Đang tải bài học…

AP Statistics

biến liên tục

continuous variable

Còn gọi: continuous

Biến liên tục (continuous variable) là biến nhận mọi giá trị trong một khoảng; giữa hai giá trị bất kỳ luôn có vô số giá trị khác.

Biến liên tục (continuous variable) là biến số mà giữa hai giá trị bất kỳ luôn tồn tại vô số giá trị khả dĩ. Do đó, ta không thể liệt kê tất cả các giá trị của nó như với biến đếm được, mà phải mô tả bằng khoảng hoặc bằng đường cong mật độ xác suất (probability density function). Ví dụ, chiều cao của học sinh có thể là 1,62 m, 1,623 m hoặc bất kỳ giá trị nào trong một khoảng hợp lý, miễn là dụng c đo đủ chính xác.

Vì biến liên tục có vô số điểm, xác suất tại một điểm đơn lẻ luôn bằng 0; thay vào đó, ta tính xác suất rơi vào một khoảng bng diện tích dưới đường cong mật độ. Nhờ đó, các mô hình như phân phối chuẩn (normal distribution) trở thành công cụ tự nhiên để xấp xỉ đặc điểm của tổng thể khi biến đó liên tục. Tuy nhiên, dữ liệu thu thập thực tế vẫn bị làm tròn theo đơn vị đo, nên người phân tích cần phân biệt rõ giá trị thực và giá trị ghi nhận.

Trong đề thi AP Statistics, khi đề cho một biến liên tục thì các tính toán xác suất thường dựa trên diện tích dưới đường cong. Kết quả này khác biệt với biến rời rạc, nơi xác suất là tổng các xác suất tại từng điểm cụ thể. Vì vậy, nhận diện đúng loại biến giúp thí sinh chọn đúng công cụ và công thức khi làm bài.

Trực giác: Nếu bạn đo nhiệt độ nước trong cốc, nhiệt kế có thể hiện 37,5 °C, nhưng nhiệt độ thực có thể là 37,5123 °C — đó chính là biến liên tục, bởi nó có thể nằm ở bất k điểm nào trên thang đo.

Khái niệm này sinh ra từ đâu

cuối thế kỷ 17 đến đầu thế kỷ 20Isaac NewtonPafnuty ChebyshevAndrei KolmogorovGottfried Wilhelm Leibniz

Thử nghiệm tương tác

Kéo hai vạch sát lại rồi phóng to — giữa chúng vẫn còn số đo mới

Hay hiểu sai

Đếm được thì vẫn là biến rời rạc, dù con số đếm được rất lớn.

Việc làm tròn khi ghi số liệu không biến một biến liên tục thành rời rạc.

Biến liên tục không mặc nhiên có phân bố chuẩn.

Phải cộng tần số tương đối từ bảng, không được mặc định là 68% và 95%.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một kỹ sư giao thông của thành phố nghiên cứu dòng xe tại nút giao gần tòa nhà hành chính. Trong 10 ngày liên tiếp, mỗi ngày kỹ sư ghi lại bốn đại lượng sau: (I) số ô tô rẽ trái trong khung giờ cao điểm buổi sáng; (II) thời gian một xe phải chờ ở đèn đỏ, đo bằng giây và làm tròn đến hàng đơn vị; (III) số vụ va chạm nhẹ xảy ra tại nút giao; (IV) loại phương tiện đông nhất trong ngày (xe máy, ô tô con, xe buýt).

aTrong bốn đại lượng trên, đại lượng nào là biến liên tục? Giải thích.
bĐại lượng (II) được làm tròn đến giây nên chỉ nhận các giá trị nguyên. Điều đó có làm nó trở thành biến rời rạc hay không? Giải thích.

1Bước 1: Trước hết loại các đại lượng không phải biến định lượng. Đại lượng (IV) ghi lại một loại phương tiện, tức là một nhãn phân loại chứ không phải một con số đo được, nên đó là biến định tính (categorical variable) và không thể là biến liên tục.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · bài “Biến (phân loại & định lượng)” — khoá AP Statistics

Dẫn tớibiến ngẫu nhiên liên tục

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

biến rời rạcdiscrete variable

Khác nhau ở đâuBiến liên tục nhận mọi giá trị trong một khoảng (đo lường), còn biến rời rạc chỉ nhận các giá trị đếm được riêng lẻ

Hay nhầm khiđề hỏi phân loại biến như 'số giày' hay 'chiều cao' — học sinh hay nhầm vì cả hai đều là số

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 312–313.

