Đang tải bài học…

AP Statistics

giá trị quan sát

observed values

Giá trị quan sát (observed values) là số liệu thực tế đo hoặc đếm được từ dữ liệu, dùng làm cơ sở so sánh với giá trị lý thuyết dự đoán.

Trong thống kê, giá trị quan sát (observed values) là kết quả đo lường hoặc đếm trực tiếp từ dữ liệu thực tế. Khái niệm này xuất hiện ở nhiều nhánh khác nhau của chương trình, nhưng vai trò cốt lõi của nó là làm cơ sở để so sánh với một giá trị được tính toán theo lý thuyết. Do đó, sự chênh lệch giữa hai loại giá trị này chính là nơi suy luận thống kê bắt đầu.

Trong hồi quy tuyến tính, mỗi điểm dữ liệu $(x_i,\, y_i)$ có $y_i$ là giá trị quan sát, còn $\hat{y}_i$ là giá trị dự báo theo đường hồi quy (regression line). Phần dư được định nghĩa là $e_i = y_i - \hat{y}_i$ , tức là khoảng cách theo chiều đứng từ điểm thực tế đến đường thẳng. Vì vậy, phương pháp hồi quy bình phương tối thiểu chọn đường thẳng sao cho tổng $\sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2$ đạt giá trị nhỏ nhất, và toàn bộ ý nghĩa của phương pháp này đều xoay quanh việc thu hẹp khoảng cách giữa giá trị quan sát và giá trị dự báo.

Trong kiểm định Chi-square, giá trị quan sát $O$ là tần số thực đếm được trong từng ô của bảng phân phối, còn giá trị kỳ vọng $E$ là tần số lý thuyết tính dưới giả thuyết không (null hypothesis). Thống kê kiểm định (test statistic) được xây dựng từ hiệu của hai đại lượng này theo công thức $\chi^2 = \sum \dfrac{(O - E)^2}{E}$ , trong đó tổng lấy trên tất cả các ô. Nếu các giá trị quan sát xấp xỉ các giá trị kỳ vọng, thống kê này nhỏ và không đủ bằng chứng để bác bỏ giả thuyết không. Ngược lại, khi sai lệch lớn, thống kê tăng cao và giá trị p giảm, cho thấy dữ liệu khó xảy ra nếu giả thuyết không đúng.

Ký hiệu

• $O$ hoặc $y_i$ — trong kiểm định Chi-square ký hiệu $O$ chỉ tần số quan sát của một ô
•trong hồi quy $y_i$ chỉ giá trị thực của quan sát thứ $i$ .

Trực giác: Giá trị quan sát là chiều cao thực tế bạn đo được của từng học sinh trong lớp, khác với chiều cao trung bình mà sách giáo khoa dự đoán cho lứa tuổi đó.

Khái niệm này sinh ra từ đâu

cuối thế kỷ 16Tycho BraheEdward WrightSimon Stevin

Ý niệm "giá trị quan sát" hình thành từ công việc đo đạc trong thiên văn và hàng hải cuối thế kỷ 16, khi mỗi lần đo cùng một đại lượng lại cho một con số khác nhau và người ta buộc phải xử lý cả một dãy số đo thay vì tin vào một lần đo duy nhất.

Vào thế kỷ 16, các nhà thiên văn và nhà hàng hải liên tục vấp phải cùng một rắc rối: đo vị trí một thiên thể mười lần thì được mười kết quả lệch nhau. Tycho Brahe là người sớm đưa cách lấy trung bình vào thiên văn nhằm giảm sai số trong các ước lượng vị trí thiên thể, và việc tính toán trở nên dễ thở hơn sau khi Simon Stevin đề xuất hệ thập phân năm 1585. Ít lâu sau, trong cuốn sách về hàng hải "Certaine Errors in Navigation" (1599), Edward Wright bàn đến việc xác định vị trí bằng la bàn và cho rằng có một giá trị đáng tin nhất nằm giữa cả dãy số đo thu được. Từ đó, dãy con số thực sự đo được trở thành đối tượng nghiên cứu riêng, chứ không còn là thứ phải vứt bớt.

Thử nghiệm tương tác

Sửa một ô số đếm — nhìn cả bảng kỳ vọng nhúc nhích theo

Hay hiểu sai

Kiểm định khi bình phương dùng số đếm, không dùng phần trăm hay tỉ lệ.

Mẫu số trong công thức là giá trị kỳ vọng (expected values), không phải giá trị quan sát.

Điều kiện đếm lớn (large counts condition) kiểm tra trên giá trị kỳ vọng, không phải trên giá trị quan sát.

