Đang tải bài học…

AP Statistics

đường cong chuẩn

normal curve

Còn gọi: đường cong hình chuông · mound-shaped curve · đường cong đối xứng · bell-shaped curve · đường cong Gauss

Đường cong chuẩn là đồ thị hình chuông, đối xứng của phân phối chuẩn, được xác định hoàn toàn bởi trung bình và độ lệch chuẩn.

Đường cong chuẩn (normal curve) mô tả một phân phối xác suất (probability distribution) liên tục đặc biệt quan trọng trong thống kê. Đồ thị có dạng đối xứng (symmetric) quanh trung bình $\mu$ , cao nhất ở chính giữa rồi thoải dần về hai phía với hai đuôi kéo dài vô tận nhưng càng ngày càng sát trục hoành. Do đó, trung bình, trung vị và tứ phân vị thứ hai của phân phối này trùng nhau tại một điểm.

Mỗi đường cong chuẩn được xác định hoàn toàn bởi hai tham số: trung bình $\mu$ và độ lệch chuẩn $\sigma$ . Hàm mật độ có dạng

$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

trong đó $x$ là giá trị biến, $\mu$ là trung bình tổng thể, và $\sigma$ là độ lệch chuẩn tổng thể. Công thức này cho thấy xác suất tập trung quanh $\mu$ và giảm dần theo hàm mũ khi $x$ lùi xa khỏi trung tâm. Ngược lại, trên đồ thị, hai điểm uốn — nơi đường cong chuyển từ lõm sang lồi — nằm đúng tại $\mu - \sigma$ và $\mu + \sigma$ , tức là cách trung bình đúng một độ lệch chuẩn về mỗi phía.

Nhờ tính đối xứng và cấu trúc cố định đó, quy tắc thực nghiệm — còn gọi là quy tắc 68–95–99,7 — áp dụng trực tiếp cho mọi đường cong chuẩn: khoảng $\mu \pm \sigma$ chứa khoảng 68% diện tích, khoảng $\mu \pm 2\sigma$ chứa khoảng 95%, và khoảng $\mu \pm 3\sigma$ chứa khoảng 99,7% tổng diện tích dưới đường cong. Vì vậy, khi biết $\mu$ và $\sigma$ , ta có thể ước lượng xác suất nằm trong bất kỳ khoảng nào mà không cần tính tích phân trực tiếp. Ngoài ra, đường cong chuẩn còn là nền tảng của định lý giới hạn trung tâm, định lý khẳng định rằng phân phối của trung bình mẫu tiệm cận dạng chuẩn khi cỡ mẫu đủ lớn — đây là lý do phân phối này xuất hiện rộng rãi trong suy luận thống kê.

Ký hiệu

X \sim N(\mu,\, \sigma^2)

— biến ngẫu nhiên

X

có phân phối chuẩn với trung bình

\mu

và phương sai

\sigma^2

Trực giác: Hãy tưởng tượng đổ một nắm cát từ trên cao xuống một tờ giấy: hầu hết hạt cát rơi vào giữa thành đống cao, còn số ít bắn ra xa hai bên — đó chính là hình dạng của đường cong chuẩn.

Công thức

f(x) = \htmlClass{fp-3}{\frac{1}{\htmlClass{fp-1}{\sigma}\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\htmlClass{fp-2}{\left(\frac{\htmlClass{fp-0}{x-\mu}}{\sigma}\right)^2}}}

Công thức này cho biết mật độ xác suất tại mỗi giá trị $x$ của một phân phối chuẩn. Thí sinh gặp dạng này trên formula sheet của kỳ thi AP Statistics và cần nhận ra rằng toàn bộ hình dạng đường cong được quyết định hoàn toàn bởi hai tham số $\mu$ và $\sigma$ .

Trong đó

f(x)

mật độ xác suất tại điểm

x

\mu

trung bình (mean) của phân phối — xác định tâm đường cong

\sigma

độ lệch chuẩn (standard deviation) — xác định độ rộng đường cong

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1733Abraham de MoivreThomas SimpsonFrancis GaltonKarl Pearson

Đường cong chuẩn được Abraham de Moivre tìm ra năm 1733 khi ông tìm cách tính nhanh xác suất trong các bài toán tung đồng xu; tên gọi "chuẩn" chỉ được cố định về sau, chủ yếu nhờ Francis Galton và Karl Pearson vào cuối thế kỷ 19.