Ý tưởng về biến liên tục lớn dần trong lý thuyết xác suất từ cuối thế kỷ 17, khi Isaac Newton nhận ra số trường hợp đồng khả năng không nhất thiết hữu hạn mà có thể trải kín cả một khoảng trên trục số; phải đến thế kỷ 19–20, với Pafnuty Chebyshev và Andrei Kolmogorov, khái niệm mới có tên gọi và nền tảng chặt chẽ.

Buổi đầu của lý thuyết xác suất chỉ làm việc với các trường hợp đếm được: mặt xúc xắc, mặt đồng xu, số lần thắng thua. Newton là người nhận ra rằng ý tưởng "các khả năng đồng khả năng" không buộc phải dừng ở số hữu hạn, vì một khoảng trên trục số cũng chứa vô hạn khả năng. Nhận xét đó mở đường cho việc nghiên cứu các đại lượng đo được như chiều cao, cân nặng hay thời gian. Về sau, Chebyshev đặt tên cho biến ngẫu nhiên (random variable), còn Kolmogorov dựng hệ tiên đề giúp định nghĩa và chứng minh chặt chẽ những gì trước đó mới chỉ là trực giác.

Vì sao mang đúng cái tên này? Chữ "biến" đi vào toán học rất sớm: Leibniz đã dùng từ Latin tương ứng với "variable" từ năm 1692, dù nghĩa khi ấy chưa giống nghĩa hiện đại vì quan niệm về hàm số của ông cũng chưa phải quan niệm ngày nay. Phần "liên tục" mới là phần mang thông tin: một đại lượng được gọi là liên tục khi giữa hai giá trị bất kỳ của nó luôn còn giá trị khác nằm xen vào, tức là dãy giá trị không hề có chỗ đứt. Do đó cái tên mô tả đúng hình dạng của tập giá trị chứ không mô tả cách đo đạc. Ngược lại, một đại lượng được gọi là rời rạc (discrete) quanh một giá trị nếu hai bên giá trị đó có khoảng trống không chứa giá trị nào khác mà nó nhận được. Chính sự đối lập "có khe hở" và "không có khe hở" này giải thích vì sao hai loại biến phải được mô tả bằng hai kiểu phân bố xác suất khác nhau. Với biến liên tục, xác suất không gán cho từng điểm mà gán cho từng khoảng thông qua hàm mật độ xác suất (probability density function), và vì vậy các công cụ của giải tích (calculus) trở thành ngôn ngữ tự nhiên để làm việc với chúng.

Kéo hai vạch sát lại rồi phóng to — giữa chúng vẫn còn số đo mới

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mẹo phòng thi

Với câu hỏi "Which of the following describes a continuous variable?", hãy quét từ khóa mở đầu mỗi phương án.

Khi giải thích tính liên tục, phải nêu rõ giữa hai giá trị bất kỳ luôn có giá trị khác.

Trong bài đối chiếu với quy tắc thực nghiệm, hãy viết rõ từng khoảng bằng số trước khi cộng.

Tần suất trong đề AP StatisticsHay gặp

2Bước 2: Tiếp theo, xét các đại lượng đếm được. Đại lượng (I) và (III) đều trả lời câu hỏi "bao nhiêu", nên tập giá trị của chúng là

0, 1, 2, 3, \dots

Giữa hai giá trị liền nhau như 14 và 15 xe không tồn tại giá trị trung gian nào có nghĩa, vì vậy cả hai là biến rời rạc (discrete variable).

3Bước 3: Còn lại đại lượng (II). Thời gian chờ là một đại lượng đo được trên thang liên tục: về nguyên tắc một xe có thể chờ 12 giây, 12,4 giây hay 12,47 giây, và giữa hai giá trị bất kỳ luôn chèn thêm được một giá trị nữa. Tập giá trị khả dĩ là cả một khoảng số thực, chẳng hạn

0 \le x \le 120

, nên đây chính là biến liên tục.

4Bước 4: Với ý (b), cần phân biệt bản chất của đại lượng và độ chính xác của dụng cụ đo. Việc làm tròn đến giây chỉ là giới hạn của phép ghi số liệu; đại lượng được đo vẫn có thể nhận mọi giá trị trong một khoảng. Do đó (II) vẫn được xem là biến liên tục, và trên đề thi mọi đại lượng thời gian, khối lượng, chiều dài, nhiệt độ đều được xếp vào loại này dù số liệu ghi ra trông rất "tròn".

