Đang tải bài học…

AP Statistics

khoảng biến thiên

range

Còn gọi: biên độ · khoảng

Khoảng biến thiên là số đo độ phân tán đơn giản nhất của một tập dữ liệu, được tính bằng hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Trong thống kê mô tả, người ta cần một con số tóm tắt mức độ trải rộng của dữ liệu. Khoảng biến thiên đáp ứng nhu cầu đó theo cách trực tiếp nhất: nếu gọi giá trị lớn nhất là $x_{\max}$ và giá trị nhỏ nhất là $x_{\min}$ , thì khoảng biến thiên được tính theo công thức

$R = x_{\max} - x_{\min}$

Trong đó $R$ mang cùng đơn vị với dữ liệu gốc. Công thức này cho biết toàn bộ dữ liệu nằm gọn trong một đoạn dài bao nhiêu trên trục số.

Tuy đơn giản và dễ tính, khoảng biến thiên có một hạn chế quan trọng: nó chỉ dựa vào hai quan sát ở hai đầu mút, nên rất nhạy cảm với giá trị ngoại lai (outlier). Một quan sát bất thường duy nhất có thể khiến $R$ tăng vọt mà không phản ánh đúng sự phân tán của phần lớn dữ liệu. Vì vậy, khi bộ số liệu có ngoại lai, các nhà thống kê thường ưu tiên dùng khoảng tứ phân vị (interquartile range) thay thế, vì đại lượng này bỏ qua 25% giá trị ở mỗi đầu và chỉ đo phần giữa của phân phối.

Một tính chất đáng chú ý khi biến đổi đơn vị đo: cộng một hằng số vào mọi quan sát không làm thay đổi khoảng biến thiên, bởi vì hiệu $x_{\max} - x_{\min}$ triệt tiêu hằng số đó. Ngược lại, nhân mọi quan sát với một hằng số $k$ sẽ nhân $R$ với $|k|$ . Tính chất này tương tự với độ lệch chuẩn (standard deviation) và giúp kiểm tra nhanh kết quả khi đổi đơn vị đo lường.

Ký hiệu

R = x_{\max} - x_{\min}

Trực giác: Khoảng biến thiên giống như chiều dài của cái thước đủ để phủ hết toàn bộ dữ liệu từ điểm nhỏ nhất đến điểm lớn nhất.

Công thức

\text{Range} = \htmlClass{fp-1}{x_{\max}} - \htmlClass{fp-0}{x_{\min}}

Dùng để đo mức độ phân tán thô của một tập dữ liệu; tính ngay khi cần so sánh nhanh độ trải rộng giữa hai nhóm, hoặc khi đề cho tóm tắt năm số (five-number summary) và hỏi khoảng biến thiên.

Trong đó

x_{\max}

Giá trị lớn nhất trong tập dữ liệu

x_{\min}

Giá trị nhỏ nhất trong tập dữ liệu

Thử nghiệm tương tác

Kéo chấm ngoài cùng ra xa — nhìn thanh nối hai đầu dài ra, còn khoảng tứ phân vị thì đứng yên

Hay hiểu sai

Khoảng biến thiên là một số, không phải một khoảng "từ … đến …".

Đừng nhầm khoảng biến thiên với khoảng tứ phân vị (interquartile range).

Chỉ một giá trị ngoại lai (outlier) là khoảng biến thiên đổi hẳn.

Trên biểu đồ ghép nhóm, khoảng biến thiên chỉ ước lượng được chứ không đọc chính xác.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một phòng khám ghi lại thời gian chờ (tính bằng phút) của 20 bệnh nhân trong buổi sáng thứ Hai. Kết quả được tóm tắt trong bảng tần số sau: thời gian 5 phút có 3 bệnh nhân, 8 phút có 4 bệnh nhân, 12 phút có 5 bệnh nhân, 15 phút có 4 bệnh nhân, 18 phút có 2 bệnh nhân, 25 phút có 1 bệnh nhân và 40 phút có 1 bệnh nhân.

aTìm tóm tắt năm số (five-number summary) và khoảng biến thiên của bộ dữ liệu.
bDùng quy tắc 1,5·IQR để kiểm tra xem có giá trị ngoại lai (outlier) hay không.
cNếu loại bỏ giá trị ngoại lai tìm được ở ý (b), khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị (interquartile range) thay đổi ra sao? Nhận xét gì về độ nhạy của hai đại lượng này?