Thử nghiệm tương tác

Kéo hai núm μ và σ — xem đường cong dời chỗ, bè ra, mà diện tích trong μ ± σ vẫn là 0,68

Hay hiểu sai

Đối xứng chưa chắc đã chuẩn.

Cỡ mẫu lớn không làm cho dữ liệu trở nên chuẩn.

Tung độ của đường cong không phải là xác suất.

Điểm $z$ là vị trí, không phải xác suất.

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Ở một quốc gia, tuổi thọ trung bình là 74,3 năm với độ lệch chuẩn (standard deviation) 9,7 năm. Giả sử phân bố tuổi thọ có dạng xấp xỉ chuẩn, người ta vẽ đường cong chuẩn mô tả phân bố này với các mốc chia đều dọc trục hoành, mỗi mốc cách nhau đúng một độ lệch chuẩn.

aXác định giá trị tuổi thọ tại đỉnh đường cong và tại hai điểm uốn của nó.
bƯớc lượng tỉ lệ phần trăm số người có tuổi thọ nằm giữa 54,9 năm và 93,7 năm.
cƯớc lượng tỉ lệ phần trăm số người sống thọ hơn 84,0 năm, và tính điểm chuẩn hóa của giá trị 90 năm.

1Bước 1: Trước hết cần nhớ rằng đường cong chuẩn được xác định hoàn toàn bởi hai tham số: trung bình

\mu

và độ lệch chuẩn

\sigma

. Ở đây

\mu = 74{,}3

và

\sigma = 9{,}7

. Vì phân bố đối xứng nên trung bình trùng với trung vị và nằm ngay tại đỉnh cao nhất của đường cong, tức đỉnh ứng với 74,3 năm.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyXác suất, biến ngẫu nhiên & phân phối xác suất · bài “Phân phối chuẩn (Normal)” — khoá AP Statistics

Cần trướchình dạng (của phân phối)

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

phân phối hình chuôngmound-shaped

Khác nhau ở đâuPhân phối hình chuông là họ rộng gồm mọi phân phối gồ giữa đối xứng, còn đường cong chuẩn là một đường cong cụ thể có phương trình và hai tham số xác định duy nhất

Hay nhầm khiđề cho histogram hình chuông và hỏi có thể áp dụng quy tắc 68-95-99.7 không — chỉ đúng khi phân phối thật sự là chuẩn

phân phối lấy mẫu của trung bình mẫusampling distribution of sample means

Khác nhau ở đâuĐường cong chuẩn mô tả phân phối của một biến trong quần thể, còn phân phối lấy mẫu mô tả hành vi của trung bình mẫu qua nhiều lần lấy mẫu

Hay nhầm khiđề hỏi phân phối của dữ liệu gốc khác phân phối của trung bình mẫu — chỉ cái sau mới tiệm cận chuẩn nhờ định lý giới hạn trung tâm

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 145, 148–149.

cơ số lôgarit tự nhiên, xấp xỉ 2,718

\pi

hằng số pi, xấp xỉ 3,14159

z = \frac{\htmlClass{fp-0}{x - \mu}}{\htmlClass{fp-1}{\sigma}}

Điểm $z$ (z-score) cho biết giá trị $x$ nằm cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn. Khi đã có $z$ , thí sinh tra bảng phân phối chuẩn tắc (standard normal table) để tìm xác suất hoặc phân vị tương ứng.

Trong đó

z

điểm z — số độ lệch chuẩn từ trung bình tới

x

x

giá trị quan sát cần quy đổi

\mu

trung bình của phân phối

\sigma

độ lệch chuẩn của phân phối

De Moivre sống bằng nghề tư vấn cho giới đánh bạc, nên ông thường phải tính những con số khổng lồ kiểu "xác suất được từ 60 mặt ngửa trở lên trong 100 lần tung". Ông nhận thấy khi số lần tung tăng lên, hình dáng của phân phối nhị thức (binomial distribution) tiến dần tới một đường cong rất trơn. Nếu tìm được biểu thức toán học cho đường cong ấy, mọi phép cộng dài dòng sẽ được thay bằng một phép tính duy nhất — và năm 1733 ông làm được đúng điều đó. Thomas Simpson sau này (1755) mở rộng ý tưởng sang các đại lượng đo liên tục, chẳng hạn vị trí một ngôi sao, nơi mỗi lần quan sát lại cho một con số hơi khác.