Giá trị quan sát luôn là số nguyên, còn giá trị kỳ vọng thì không cần làm tròn.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một cửa hàng theo dõi mối liên hệ giữa chi phí quảng cáo trong tuần (đơn vị: triệu đồng) và doanh thu tuần đó (đơn vị: chục triệu đồng). Ba tuần liên tiếp cho các cặp số liệu

(2,\ 11)

(3,\ 17)

và

(4,\ 29)

, trong đó

x

là chi phí quảng cáo còn

y

là doanh thu. Người quản lý muốn dùng một đường thẳng để mô tả xu hướng này.

aTìm phương trình đường hồi quy bình phương tối thiểu (least-squares regression line) của $y$ theo $x$ .
bVới mỗi giá trị quan sát, tính giá trị dự đoán và phần dư tương ứng.
cTổng bình phương các khoảng cách thẳng đứng từ ba điểm đến một đường thẳng bất kỳ nhỏ nhất bằng bao nhiêu? Giải thích ý nghĩa của con số đó.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyPhân tích hồi quy · bài “Phần dư (residuals)” — khoá AP Statistics

Dẫn tớikiểm định độ phù hợp phân phối chi bình phương

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

kỳ vọngexpected value

Khác nhau ở đâuGiá trị quan sát là số liệu thực tế thu được từ dữ liệu, còn kỳ vọng là số liệu lý thuyết tính từ giả thuyết hoặc mô hình

Hay nhầm khiđề yêu cầu lập bảng hoặc tính

\chi^2

: học sinh hay điền nhầm cột

O

và cột

E

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 178, 180, 441.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi xuất phát từ chính hành động quan sát: đây là những con số ta thật sự ghi được khi đo, đếm hay khảo sát, phân biệt với những con số mà lý thuyết bảo rằng "lẽ ra phải thấy". Thế đối lập ấy trở nên rõ ràng khi Christiaan Huygens đưa ra giá trị kỳ vọng (expected value) năm 1657 trong chuyên luận đầu tiên về xác suất: một bên là con số tính từ mô hình, một bên là con số thu về từ thực tế. Về sau, khi Ronald Fisher xây dựng nền móng cho kiểm định giả thuyết (hypothesis testing) trong "Statistical Methods for Research Workers" (1925), cách đặt vấn đề vẫn giữ nguyên tinh thần đó — người ta hỏi liệu giá trị quan sát được của một đại lượng thống kê có đáng ngạc nhiên hay không nếu giả thuyết là đúng, và câu trả lời được đo bằng giá trị p (p-value). Nhờ vậy, cụm từ tưởng chừng tầm thường này luôn hàm ý một sự đối chiếu: quan sát so với kỳ vọng.

Sửa một ô số đếm — nhìn cả bảng kỳ vọng nhúc nhích theo

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mẹo phòng thi

Viết cả bảng giá trị quan sát và bảng giá trị kỳ vọng ra giấy, kèm một phép tính mẫu.

Khi đề hỏi ô nào đóng góp nhiều nhất, so sánh $(O-E)^2/E$ chứ không so sánh hiệu $O-E$ .

Kết luận phải nhắc lại ngữ cảnh và không được nói kiểm định chỉ ra nhóm nào cao hơn.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

Bước 1: Trước hết cần gọi tên đúng từng đại lượng. Ba số

y_1=11

y_2=17

y_3=29

là các giá trị quan sát: đó là doanh thu thật sự đã xảy ra, đo được từ sổ sách chứ không do mô hình sinh ra. Mọi con số mà đường thẳng đưa ra sau này đều là ước lượng, và ta ký hiệu chúng bằng

\hat{y}

để không lẫn với

y

2Bước 2: Tính các đặc trưng của hai bộ số:

\bar{x}=\dfrac{2+3+4}{3}=3

và

\bar{y}=\dfrac{11+17+29}{3}=19

. Độ lệch của

x

là

-1,\ 0,\ 1

nên

s_x=\sqrt{\dfrac{2}{2}}=1

; độ lệch của

y

là

-8,\ -2,\ 10

nên

s_y=\sqrt{\dfrac{168}{2}}=\sqrt{84}\approx 9{,}165

. Tích chéo cho

\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=(-1)(-8)+0(-2)+(1)(10)=18

, do đó

r=\dfrac{18}{\sqrt{2\cdot 168}}\approx 0{,}982

3Bước 3: Áp dụng

b=r\dfrac{s_y}{s_x}=0{,}982\times\dfrac{9{,}165}{1}=9

, nghĩa là mỗi triệu đồng quảng cáo tăng thêm đi kèm doanh thu dự đoán tăng

9

chục triệu đồng. Vì đường hồi quy luôn đi qua điểm

(\bar{x},\bar{y})=(3,\ 19)

nên

a=19-9(3)=-8

. Vậy

\hat{y}=-8+9x

4Bước 4: Thay lần lượt từng

x

vào đường thẳng rồi lấy giá trị quan sát trừ đi giá trị dự đoán để được phần dư (residual): với

x=2

thì

\hat{y}_1=10

và

y_1-\hat{y}_1=1

; với

x=3

thì

\hat{y}_2=19

và

y_2-\hat{y}_2=-2

; với

x=4

thì

\hat{y}_3=28

và

y_3-\hat{y}_3=1

. Tổng ba phần dư bằng

1+(-2)+1=0

, đúng như tính chất của đường bình phương tối thiểu.

