Đang tải bài học…

AP Statistics

phân phối lệch trái

skewed left

Còn gọi: negatively skewed or left-skewed distribution

Phân phối lệch trái là phân phối không đối xứng có đuôi kéo dài về phía giá trị nhỏ, dữ liệu dồn bên phải, trung bình thường nhỏ hơn trung vị.

Một phân phối được gọi là lệch trái (skewed left) khi hình dạng của nó không đối xứng và phần đuôi mỏng kéo dài về phía trục hoành bên trái — tức là về phía các giá trị nhỏ. Điều này có nghĩa là phần lớn các quan sát nằm ở nửa phải của biểu đồ, trong khi chỉ một số ít giá trị thấp bất thường kéo đuôi sang trái. Trên biểu đồ tần số, đỉnh của phân phối nằm lệch hẳn về bên phải so với trung tâm (center) hình học.

Mối quan hệ giữa các đại lượng mô tả trở nên đặc biệt quan trọng khi phân phối lệch trái. Do một số ít giá trị ngoại lai nhỏ kéo trung bình về phía trái, trung bình thường nhỏ hơn trung vị, và trung vị nhỏ hơn yếu vị. Vì vậy, bất đẳng thức $\bar{x} < M_e < M_o$ thường được dùng như dấu hiệu nhận biết phân phối lệch trái trong bài thi. Hơn nữa, do trung bình nhạy cảm với các giá trị cực đoan hơn trung vị, nên trong phân phối lệch trái, trung vị thường là thước đo trung tâm (center) phù hợp hơn.

Việc liên hệ với những tình huống thực tế sẽ giúp thí sinh ghi nhớ lâu hơn. Ví dụ điển hình thường gặp trong đề thi là điểm của một bài kiểm tra dễ: hầu hết học sinh đạt điểm cao, nhưng vẫn có một nhóm nhỏ đạt điểm rất thấp kéo đuôi sang trái. Tương tự, tuổi thọ của một thiết bị điện tử chất lượng cao cũng có xu hướng lệch trái vì phần lớn thiết bị hoạt động đến cuối vòng đời dự kiến, trong khi chỉ một số ít bị hỏng sớm. Nhờ đó, thí sinh có thể xác định hình dạng phân phối ngay cả khi không có biểu đồ.

Ký hiệu

\bar{x} < M_e < M_o

Trực giác: Hãy hình dung một lớp thi thử môn Toán với đề rất dễ: gần như cả lớp được 9–10 điểm, chỉ vài bạn không ôn bài bị 2–3 điểm — mấy bạn đó kéo cái đuôi biểu đồ sang tận bên trái.

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1895Karl Pearson

Khái niệm độ lệch (skewness) của phân phối được Karl Pearson đưa ra năm 1895, khi thống kê cần một cách mô tả những tập dữ liệu thực tế không đối xứng như đường cong hình chuông; "lệch trái" là một trong hai hướng lệch mà ông phân biệt.

Cuối thế kỷ 19, khi thống kê toán học bắt đầu được xây dựng thành một ngành riêng, người ta nhận ra rằng dữ liệu thu từ đời sống hiếm khi trải đều hai bên trung bình như mô hình lý tưởng. Năm 1895, Karl Pearson đưa ra khái niệm độ lệch để đo chính sự mất cân xứng ấy, và ông xây dựng cách tính dựa trên khoảng cách giữa hai số đo xu thế trung tâm, chia cho độ lệch chuẩn (standard deviation) để kết quả không phụ thuộc đơn vị đo. Nhờ đó, thay vì chỉ nói "phân phối này không đối xứng", nhà nghiên cứu có được một con số có dấu: dấu âm chỉ về một phía, dấu dương chỉ về phía kia. Từ nền móng đó, các thế hệ sau tiếp tục phát triển công cụ xử lý dữ liệu không chuẩn, nhưng cách gọi tên hai hướng lệch thì giữ nguyên đến nay.

Thử nghiệm tương tác

Kéo vài chấm ở mép trái ra xa — nhìn đuôi dài ra và trung bình tụt theo

Hay hiểu sai

Lệch trái là đuôi kéo về bên trái, không phải khối dữ liệu nằm bên trái.

Trong phân phối lệch trái, trung bình thường nhỏ hơn trung vị, không phải ngược lại.

Với phân phối lệch, phải mô tả tâm bằng trung vị (median) và độ phân tán bằng khoảng tứ phân vị (IQR).