Chỉ có đại lượng (II) — thời gian một xe chờ ở đèn đỏ — là biến liên tục, vì nó nhận được mọi giá trị trong một khoảng số thực. Hai đại lượng (I) và (III) là biến rời rạc do chúng đếm số xe và số vụ va chạm, còn (IV) là biến định tính. Việc thời gian chờ bị làm tròn đến giây không làm thay đổi kết luận, bởi phép làm tròn thuộc về cách ghi số liệu chứ không thuộc về bản chất của đại lượng được đo.

2Ví dụ 2/2

Trung bình và độ lệch chuẩn (standard deviation) của mẫu số liệu thu được trên một biến liên tục

x

lần lượt là

-0{,}25

và

0{,}03

. Bảng sau cho tần số tương đối của số liệu trong từng khoảng:

-0{,}34 \le x < -0{,}31

ứng với 0,02;

-0{,}31 \le x < -0{,}28

ứng với 0,15;

-0{,}28 \le x < -0{,}25

ứng với 0,33;

-0{,}25 \le x < -0{,}22

ứng với 0,36;

-0{,}22 \le x < -0{,}19

ứng với 0,11;

-0{,}19 \le x < -0{,}16

ứng với 0,03.

aVì sao số liệu của $x$ được trình bày theo các khoảng chứ không theo từng giá trị riêng lẻ?
bTính tỉ lệ số liệu nằm trong khoảng cách trung bình không quá một độ lệch chuẩn và không quá hai độ lệch chuẩn.
cDựa vào bảng, số liệu có ủng hộ việc dùng mô hình chuẩn (normal model) để xấp xỉ đặc trưng của tổng thể hay không?

1Bước 1: Vì

x

liên tục nên tập giá trị của nó là cả một khoảng số thực; xác suất để hai quan trắc trùng khít nhau tại một giá trị cụ thể gần như bằng không. Nếu lập bảng theo từng giá trị riêng lẻ thì hầu hết các giá trị chỉ xuất hiện đúng một lần và bảng sẽ không cho thấy hình dạng phân bố. Do đó số liệu phải được gom vào các nhóm có bề rộng bằng nhau, ở đây mỗi nhóm rộng

0{,}03

, đúng bằng một độ lệch chuẩn.

2Bước 2: Xác định các mốc theo trung bình và độ lệch chuẩn:

\bar{x} \pm s = -0{,}25 \pm 0{,}03

, cho khoảng từ

-0{,}28

đến

-0{,}22

; còn

\bar{x} \pm 2s = -0{,}25 \pm 0{,}06

, cho khoảng từ

-0{,}31

đến

-0{,}19

. Nhờ bề rộng nhóm bằng đúng

s

nên các mốc này trùng khít với biên của các nhóm trong bảng, không phải nội suy.

3Bước 3: Cộng các tần số tương đối trong từng khoảng. Trong

\bar{x} \pm s

có

0{,}33 + 0{,}36 = 0{,}69

, tức khoảng

69\%

số liệu. Trong

\bar{x} \pm 2s

có

0{,}15 + 0{,}33 + 0{,}36 + 0{,}11 = 0{,}95

, tức

95\%

. Nếu cộng cả hai nhóm ngoài cùng thì được

0{,}02 + 0{,}95 + 0{,}03 = 1{,}00

, nghĩa là toàn bộ số liệu nằm trong

\bar{x} \pm 3s

4Bước 4: So sánh ba con số vừa tính với quy tắc thực nghiệm (empirical rule) dành cho phân bố chuẩn: xấp xỉ

68\%

95\%

và

99{,}7\%

. Ở đây ta có

69\%

95\%

và

100\%

, sai lệch rất nhỏ. Ngoài ra bảng còn cho thấy phân bố gần đối xứng quanh trung bình, với hai nhóm giữa nặng nhất và hai đuôi mỏng dần.

5Bước 5: Cần loại bỏ hai lập luận sai thường gặp. Việc mọi giá trị của

x

đều âm không hề cản trở mô hình chuẩn, vì phân bố chuẩn trải trên toàn trục số. Việc tổng các tần số tương đối bằng

1{,}00

cũng không nói lên điều gì, bởi đó là tính chất đúng với mọi bảng tần số tương đối, dù phân bố có dạng nào đi nữa.

Số liệu được gom nhóm vì $x$ là biến liên tục nên từng giá trị riêng lẻ hầu như không lặp lại. Tỉ lệ số liệu nằm trong $\bar{x} \pm s$ là $0{,}69$ và trong $\bar{x} \pm 2s$ là $0{,}95$ . Hai tỉ lệ này bám sát các mốc $68\%$ và $95\%$ của quy tắc thực nghiệm, đồng thời phân bố gần đối xứng, nên số liệu ủng hộ việc dùng mô hình chuẩn để xấp xỉ đặc trưng của tổng thể.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.