5Bước 5: Tổng bình phương các phần dư là

\sum (y_i-\hat{y}_i)^2=1^2+(-2)^2+1^2=6.

Đây chính là đại lượng mà đường hồi quy được thiết kế để làm nhỏ nhất, nên không một đường thẳng nào khác cho tổng nhỏ hơn

6

Đường hồi quy là $\hat{y}=-8+9x$ . Ứng với ba mức chi phí quảng cáo $2$ , $3$ , $4$ triệu đồng, mô hình dự đoán doanh thu $10$ , $19$ , $28$ chục triệu, trong khi doanh thu quan sát được là $11$ , $17$ , $29$ chục triệu; sai lệch lần lượt là $+1$ , $-2$ , $+1$ chục triệu. Tuần thứ hai mô hình dự đoán cao hơn thực tế, hai tuần còn lại dự đoán thấp hơn thực tế. Giá trị nhỏ nhất có thể của tổng bình phương các khoảng cách thẳng đứng là $6$ , đạt được đúng tại đường hồi quy này.

2Ví dụ 2/2

Một trường trung học lấy ngẫu nhiên 200 học sinh và hỏi mỗi em chọn môn nào cho câu lạc bộ buổi chiều. Kết quả được phân loại đồng thời theo giới tính và theo môn được chọn: trong 100 học sinh nam có 40 em chọn Toán, 30 em chọn Văn, 30 em chọn Anh; trong 100 học sinh nữ có 20 em chọn Toán, 40 em chọn Văn, 40 em chọn Anh. Nhà trường muốn biết giới tính và lựa chọn môn có độc lập với nhau hay không.

aNêu giả thuyết và lập bảng giá trị kỳ vọng, đồng thời kiểm tra điều kiện của kiểm định.
bTính thống kê kiểm định từ các giá trị quan sát và kết luận ở mức ý nghĩa $\alpha=0{,}05$ .

1Bước 1: Sáu con số

40,\ 30,\ 30,\ 20,\ 40,\ 40

là các giá trị quan sát: chúng là số học sinh đếm được thật trong mẫu. Giả thuyết không

H_0

phát biểu rằng giới tính và lựa chọn môn độc lập với nhau, còn

H_a

nói rằng hai đặc điểm này có liên hệ. Điều cần làm là dựng lên bộ số mà

H_0

tiên đoán rồi so nó với bộ số đã đếm.

2Bước 2: Tổng theo cột lần lượt là

40+20=60

(Toán),

30+40=70

(Văn),

30+40=70

(Anh); tổng theo hàng đều bằng

100

và

n=200

. Giá trị kỳ vọng (expected counts) của mỗi ô tính theo

E=\frac{(\text{row total})(\text{col total})}{n}.

Do đó cột Toán cho

E=\dfrac{100\times 60}{200}=30

, còn hai cột Văn và Anh cho

E=\dfrac{100\times 70}{200}=35

; bảng kỳ vọng là

30,\ 35,\ 35

ở cả hàng nam lẫn hàng nữ.

3Bước 3: Mẫu được lấy ngẫu nhiên và mọi giá trị kỳ vọng đều lớn hơn

5

(

30

và

35

), nên điều kiện dùng phân phối khi bình phương được thỏa mãn. Nhờ đó ta được phép tiến hành tính toán ở bước sau.

4Bước 4: Áp dụng

\chi^2=\sum\dfrac{(O-E)^2}{E}

, trong đó

O

là giá trị quan sát và

E

là giá trị kỳ vọng. Hàng nam đóng góp

\dfrac{(40-30)^2}{30}+\dfrac{(30-35)^2}{35}+\dfrac{(30-35)^2}{35}=3{,}333+0{,}714+0{,}714=4{,}762

. Hàng nữ có các sai lệch

-10,\ +5,\ +5

nên đóng góp đúng bằng

4{,}762

, và tổng cộng

\chi^2\approx 9{,}52

5Bước 5: Bậc tự do (degrees of freedom) là

df=(2-1)(3-1)=2

. Tra bảng, giá trị tới hạn ở mức

0{,}05

với

df=2

là

5{,}991

; vì

9{,}52>5{,}991

nên giá trị p (P-value) nhỏ hơn

0{,}05

— cụ thể

p\approx 0{,}009

. Ta bác bỏ

H_0

Vì $\chi^2\approx 9{,}52$ với $df=2$ cho $p\approx 0{,}009<0{,}05$ , có bằng chứng thuyết phục rằng giới tính và lựa chọn môn câu lạc bộ không độc lập với nhau ở trường này. Nguồn đóng góp lớn nhất vào thống kê là ô Toán: nam có 40 em chọn trong khi mô hình độc lập chỉ tiên đoán 30 em, còn nữ chỉ có 20 em so với 30 em tiên đoán. Nói cách khác, chính khoảng cách giữa giá trị quan sát và giá trị kỳ vọng ở hai ô này đã dẫn tới kết luận bác bỏ.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.