để nói trung bình bằng trung vị và hai đuôi cân nhau, nhưng chưa đủ để suy ra bất kỳ giá trị điểm chuẩn hóa cố định nào. Muốn dùng bảng

z

, ta cần thêm giả thiết phân bố xấp xỉ chuẩn.

7Bước 7: Nếu đề hỏi thêm về mức biến động, ta tính

\sigma^2=(1-3)^2(0{,}10)+(2-3)^2(0{,}20)+(3-3)^2(0{,}40)+(4-3)^2(0{,}20)+(5-3)^2(0{,}10)=0{,}40+0{,}20+0+0{,}20+0{,}40=1{,}20

, nên

\sigma=\sqrt{1{,}20}\approx 1{,}10

điểm. Con số này mô tả độ phân tán quanh trung bình 3 và hoàn toàn độc lập với tính đối xứng.

Với phân bố điểm của trò chơi, trung bình và trung vị cùng bằng 3 điểm, đúng như tính đối xứng gợi ý. Mệnh đề rằng xác suất để $X$ không vượt quá trung bình bằng 0,5 là sai, vì $P(X\le 3)=0{,}70$ ; điều luôn đúng chỉ là hai đuôi cân nhau, $P(X<3)=P(X>3)=0{,}30$ . Còn với một phân bố điểm số không đối xứng, ta không thể lấy 0,67 làm điểm chuẩn hóa của tứ phân vị thứ ba, bởi con số ấy chỉ có giá trị dưới giả thiết phân bố đối xứng hình chuông.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.