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyDữ liệu một biến & thu thập dữ liệu · bài “Thống kê mô tả cho một biến định lượng” — khoá AP Statistics

Cần trướcdữ liệu định lượng

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

khoảng tứ phân vịinterquartile range

Khác nhau ở đâuKhoảng biến thiên lấy hiệu giá trị lớn nhất và nhỏ nhất nên rất nhạy với giá trị ngoại lệ, trong khi khoảng tứ phân vị chỉ đo độ rộng của 50% dữ liệu ở giữa nên bền vững hơn

Hay nhầm khiđề hỏi số đo độ phân tán nào phù hợp khi phân phối lệch hoặc có giá trị ngoại lệ

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 100, 115, 120.

Kéo chấm ngoài cùng ra xa — nhìn thanh nối hai đầu dài ra, còn khoảng tứ phân vị thì đứng yên

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mẹo phòng thi

Viết rõ phép trừ kèm đơn vị, đừng chỉ ghi mỗi đáp số.

Khi câu hỏi yêu cầu mô tả phân bố, đừng dùng khoảng biến thiên một mình.

Trong câu so sánh hai nhóm, kiểm tra xem đề đang hỏi độ phân tán hay hỏi hai giá trị cực trị.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

Bước 1: Trước hết ta trải bảng tần số thành dãy số liệu đã sắp xếp để định vị được từng giá trị theo thứ hạng. Vì

n=20

, các vị trí được phân bố như sau: giá trị 5 chiếm vị trí 1–3, giá trị 8 chiếm vị trí 4–7, giá trị 12 chiếm vị trí 8–12, giá trị 15 chiếm vị trí 13–16, giá trị 18 chiếm vị trí 17–18, giá trị 25 ở vị trí 19 và giá trị 40 ở vị trí 20. Nhờ cách đánh vị trí này, ta không cần viết lại cả 20 số mà vẫn xác định được mọi phân vị.

2Bước 2: Với

n=20

chẵn, trung vị là trung bình của giá trị thứ 10 và thứ 11. Cả hai vị trí này đều rơi vào nhóm giá trị 12, nên

M=\dfrac{12+12}{2}=12

. Tiếp theo, nửa dưới gồm 10 giá trị đầu nên

Q_1

là trung bình của giá trị thứ 5 và thứ 6, tức

Q_1=8

; nửa trên gồm 10 giá trị cuối nên

Q_3

là trung bình của giá trị thứ 15 và thứ 16, tức

Q_3=15

. Kết hợp với giá trị nhỏ nhất là 5 và lớn nhất là 40, ta có tóm tắt năm số là

\{5,\;8,\;12,\;15,\;40\}

3Bước 3: Khoảng biến thiên chỉ dùng hai đầu mút của dãy số liệu:

R=x_{\max}-x_{\min}=40-5=35.

Con số 35 phút nói rằng bệnh nhân chờ lâu nhất phải đợi hơn bệnh nhân chờ nhanh nhất đúng 35 phút; đó là toàn bộ bề rộng mà dữ liệu trải ra. Lưu ý rằng đáp án phải là một số duy nhất kèm đơn vị, chứ không phải viết "từ 5 đến 40 phút" — cách viết sau là mô tả miền giá trị, không phải khoảng biến thiên.

4Bước 4: Sang ý (b), ta tính

IQR=Q_3-Q_1=15-8=7

phút, rồi dựng hai hàng rào theo quy tắc quen thuộc. Hàng rào dưới là

Q_1-1{,}5(IQR)=8-1{,}5(7)=8-10{,}5=-2{,}5

, và không có giá trị nào nhỏ hơn số này. Hàng rào trên là

Q_3+1{,}5(IQR)=15+1{,}5(7)=15+10{,}5=25{,}5

, mà giá trị 40 vượt qua mốc đó. Vì vậy bộ dữ liệu có đúng một giá trị ngoại lai là 40 phút.

5Bước 5: Ở ý (c), sau khi bỏ giá trị 40, dãy còn

n=19

số với giá trị lớn nhất mới là 25. Khoảng biến thiên tụt xuống còn

R'=25-5=20

phút, tức mất đi 15 phút chỉ vì một quan sát duy nhất bị loại. Trong khi đó, trung vị vẫn là giá trị thứ 10 và bằng 12,

Q_1

vẫn là giá trị thứ 5 và bằng 8,

Q_3

vẫn là giá trị thứ 15 và bằng 15, nên

IQR'=15-8=7

hoàn toàn không đổi. Do đó khoảng biến thiên rất nhạy với giá trị ngoại lai, còn khoảng tứ phân vị thì kháng cự được với chúng.

