Đang tải bài học…

AP Statistics

phần dư

residual

Còn gọi: số dư · y − ŷ · sai số dự đoán

Phần dư là hiệu số giữa giá trị quan sát thực tế và giá trị dự đoán từ đường hồi quy, đo mức độ lệch của từng điểm dữ liệu so với mô hình.

Trong hồi quy tuyến tính, mô hình chỉ có thể dự đoán xu hướng chung, không thể tái tạo chính xác từng quan sát. Vì vậy, với mỗi điểm dữ liệu, luôn tồn tại một khoảng chênh lệch giữa giá trị thực $y$ và giá trị mà đường hồi quy (regression line) ước tính $\hat{y}$ . Khoảng chênh lệch đó được gọi là phần dư (residual) và được tính theo công thức

$e = y - \hat{y}$

trong đó $y$ là giá trị quan sát (observed values), $\hat{y}$ là giá trị dự đoán tương ứng, và $e$ là phần dư. Nếu phần dư dương thì điểm dữ liệu nằm trên đường hồi quy; ngược lại, nếu phần dư âm thì điểm nằm dưới đường này.

Do đó, phần dư đóng vai trò trung tâm (center) trong việc đánh giá chất lượng mô hình. Cụ thể, đường hồi quy bình phương tối thiểu (least-squares regression line) được xây dựng bằng cách cực tiểu hóa $\sum e_i^2$ , tức tổng bình phương các phần dư, nhờ đó không đường thẳng nào khác có tổng bình phương nhỏ hơn. Hệ quả tất yếu của việc này là tổng tất cả phần dư luôn bằng không: $\sum e_i = 0$ .

Trên nền tảng đó, để kiểm tra xem mô hình tuyến tính có phù hợp hay không, người ta vẽ đồ thị phần dư với $\hat{y}$ trên trục hoành và $e$ trên trục tung. Nếu các điểm phân tán ngẫu nhiên quanh đường $e = 0$ mà không tạo thành hình dạng rõ ràng, thì mô hình tuyến tính là hợp lý. Ngược lại, nếu đồ thị có dạng cong hoặc hình parabol, dữ liệu (data) có quan hệ phi tuyến và cần biến đổi hoặc chọn mô hình khác. Ngoài ra, một điểm có phần dư rất lớn so với các điểm còn lại có thể là giá trị ngoại lai và cần được xem xét kỹ trước khi kết luận.

Ký hiệu

e = y - \hat{y}

Trực giác: Phần dư là phần "sai số còn sót lại" sau khi đường hồi quy đã cố gắng giải thích hết xu hướng — giống như phần cơm còn dính dưới đáy nồi sau khi đã múc hết phần ăn được.

Công thức

\htmlClass{fp-3}{e_i} = \htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-0}{y_i} - \htmlClass{fp-1}{\hat{y}_i}}

Công thức này dùng sau khi đã xây dựng đường hồi quy tuyến tính để đo độ lệch của từng điểm so với mô hình. Nếu e_i > 0 thì điểm nằm trên đường hồi quy, còn e_i < 0 thì nằm dưới đường hồi quy.

Trong đó

e_i

phần dư (residual) của quan sát thứ i

y_i

giá trị thực tế của biến phụ thuộc tại quan sát thứ i

\hat{y}_i

giá trị dự đoán của biến phụ thuộc tại quan sát thứ i

Khái niệm này sinh ra từ đâu

Phần dư ra đời cùng với việc dùng mô hình để dự đoán: nó là hiệu giữa giá trị quan sát được và giá trị mà mô hình dự đoán, và được bàn đến nhiều nhất trong phân tích hồi quy (regression analysis). Tên gọi bắt nguồn từ chữ Latin residuus, nghĩa là "còn lại".