Không thể kết luận dạng phân phối chỉ từ vài con số tóm tắt.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một giáo viên cho lớp 20 học sinh làm bài kiểm tra 20 câu, mỗi câu đúng được 1 điểm. Kết quả (đã sắp xếp tăng dần) như sau: 4, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 19, 19, 20.

aTính trung vị và trung bình của bộ dữ liệu, rồi dựa vào quan hệ giữa hai số này để nhận xét về hình dạng phân phối.
bTính tứ phân vị thứ nhất, tứ phân vị thứ ba và kiểm tra xem có quan sát nào bị coi là bất thường theo quy tắc 1,5 lần khoảng tứ phân vị hay không.
cNếu phải báo cáo một số đo trung tâm và một số đo độ phân tán cho bộ điểm này, em chọn cặp nào? Giải thích.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · bài “Đồ thị cho một biến định lượng” — khoá AP Statistics

Dẫn tớithống kê mô tả

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

phân phối lệch phảiskewed right

Khác nhau ở đâuLệch trái có đuôi dài vươn về phía giá trị nhỏ và khối dữ liệu dồn bên phải; lệch phải thì ngược lại — đuôi dài vươn về phía giá trị lớn

Hay nhầm khikhi đọc histogram, học sinh hay nhầm hướng lệch vì tưởng phía có nhiều dữ liệu hơn là hướng lệch, trong khi quy ước gọi tên theo phía đuôi dài

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 50, 98, 152.

Vì sao mang đúng cái tên này? Cái tên gây hiểu lầm nhiều nhất trong thống kê mô tả, vì nó đặt theo cái đuôi chứ không theo phần thân dữ liệu. Một phân phối được gọi là lệch trái khi đuôi trái (left tail) kéo dài và mỏng, còn khối dữ liệu dồn về bên phải — nghĩa là đồ thị nhìn như đang nghiêng sang phải, trái hẳn với điều tên gọi gợi ra. Chữ "trái" ở đây chỉ hướng mà cái đuôi vươn ra, và cũng là hướng mà trung bình bị kéo lệch khỏi tâm dữ liệu. Vì đuôi đó vươn về phía số nhỏ, tức phía âm của trục số, dạng phân phối này còn mang tên lệch âm (negatively skewed), khớp với dấu âm của giá trị độ lệch tính được.

Kéo vài chấm ở mép trái ra xa — nhìn đuôi dài ra và trung bình tụt theo

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mẹo phòng thi

Mô tả phân phối phải đủ bốn phần: hình dạng, tâm, độ phân tán và giá trị bất thường.

Đừng dùng chữ "biased" hay "negative" thay cho "skewed left" khi mô tả hình dạng.

Khi so sánh hai phân phối, phải viết câu có từ so sánh chứ không mô tả rời từng nhóm.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

Dữ liệu đã được sắp xếp sẵn nên ta đếm ngay vị trí giữa. Với

n = 20

quan sát, trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 10 và thứ 11, tức là

M = \frac{16 + 16}{2} = 16

. Nói cách khác, một nửa lớp đạt từ 16 điểm trở lên, cho thấy khối điểm tập trung khá cao.

2Bước 2: Tiếp theo ta cộng toàn bộ 20 điểm:

4+7+9+11+12+13+14+15+15+16+16+17+17+17+18+18+18+19+19+20 = 295

. Do đó trung bình là

\bar{x} = \frac{295}{20} = 14{,}75

. So sánh với trung vị, ta thấy

\bar{x} = 14{,}75 < M = 16

3Bước 3: Khoảng cách giữa hai số đo này không phải ngẫu nhiên. Vài học sinh có điểm rất thấp (4, 7, 9) kéo trung bình đi xuống, trong khi trung vị chỉ quan tâm đến vị trí nên gần như không đổi. Vì vậy đuôi bên trái dài hơn đuôi bên phải, và ta kết luận phân phối điểm bị lệch trái.

4Bước 4: Sang ý (b), ta chia đôi bộ dữ liệu tại trung vị. Nửa dưới gồm 4, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 15, 16 nên

Q_1 = \frac{12 + 13}{2} = 12{,}5

; nửa trên gồm 16, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 19, 19, 20 nên

Q_3 = \frac{18 + 18}{2} = 18

. Suy ra khoảng tứ phân vị (interquartile range) là

IQR = 18 - 12{,}5 = 5{,}5

5Bước 5: Áp dụng quy tắc rào chắn:

Q_1 - 1{,}5 \times IQR = 12{,}5 - 8{,}25 = 4{,}25

và

Q_3 + 1{,}5 \times IQR = 18 + 8{,}25 = 26{,}25

. Điểm 4 nằm dưới 4,25 nên đây là một giá trị ngoại lai (outlier); điểm 7 thì không, vì

7 > 4{,}25

. Phía trên không có quan sát nào vượt 26,25, điều này hoàn toàn phù hợp với một phân phối chỉ có đuôi trái.

