Đang tải bài học…

AP Statistics

hệ số xác định

coefficient of determination

Còn gọi: r bình phương · r squared · r²

Hệ số xác định là tỉ lệ giữa biến thiên được giải thích và tổng biến thiên của biến phản hồi, đo mức độ phù hợp của mô hình hồi quy tuyến tính với dữ liệu.

Khi xây dựng đường hồi quy, ta luôn muốn biết đường đó giải thích được bao nhiêu phần sự dao động của biến phản hồi (response variable). Tổng biến thiên của $y$ được chia thành hai phần: phần do đường hồi quy giải thích và phần còn lại nằm ở phần dư (residuals). Hệ số xác định chính là thước đo tỉ lệ giữa hai phần đó.

Công thức tổng quát là $r^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}$ trong đó $SSR$ là tổng bình phương hồi quy, $SSE$ là tổng bình phương phần dư, và $SST$ là tổng bình phương toàn phần. Vì vậy, $r^2$ luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 1. Khi $r^2 = 0.85$ , ta đọc là "85% biến thiên của $y$ được giải thích bởi mối quan hệ tuyến tính với $x$ ", phần 15% còn lại do các yếu tố khác hoặc sai số ngẫu nhiên.

Đối với hồi quy tuyến tính đơn, hệ số xác định bằng bình phương của hệ số tương quan (correlation coefficient) $r$ , nên ta thường viết $r^2$ . Ngược lại, trong hồi quy bội, người ta dùng ký hiệu $R^2$ . Do đó, khi đề thi cho $r = -0.90$ , ta tính ngay $r^2 = 0.81$ và kết luận 81% biến thiên được giải thích. Tuy nhiên, $r^2$ cao không đồng nghĩa với quan hệ nhân quả; nó chỉ phản ánh mức độ khớp của mô hình tuyến tính với dữ liệu quan sát.

Ký hiệu

r^2

(hồi quy đơn),

R^2

(hồi quy bội)

Trực giác: Giống như giải thích sự chênh lệch điểm số giữa các học sinh trong lớp: nếu R² = 0,85 thì 85% sự khác nhau đó đến từ thời gian ôn tập, 15% còn lại do các yếu tố khác.

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1921Sewall Wright

Việc tạo ra hệ số xác định được gán cho nhà di truyền học Sewall Wright, với công bố đầu tiên vào năm 1921; đại lượng này ra đời để trả lời câu hỏi một mô hình giải thích được bao nhiêu phần biến thiên của biến phụ thuộc (dependent variable).

Đầu thế kỷ 20, giới nghiên cứu di truyền và sinh trắc học đã có sẵn đường hồi quy tuyến tính (linear regression) để mô tả quan hệ giữa hai đại lượng, nhưng vẫn thiếu một con số gọn gàng nói lên đường ấy tốt đến đâu. Wright cần đo xem các biến giải thích chi phối được bao nhiêu phần dao động của đặc điểm quan sát được, nên ông diễn đạt độ phù hợp bằng tỉ lệ phương sai được mô hình giải thích. Nhờ cách quy về một tỉ lệ nằm giữa 0 và 1, kết quả trở nên so sánh được giữa các bộ dữ liệu có đơn vị hoàn toàn khác nhau. Từ đó đại lượng này lan sang mọi ngành dùng hồi quy và tồn tại đến nay.

Thử nghiệm tương tác

Kéo điểm lên xuống — nhìn phần biến thiên mà đường thẳng thu hồi được phình ra hay xẹp đi

Hay hiểu sai

Hệ số xác định không phải tỉ lệ điểm nằm trên đường hồi quy.

Lấy căn bậc hai của $r^2$ phải gắn dấu theo hệ số góc.

Giá trị $r^2$ lớn không chứng minh quan hệ nhân quả.

$r^2$ cao vẫn không đủ để kết luận mô hình tuyến tính là phù hợp.