Khi người ta bắt đầu vẽ một đường thẳng đi xuyên qua đám điểm dữ liệu, một vấn đề thực tế lập tức xuất hiện: đường thẳng gần như không bao giờ đi qua mọi điểm. Câu hỏi tự nhiên là phần chênh lệch còn thừa lại ấy nói lên điều gì — mô hình sai, hay dữ liệu vốn dao động ngẫu nhiên. Phần dư sinh ra để trả lời câu hỏi đó. Bằng cách lấy giá trị quan sát trừ đi giá trị dự đoán cho từng cá thể, người phân tích có một đại lượng đo được, quan sát được, cho biết mô hình hụt hay dư bao nhiêu ở mỗi điểm. Nhờ vậy việc kiểm tra mô hình chuyển từ cảm tính sang xem xét trực tiếp những gì mô hình chưa giải thích nổi.

Thử nghiệm tương tác

Kéo một điểm lên xuống — nhìn đoạn dọc nối nó với đường hồi quy dài ra, biến mất, rồi đổi dấu

Hay hiểu sai

Phần dư là giá trị thực trừ giá trị dự đoán, không phải ngược lại.

Phần dư dương nghĩa là mô hình dự đoán THẤP hơn thực tế.

Biểu đồ phần dư không có quy luật là bằng chứng ỦNG HỘ mô hình tuyến tính.

Hệ số tương quan lớn không thay thế được việc xem biểu đồ phần dư.

Đề cho sẵn phần dư thì phải giải ngược để tìm giá trị quan sát.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một chuỗi cửa hàng điểm tâm khảo sát 15 món ăn sáng, ghi lại lượng chất béo

x

(tính bằng gam) và năng lượng

y

(tính bằng calo) của mỗi món. Đường hồi quy bình phương nhỏ nhất (least squares regression line) dựng từ dữ liệu này là

\hat{y} = 105 + 12{,}5x

. Trong danh sách có một món bánh mì kẹp trứng chứa

24

g chất béo và trên thực tế cung cấp

380

calo.

aTính giá trị dự đoán và phần dư của món bánh mì kẹp trứng chứa $24$ g chất béo.
bDựa vào phần dư, mô hình đang ước lượng thừa hay ước lượng thiếu năng lượng của món này? Giải thích ý nghĩa con số vừa tìm được trong ngữ cảnh.

1Bước 1: Trước hết ta thay

x = 24

vào phương trình hồi quy để có giá trị dự đoán (predicted value):

\hat{y} = 105 + 12{,}5 \times 24 = 105 + 300 = 405.

Kết quả này nói rằng nếu chỉ biết món ăn chứa

24

g chất béo, mô hình đoán nó cung cấp khoảng

405

calo. Đây là tung độ của điểm nằm trên đường hồi quy tại hoành độ

24

, chứ chưa phải năng lượng thật của món bánh.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyPhân tích hồi quy · bài “Phần dư (residuals)” — khoá AP Statistics

Cần trướcđường hồi quy bình phương tối thiểu

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

giá trị ngoại lệoutlier

Khác nhau ở đâuPhần dư là khoảng cách theo chiều dọc từ một điểm đến đường hồi quy, còn giá trị ngoại lệ là nhận định về việc điểm đó nằm quá xa so với xu hướng chung

Hay nhầm khiđề cho biểu đồ phân tán và hỏi điểm nào làm ảnh hưởng lớn đến mô hình, thí sinh hay nhầm điểm có phần dư lớn với giá trị ngoại lệ trong khi hai khái niệm không hoàn toàn trùng nhau

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 12, 41, 47.