Vì sao mang đúng cái tên này? Chữ "chuẩn" nghe có vẻ hàm ý rằng mọi dữ liệu "bình thường" đều phải có dạng này, nhưng lịch sử của nó khiêm tốn hơn nhiều. Ứng dụng sớm nhất của đường cong là mô tả sai số đo lường (errors of measurement) trong quan sát thiên văn: Galileo đã nhận ra ở thế kỷ 17 rằng các sai số này đối xứng và sai số nhỏ xuất hiện nhiều hơn sai số lớn, còn đến đầu thế kỷ 19 thì Adrain (1808) và Gauss chỉ ra chúng tuân theo đúng đường cong ấy. Vì vậy trong một thời gian dài người ta gọi nó là "đường cong sai số", hoặc "đường cong Laplace–Gauss". Tên gọi hiện nay đi qua Francis Galton. Năm 1877 ông mới dùng thoáng qua cụm "deviated normally" một lần và vẫn đặt tên cho quy luật này là "law of deviation", nhưng sang thập niên 1880 ông dùng chữ "normal" một cách hệ thống: chương 5 cuốn Natural Inheritance (1889) mang tên "Normal Variability". Galton không giải thích vì sao chọn chữ đó. Karl Pearson thì viết dứt khoát trong một bài báo năm 1894 rằng từ nay bất kỳ đường cong tần số nào có thể coi như đường cong sai số sẽ được gọi là "a normal curve", và chính việc ông dùng thuật ngữ này nhất quán trong các công trình có ảnh hưởng lớn đã khiến cả giới thống kê theo. Điều trớ trêu là một chủ đề chính trong nghiên cứu của Pearson lại là chứng minh rằng dữ liệu thực tế thường không tuân theo phân phối chuẩn (normal distribution). Cái tên dân dã "đường cong hình chuông" (bell curve) thì gắn với hình dáng, và trở nên nổi tiếng rộng rãi từ năm 1994 khi Richard Herrnstein cùng Charles Murray xuất bản cuốn The Bell Curve, lấy tên từ phân bố điểm IQ và in luôn hình đường cong lên bìa sách.

Kéo hai núm μ và σ — xem đường cong dời chỗ, bè ra, mà diện tích trong μ ± σ vẫn là 0,68

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Vẽ hình chuông và tô vùng diện tích trước khi bấm máy.

Ghi lời cùng với số khi dùng máy tính.

Đọc kỹ đề hỏi về một cá thể hay về trung bình của mẫu.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

2Bước 2: Hai điểm uốn (points of inflection) — nơi đường cong đổi chiều cong, dốc nhất về mỗi phía — cách trung bình đúng một độ lệch chuẩn. Do đó ta tính

\mu - \sigma = 74{,}3 - 9{,}7 = 64{,}6

và

\mu + \sigma = 74{,}3 + 9{,}7 = 84{,}0

. Vậy hai điểm uốn ứng với 64,6 năm và 84,0 năm; đây cũng chính là lý do độ lệch chuẩn được xem là đơn vị đo tự nhiên sinh ra từ chính hình dạng của đường cong.

3Bước 3: Với ý (b), ta xem hai đầu mút cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn. Vì

74{,}3 - 2(9{,}7) = 54{,}9

và

74{,}3 + 2(9{,}7) = 93{,}7

, khoảng đang xét chính là

\mu \pm 2\sigma

. Theo quy tắc thực nghiệm (empirical rule), khoảng hai độ lệch chuẩn quanh trung bình chứa khoảng 95% giá trị, nên khoảng 95% số người có tuổi thọ trong khoảng từ 54,9 đến 93,7 năm.

4Bước 4: Với ý (c), giá trị 84,0 chính là

\mu + \sigma

. Quy tắc thực nghiệm cho biết khoảng 68% giá trị nằm trong

\mu \pm \sigma

, nên phần còn lại là

100\% - 68\% = 32\%

. Nhờ tính đối xứng, phần này chia đều cho hai đuôi, mỗi bên

32\%/2 = 16\%

; vậy khoảng 16% số người sống thọ hơn 84,0 năm.