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một công ty du lịch muốn thiết kế gói nghỉ dưỡng cho các hộ gia đình dựa trên thu nhập của họ. Công ty thu thập số liệu của 8 hộ, ghi lại thu nhập hằng năm (đô la) và số tiền chi cho du lịch trong năm (đô la). Biểu đồ phân tán cho thấy dạng tuyến tính, hướng đi lên và không có điểm nào bất thường. Phần mềm thống kê cho kết quả hồi quy như sau: đường hồi quy bình phương nhỏ nhất (least-squares regression line) có phương trình dự đoán

\hat{y} = 385{,}0 + 0{,}0456x

, trong đó

x

là thu nhập và

\hat{y}

là số tiền du lịch dự đoán, với

R\text{-}Sq = 73{,}96\%

aGiải thích ý nghĩa của giá trị $73{,}96\%$ trong ngữ cảnh bài toán.
bTính hệ số tương quan (correlation coefficient) $r$ và giải thích vì sao chọn dấu như vậy.
cMột nhân viên phát biểu: "Kết quả này cho thấy $73{,}96\%$ số tiền du lịch của một hộ là do thu nhập gây ra." Hãy nhận xét phát biểu đó.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyPhân tích hồi quy · bài “Mô hình hồi quy tuyến tính” — khoá AP Statistics

Dẫn tớihồi quy

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

hệ số tương quancorrelation coefficient

Khác nhau ở đâuHệ số tương quan r cho biết cả chiều lẫn độ mạnh của mối liên hệ tuyến tính, còn hệ số xác định r² chỉ cho biết tỉ lệ biến thiên được giải thích và luôn không âm.

Hay nhầm khiĐề cho r và yêu cầu giải thích r², học sinh hay gán chiều âm/dương cho r² hoặc nhầm r² lớn nghĩa là liên hệ yếu.

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 27, 72, 154.

Vì sao mang đúng cái tên này? Chữ "xác định" (determination) đến từ chính câu hỏi mà cách trình bày ban đầu muốn trả lời: biến phụ thuộc được các biến độc lập "xác định" đến mức nào, tính theo tỉ lệ phương sai. Nói cách khác, tên gọi không mô tả công thức mà mô tả ý nghĩa: phần biến thiên nào của kết quả đã bị các biến giải thích quy định, phần nào còn lại là dư. Vì vậy công thức quen thuộc $R^2 = \frac{TSS - RSS}{TSS}$ đọc rất tự nhiên — lấy tổng biến thiên $TSS$ trừ đi phần mô hình không giải thích nổi $RSS$ , rồi chia lại cho tổng biến thiên để ra một tỉ lệ. Còn chữ "hệ số" và ký hiệu bình phương thì gắn với quan hệ đại số của nó: trong hồi quy một biến giải thích, đại lượng này đúng bằng bình phương hệ số tương quan (correlation coefficient) $r$ , nên người ta viết $r^2$ hoặc $R^2$ và đọc là "R squared". Cũng có tài liệu gán việc đặt ra thuật ngữ cho Karl Pearson vào đầu thế kỷ 20, tuy nhiên mốc công bố được ghi rõ ràng nhất vẫn là năm 1921. Dù nguồn gốc tên gọi còn được kể theo vài cách, hàm ý thì thống nhất: đây là hệ số đo độ phù hợp (goodness of fit) qua tỉ lệ biến thiên được giải thích.

Kéo điểm lên xuống — nhìn phần biến thiên mà đường thẳng thu hồi được phình ra hay xẹp đi

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Câu diễn giải $r^2$ phải có đủ bốn thành phần, thiếu một là mất điểm.

Đọc bảng kết quả máy tính, hãy lấy đúng dòng R-sq và đừng nhầm với R-sq(adj).

Khi đề cho $r$ và hỏi $r^2$ , nhớ bình phương trước khi diễn giải.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

1Bước 1: Nhớ lại hệ số xác định đo cái gì. Ta có

r^2 = 1 - \dfrac{SSE}{SST}

, trong đó

SST

là tổng bình phương độ lệch của các giá trị

y

so với

\bar{y}

, còn

SSE

là tổng bình phương phần dư (residual) quanh đường hồi quy. Vì vậy

r^2

cho biết phần biến thiên của biến phản hồi đã được mô hình tuyến tính theo biến giải thích (explanatory variable) giải thích, chứ không phải phần của bản thân giá trị

y

2Bước 2: Viết câu trả lời cho ý (a) theo đúng khung ba thành phần mà giám khảo tìm: bao nhiêu phần trăm — biến thiên của biến nào — được giải thích bởi mô hình tuyến tính theo biến nào. Ở đây: khoảng

73{,}96\%

biến thiên trong số tiền chi cho du lịch hằng năm của các hộ gia đình được giải thích bởi mô hình hồi quy tuyến tính theo thu nhập hằng năm. Phần còn lại, khoảng

26{,}04\%

, là do các yếu tố khác và do dao động ngẫu nhiên.