Tóm tắt năm số của thời gian chờ là $\{5,\;8,\;12,\;15,\;40\}$ với khoảng biến thiên $R=35$ phút và $IQR=7$ phút. Theo quy tắc 1,5·IQR, thời gian 40 phút là giá trị ngoại lai duy nhất vì nó vượt hàng rào trên 25,5 phút. Khi loại bệnh nhân này ra, khoảng biến thiên rơi từ 35 phút xuống 20 phút còn khoảng tứ phân vị vẫn giữ nguyên 7 phút; điều đó cho thấy nếu muốn mô tả độ phân tán ổn định của thời gian chờ tại phòng khám thì nên báo cáo $IQR$ , còn khoảng biến thiên chỉ nên dùng kèm để cho biết trường hợp xấu nhất cách trường hợp tốt nhất bao xa.

2Ví dụ 2/2

Một nhóm học sinh đo nhiệt độ đông đặc của một chất lỏng chưa biết tên và thu được 15 kết quả tính theo độ Celsius. Giá trị nhỏ nhất trong 15 lần đo là

18{,}4^\circ\text{C}

và giá trị lớn nhất là

30{,}9^\circ\text{C}

aTính khoảng biến thiên của bộ số liệu theo độ Celsius.
bĐổi toàn bộ 15 kết quả sang độ Fahrenheit bằng công thức $F=1{,}8C+32$ . Khoảng biến thiên mới bằng bao nhiêu?
cSau đó nhóm phát hiện nhiệt kế bị lệch và phải cộng thêm $0{,}7^\circ\text{C}$ vào mọi kết quả gốc. Khoảng biến thiên theo độ Celsius thay đổi thế nào?

1Bước 1: Ý (a) chỉ đòi hỏi hiệu của hai đầu mút, nên ta áp dụng trực tiếp định nghĩa:

R=x_{\max}-x_{\min}=30{,}9-18{,}4=12{,}5.

Vậy 15 kết quả đo trải rộng trên một dải

12{,}5^\circ\text{C}

. Ta chưa cần biết 13 giá trị còn lại, vì khoảng biến thiên hoàn toàn không quan tâm tới những gì nằm giữa hai cực.

2Bước 2: Ở ý (b), phép đổi đơn vị

F=1{,}8C+32

là một phép biến đổi tuyến tính (linear transformation), nên ta chỉ cần đổi riêng hai đầu mút. Giá trị nhỏ nhất thành

1{,}8(18{,}4)+32=33{,}12+32=65{,}12

và giá trị lớn nhất thành

1{,}8(30{,}9)+32=55{,}62+32=87{,}62

. Vì hàm số đồng biến (hệ số

1{,}8>0

), số nhỏ nhất vẫn ánh xạ thành số nhỏ nhất và số lớn nhất vẫn thành số lớn nhất, nên thứ tự không bị đảo.

3Bước 3: Lấy hiệu hai đầu mút mới, ta được

R_F=87{,}62-65{,}12=22{,}5

độ Fahrenheit. Có thể kiểm tra nhanh bằng nhận xét tổng quát: nếu

y=a x+b

thì

R_y=|a|\cdot R_x

, ở đây

1{,}8\times 12{,}5=22{,}5

, khớp với kết quả vừa tính. Hằng số cộng thêm

b=32

đẩy cả hai đầu mút đi cùng một lượng nên bị triệt tiêu khi lấy hiệu, chỉ có hệ số nhân mới kéo giãn độ phân tán.

4Bước 4: Ý (c) là trường hợp riêng của nhận xét trên với

a=1

và

b=0{,}7

. Giá trị nhỏ nhất mới là

18{,}4+0{,}7=19{,}1

và giá trị lớn nhất mới là

30{,}9+0{,}7=31{,}6

, nên khoảng biến thiên vẫn là

31{,}6-19{,}1=12{,}5

. Việc hiệu chỉnh nhiệt kế làm dịch chuyển toàn bộ phân bố sang phải nhưng không làm các quan sát xa nhau thêm chút nào. Cùng lý lẽ đó, độ lệch chuẩn (standard deviation) và

IQR

cũng giữ nguyên, trong khi trung bình và trung vị đều tăng thêm

0{,}7

Theo thang Celsius, khoảng biến thiên của 15 phép đo là $12{,}5^\circ\text{C}$ . Khi đổi sang thang Fahrenheit, khoảng biến thiên trở thành $22{,}5$ độ Fahrenheit, đúng bằng $1{,}8$ lần giá trị cũ, vì phép nhân kéo giãn mọi khoảng cách còn phép cộng $32$ thì không. Ngược lại, việc cộng thêm $0{,}7^\circ\text{C}$ để hiệu chỉnh nhiệt kế giữ nguyên khoảng biến thiên ở $12{,}5^\circ\text{C}$ , cho thấy các đại lượng đo độ phân tán chỉ phản ứng với hệ số nhân chứ không phản ứng với việc dịch chuyển toàn bộ dữ liệu.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.