5Bước 5: Cuối cùng, điểm chuẩn hóa (z-score) của 90 năm được tính bằng

z = \dfrac{x - \mu}{\sigma} = \dfrac{90 - 74{,}3}{9{,}7} = \dfrac{15{,}7}{9{,}7} \approx 1{,}62

. Con số này nói rằng tuổi thọ 90 năm nằm cao hơn trung bình khoảng 1,62 độ lệch chuẩn, tức lệch khá xa về phía đuôi phải nhưng chưa tới mốc hai độ lệch chuẩn.

Đỉnh đường cong ứng với tuổi thọ trung bình 74,3 năm, còn hai điểm uốn nằm tại 64,6 năm và 84,0 năm. Khoảng từ 54,9 đến 93,7 năm chính là $\mu \pm 2\sigma$ nên chứa xấp xỉ 95% dân số, trong khi chỉ khoảng 16% số người vượt quá 84,0 năm. Một người sống 90 năm có điểm chuẩn hóa $z \approx 1{,}62$ , nghĩa là thọ hơn mức trung bình của quốc gia này khoảng 1,62 độ lệch chuẩn.

2Ví dụ 2/2

Trên cùng một hệ trục, hai đường cong chuẩn được vẽ để mô tả điểm thi của hai trường. Đường cong

a

có đỉnh nằm phía bên trái, cao và hẹp; đường cong

b

có đỉnh nằm lệch hẳn sang phải, thấp và trải rộng hơn nhiều. Ở một câu hỏi khác, người ta cho biết điểm thi của trường thứ ba có phân bố gần đối xứng hình chuông, giá trị nhỏ nhất là 20 và giá trị lớn nhất là 80.

aĐường cong nào có trung bình nhỏ hơn và đường cong nào có độ lệch chuẩn nhỏ hơn?
bTrong các giá trị 4,5 — 8 — 12,5 — 20 — 30, giá trị nào là ước lượng hợp lý nhất cho độ lệch chuẩn của trường thứ ba?

1Bước 1: Vị trí đỉnh của một đường cong chuẩn cho biết trung bình, vì phân bố đối xứng quanh trung bình. Đỉnh của

a

nằm bên trái đỉnh của

b

, nên trung bình của

a

nhỏ hơn trung bình của

b

2Bước 2: Chiều rộng của đường cong lại phản ánh độ lệch chuẩn: diện tích dưới mọi đường cong chuẩn đều bằng 1, nên đường nào cao và hẹp thì dữ liệu tập trung sát trung bình, còn đường thấp và trải rộng thì dữ liệu phân tán hơn. Đường

a

cao và hẹp, vì vậy

a

có độ lệch chuẩn nhỏ hơn. Đáp án cho ý (a) là: trung bình nhỏ hơn thuộc về

a

, độ lệch chuẩn nhỏ hơn cũng thuộc về

a

3Bước 3: Sang ý (b), ta tính khoảng biến thiên (range) của dữ liệu:

80 - 20 = 60

. Với một phân bố gần hình chuông, hầu như toàn bộ giá trị nằm trong khoảng

\mu \pm 3\sigma

, tức khoảng biến thiên trải khoảng

4\sigma

đến

6\sigma

4Bước 4: Từ nhận xét đó ta ước lượng

\sigma

nằm giữa

\dfrac{60}{6} = 10

và

\dfrac{60}{4} = 15

. Trong các lựa chọn đã cho, chỉ có 12,5 rơi vào khoảng từ 10 đến 15; các giá trị 4,5 và 8 thì quá nhỏ, còn 20 và 30 thì lớn đến mức vô lý vì khi đó ba độ lệch chuẩn đã vượt xa toàn bộ dải dữ liệu.

Đường cong $a$ vừa có trung bình nhỏ hơn (đỉnh lệch trái) vừa có độ lệch chuẩn nhỏ hơn (cao và hẹp hơn). Với trường thứ ba, khoảng biến thiên 60 điểm tương ứng với chừng bốn đến sáu độ lệch chuẩn, nên 12,5 là ước lượng hợp lý nhất cho độ lệch chuẩn. Cần lưu ý rằng cách ước lượng nhanh này chỉ dùng được khi phân bố thực sự gần với hình chuông, vì nó dựa hoàn toàn vào hình dạng đặc trưng của đường cong chuẩn.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.