3Bước 3: Sang ý (b), lấy căn bậc hai:

r = \pm\sqrt{0{,}7396} = \pm 0{,}860

. Căn bậc hai luôn cho hai dấu, nên phải nhìn thêm một thông tin khác để chọn. Hệ số góc của đường hồi quy bằng

0{,}0456 > 0

, và biểu đồ phân tán cũng đi lên, nên tương quan là dương. Do đó

r = 0{,}860

4Bước 4: Với ý (c), so sánh phát biểu của nhân viên với định nghĩa ở Bước 1. Phát biểu này sai ở hai chỗ: nó nói về "số tiền du lịch" thay vì "biến thiên của số tiền du lịch", và nó dùng từ "gây ra" trong khi đây chỉ là số liệu quan sát, không phải thí nghiệm có phân nhóm ngẫu nhiên. Từ dữ liệu quan sát ta không kết luận được quan hệ nhân quả; những hộ thu nhập cao có thể còn khác các hộ khác về nhiều đặc điểm ẩn.

(a) Khoảng $73{,}96\%$ biến thiên trong chi tiêu du lịch hằng năm của các hộ gia đình được giải thích bởi mô hình hồi quy tuyến tính theo thu nhập hằng năm. (b) $r = \sqrt{0{,}7396} = 0{,}860$ , mang dấu dương vì hệ số góc dương và biểu đồ phân tán có hướng đi lên; giữa thu nhập và chi tiêu du lịch có tương quan tuyến tính dương mạnh. (c) Phát biểu sai: hệ số xác định nói về phần biến thiên được giải thích, không nói về bản thân số tiền, và dữ liệu quan sát này không cho phép kết luận thu nhập gây ra mức chi tiêu.

2Ví dụ 2/2

Một giáo viên ghi lại số giờ tự học mỗi tuần

x

và điểm bài kiểm tra 10 điểm

y

của 5 học sinh:

(1;3)

(2;5)

(3;4)

(4;8)

(5;10)

. Đường hồi quy bình phương nhỏ nhất của bộ dữ liệu này là

\hat{y} = 0{,}9 + 1{,}7x

aTính tổng bình phương toàn phần $SST$ và tổng bình phương sai số $SSE$ .
bTừ đó tính hệ số xác định và giải thích ý nghĩa trong ngữ cảnh.

1Bước 1: Tính điểm trung bình để có mốc so sánh:

\bar{y} = \dfrac{3+5+4+8+10}{5} = \dfrac{30}{5} = 6

. Đây chính là dự đoán mà ta đưa ra nếu không dùng gì đến số giờ tự học.

2Bước 2: Tính

SST = \sum (y_i - \bar{y})^2

. Các độ lệch lần lượt là

-3;\ -1;\ -2;\ 2;\ 4

, nên

SST = 9 + 1 + 4 + 4 + 16 = 34

. Con số này đo toàn bộ biến thiên của điểm số quanh giá trị trung bình.

3Bước 3: Tính các giá trị dự đoán rồi tính phần dư

y_i - \hat{y}_i

. Ta có

\hat{y}

lần lượt bằng

2{,}6;\ 4{,}3;\ 6{,}0;\ 7{,}7;\ 9{,}4

, nên phần dư là

0{,}4;\ 0{,}7;\ -2{,}0;\ 0{,}3;\ 0{,}6

(tổng bằng

0

, đúng như tính chất của đường hồi quy). Vậy

SSE = 0{,}16 + 0{,}49 + 4{,}00 + 0{,}09 + 0{,}36 = 5{,}10

4Bước 4: Áp dụng công thức

r^2 = 1 - \dfrac{SSE}{SST} = 1 - \dfrac{5{,}10}{34} = 1 - 0{,}15 = 0{,}85

. Như vậy khi chuyển từ dự đoán bằng

\bar{y}

sang dự đoán bằng đường hồi quy, sai số bình phương giảm được

85\%

5Bước 5: Diễn đạt lại trong ngữ cảnh, tránh nói "

85\%

điểm số". Câu đúng là:

85\%

biến thiên trong điểm kiểm tra của các học sinh này được giải thích bởi mô hình hồi quy tuyến tính theo số giờ tự học mỗi tuần.

$SST = 34$ và $SSE = 5{,}10$ , do đó hệ số xác định bằng $r^2 = 1 - 5{,}10/34 = 0{,}85$ . Nói cách khác, $85\%$ biến thiên trong điểm kiểm tra của 5 học sinh này được giải thích bởi mô hình hồi quy tuyến tính theo số giờ tự học mỗi tuần; $15\%$ còn lại đến từ những yếu tố khác chưa có trong mô hình.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.