Vì sao mang đúng cái tên này? Chữ "residual" đi thẳng từ tiếng Latin residuus, nghĩa là "còn lại", và cái tên ấy mô tả rất đúng bản chất: sau khi mô hình đã giải thích xong mối liên hệ giữa biến giải thích và biến phản hồi, phần dư chính là số dư còn thừa mà mô hình không nắm bắt được. Phần thừa ấy chứa hai thứ trộn lẫn — dao động ngẫu nhiên thật sự của dữ liệu và những quy luật có hệ thống mà mô hình đã bỏ sót — nên toàn bộ công việc phân tích phần dư là tách xem cái còn lại thuộc loại nào. Tiếng Việt dịch là "phần dư" cũng theo đúng logic đó. Cần phân biệt phần dư với sai số (error): sai số là độ lệch so với giá trị thật của tổng thể, một con số không quan sát được, còn phần dư là độ lệch so với giá trị ước lượng từ mẫu, hoàn toàn tính ra được. Chính vì phân biệt này mà trong hồi quy người ta gọi riêng hai khái niệm là regression errors và regression residuals, và từ đó phát triển tiếp thành phần dư đã chuẩn hóa (studentized residuals).

Kéo một điểm lên xuống — nhìn đoạn dọc nối nó với đường hồi quy dài ra, biến mất, rồi đổi dấu

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mẹo phòng thi

Viết ra dòng $e = y - \hat{y}$ trước khi thay số, kể cả khi làm nhẩm được.

Câu hỏi "overestimate hay underestimate" phải trả lời bằng câu văn, không bằng mỗi con số.

Khi mô tả biểu đồ phần dư, nêu hình dạng rồi mới kết luận, đừng đảo thứ tự.

Đừng tính phần dư cho một giá trị $x$ nằm ngoài khoảng dữ liệu đã cho.

Tần suất trong đề AP StatisticsHay gặp

2Bước 2: Phần dư luôn được tính theo chiều "thực tế trừ dự đoán", tức là

e = y - \hat{y}

. Áp dụng cho món bánh mì kẹp trứng:

e = 380 - 405 = -25.

Thứ tự trừ trong công thức này rất quan trọng, vì đảo ngược nó sẽ làm dấu của phần dư đảo theo và dẫn tới kết luận ngược hẳn về việc mô hình đoán thừa hay đoán thiếu.

3Bước 3: Phần dư mang dấu âm nghĩa là giá trị thật nhỏ hơn giá trị mà đường hồi quy dự đoán. Do đó mô hình đã ước lượng vượt quá (overestimate) năng lượng của món bánh này, và trên biểu đồ phân tán điểm

(24; 380)

nằm phía dưới đường hồi quy, cách đường thẳng

25

đơn vị theo phương thẳng đứng. Nếu phần dư mang dấu dương thì ngược lại: điểm nằm trên đường hồi quy và mô hình ước lượng thiếu.

4Bước 4: Khi diễn giải, câu trả lời phải nhắc lại đơn vị và bối cảnh chứ không dừng ở con số trần. Một câu chấm điểm được sẽ có dạng: "Món bánh mì kẹp trứng có năng lượng thực tế thấp hơn

25

calo so với mức mà mô hình dự đoán cho một món chứa

24

g chất béo." Cách viết này cho thấy người làm bài hiểu phần dư là sai lệch theo phương đứng giữa dữ liệu thật và dự đoán, chứ không phải khoảng cách ngắn nhất từ điểm tới đường thẳng.

Giá trị dự đoán là $\hat{y} = 405$ calo, còn phần dư là $e = 380 - 405 = -25$ calo. Vì phần dư âm nên mô hình ước lượng vượt quá: món bánh mì kẹp trứng chứa $24$ g chất béo thực tế chỉ cung cấp $380$ calo, ít hơn $25$ calo so với mức $405$ calo mà đường hồi quy dự đoán, và điểm dữ liệu tương ứng nằm dưới đường hồi quy.