6Bước 6: Cuối cùng, vì phân phối lệch và có giá trị ngoại lai, trung bình và độ lệch chuẩn (standard deviation) đều bị kéo theo quan sát cực trị. Trung vị và khoảng tứ phân vị thì được xác định bằng thứ tự nên bền vững hơn nhiều. Do đó cặp số đo nên báo cáo là trung vị 16 điểm và

IQR = 5{,}5

điểm.

Phân phối 20 điểm kiểm tra bị lệch trái: trung bình 14,75 nhỏ hơn trung vị 16 vì vài điểm thấp kéo đuôi về phía bên trái, trong đó điểm 4 là giá trị ngoại lai theo quy tắc 1,5 lần khoảng tứ phân vị. Do hình dạng lệch và có quan sát cực trị, ta nên mô tả bộ điểm bằng trung vị 16 điểm và khoảng tứ phân vị 5,5 điểm thay vì trung bình và độ lệch chuẩn.

2Ví dụ 2/2

Một nhà máy đo tuổi thọ (tính bằng tháng) của 60 chiếc pin cùng loại và tóm tắt kết quả bằng tóm tắt năm số (five-number summary): giá trị nhỏ nhất 2, tứ phân vị thứ nhất 34, trung vị 45, tứ phân vị thứ ba 50, giá trị lớn nhất 55. Học sinh chỉ được nhìn bản tóm tắt này chứ không có dữ liệu gốc.

aChỉ dựa vào năm con số trên, hãy cho biết phân phối tuổi thọ pin có hình dạng nào và giải thích bằng phép tính cụ thể.
bDự đoán trung bình lớn hơn hay nhỏ hơn trung vị, và mô tả dáng đi của biểu đồ tần suất tích lũy tương ứng.

1Bước 1: Cách so sánh đơn giản nhất là đo độ dài hai nửa quanh trung vị. Ta có

M - Q_1 = 45 - 34 = 11

trong khi

Q_3 - M = 50 - 45 = 5

, nghĩa là một phần tư dữ liệu ngay dưới trung vị trải rộng gấp hơn hai lần một phần tư ngay trên nó.

2Bước 2: Hai râu của biểu đồ hộp còn cho tín hiệu rõ hơn nữa. Râu trái dài

Q_1 - \min = 34 - 2 = 32

tháng, còn râu phải chỉ dài

\max - Q_3 = 55 - 50 = 5

tháng. Vì cả nửa hộp bên trái lẫn râu trái đều dài hơn hẳn phía bên phải, phân phối tuổi thọ pin bị lệch trái.

3Bước 3: Từ hình dạng đó ta suy ra ngay quan hệ giữa hai số đo trung tâm. Một nhóm nhỏ pin hỏng sớm, nằm rải rác từ 2 đến 34 tháng, sẽ kéo trung bình xuống dưới trung vị, nên dự đoán

\bar{x} < 45

tháng. Ngược lại, trung vị vẫn đứng yên vì nó chỉ đếm số quan sát chứ không quan tâm các giá trị đó nhỏ đến đâu.

4Bước 4: Cuối cùng, biểu đồ tần suất tích lũy (cumulative relative frequency plot) sẽ phản ánh cùng một câu chuyện theo cách khác. Đường cong đi lên rất chậm trong khoảng từ 2 đến 34 tháng vì ở đó dữ liệu thưa, rồi dựng đứng trong khoảng 34 đến 50 tháng nơi tập trung phần lớn số pin. Dáng thoải ở bên trái và dốc ở bên phải chính là chữ ký của một phân phối lệch trái.

Phân phối tuổi thọ của 60 chiếc pin bị lệch trái, vì nửa dưới của hộp dài 11 tháng so với 5 tháng của nửa trên và râu trái dài 32 tháng so với 5 tháng của râu phải. Nhờ vậy ta dự đoán tuổi thọ trung bình nhỏ hơn trung vị 45 tháng, và biểu đồ tần suất tích lũy sẽ lên thoải ở vùng tuổi thọ thấp rồi dốc mạnh ở vùng gần 45–50 tháng.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.