2Ví dụ 2/2

Một nhóm dược sĩ thử nghiệm tác dụng của liều thuốc giảm đau. Với mỗi liều

x

(miligam), họ ghi lại thời gian bệnh nhân hết đau

y

(phút). Số liệu thu được như sau: liều

2

mg ứng với

9{,}1

phút; liều

4

mg ứng với

10{,}2

phút; liều

6

mg ứng với

13{,}8

phút; liều

8

mg ứng với

17{,}4

phút; liều

10

mg ứng với

23{,}5

phút. Đường hồi quy bình phương nhỏ nhất của bộ dữ liệu này là

\hat{y} = 4{,}0 + 1{,}8x

aTính phần dư ứng với từng liều thuốc.
bBiểu đồ phần dư vẽ theo liều thuốc cho thấy điều gì về sự phù hợp của mô hình tuyến tính?

1Bước 1: Ta lần lượt thay từng giá trị

x

vào

\hat{y} = 4{,}0 + 1{,}8x

để có năm giá trị dự đoán. Với

x = 2

thì

\hat{y} = 4{,}0 + 3{,}6 = 7{,}6

; với

x = 4

thì

\hat{y} = 11{,}2

; với

x = 6

thì

\hat{y} = 14{,}8

; với

x = 8

thì

\hat{y} = 18{,}4

; và với

x = 10

thì

\hat{y} = 22{,}0

. Đây là năm điểm nằm đúng trên đường thẳng hồi quy.

2Bước 2: Áp dụng

e = y - \hat{y}

cho từng quan sát, ta được

9{,}1 - 7{,}6 = 1{,}5

;

10{,}2 - 11{,}2 = -1{,}0

;

13{,}8 - 14{,}8 = -1{,}0

;

17{,}4 - 18{,}4 = -1{,}0

; và

23{,}5 - 22{,}0 = 1{,}5

. Một phép kiểm tra nhanh giúp yên tâm rằng tính toán không sai: tổng năm phần dư bằng

1{,}5 - 1{,}0 - 1{,}0 - 1{,}0 + 1{,}5 = 0

, đúng như tính chất của đường hồi quy bình phương nhỏ nhất. Nếu tổng này lệch khỏi

0

một cách đáng kể thì chắc chắn có lỗi số học ở đâu đó.

3Bước 3: Bây giờ hãy hình dung biểu đồ phần dư (residual plot) với trục hoành là liều thuốc và trục tung là phần dư. Ở hai liều nhỏ nhất và lớn nhất, phần dư đều dương và bằng

1{,}5

; ở ba liều giữa, cả ba phần dư đều âm và bằng

-1{,}0

. Các điểm vì vậy xếp thành một đường cong lõm hình chữ U rõ rệt chứ không rải ngẫu nhiên quanh trục hoành.

4Bước 4: Dạng chữ U này là dấu hiệu kinh điển cho thấy quan hệ giữa hai biến thực chất là cong, và đường thẳng đã bỏ sót phần cấu trúc đó. Nói cách khác, mô hình đoán thiếu ở hai đầu dải liều nhưng đoán thừa ở khoảng giữa, sai lệch lặp lại có hệ thống chứ không phải nhiễu ngẫu nhiên. Đây chính là điều mà biểu đồ phần dư được sinh ra để bộc lộ; hệ số tương quan (correlation coefficient) đứng một mình không thể cảnh báo được như vậy. Cách khắc phục thường gặp là biến đổi dữ liệu để đạt tính tuyến tính (transformation to achieve linearity), chẳng hạn lấy logarit hoặc bình phương một trong hai biến rồi hồi quy lại.

Năm phần dư lần lượt là $1{,}5$ ; $-1{,}0$ ; $-1{,}0$ ; $-1{,}0$ và $1{,}5$ phút, có tổng bằng $0$ . Biểu đồ phần dư theo liều thuốc có dạng cong hình chữ U — dương ở hai đầu, âm ở giữa — nên mô hình tuyến tính không phù hợp để mô tả quan hệ giữa liều thuốc và thời gian hết đau; dữ liệu gợi ý một quan hệ cong, và nhóm nghiên cứu nên biến đổi biến rồi hồi quy lại thay vì dùng thẳng đường thẳng này để dự đoán.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.