AP Statistics

hệ số tương quancorrelation coefficient

correlation coefficientVietnamese: hệ số tương quan

Còn gọi:Also called: r

Hệ số tương quan là một con số đo độ mạnh và chiều của mối quan hệ tuyến tính giữa hai biến định lượng, luôn nhận giá trị trong khoảng từ −1 đến 1.The correlation coefficient is a single number that measures the strength and direction of the linear relationship between two quantitative variables, always between −1 and 1.

Trực giác: Hệ số tương quan giống như điểm số đánh giá mức độ các chấm trên đồ thị "chịu xếp hàng" theo một đường thẳng — điểm càng gần 1 hoặc −1 thì hàng càng thẳng, điểm gần 0 thì chấm nằm tứ tán.Intuition: Think of $r$ as a score for how willingly the dots in a scatterplot line up along a straight line: scores near 1 or −1 mean a tidy line, and scores near 0 mean the dots are scattered every which way.

Công thức chínhKey formula

r = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_i - \bar{x}}{s_x}\right)\left(\frac{y_i - \bar{y}}{s_y}\right)

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Hệ số tương quan, thường ký hiệu $r$ , định lượng chiều và độ mạnh của liên hệ tuyến tính giữa hai biến định lượng. Dấu của $r$ cho biết chiều; $|r|$ càng gần 1, các điểm càng sát một đường thẳng; $r$ gần 0 cho thấy ít liên hệ tuyến tính.

Đại lượng này không có đơn vị và có thể bị ngoại lai làm lệch. $r=0$ không đồng nghĩa hai biến độc lập vì vẫn có thể tồn tại quan hệ phi tuyến.

The correlation coefficient, usually written $r$ , measures the direction and strength of the linear association between two quantitative variables. Its sign gives the direction; the closer $|r|$ is to 1, the more tightly the points cluster around a straight line, while values of $r$ near 0 indicate little linear association.

Correlation has no units, and outliers can pull it away from the pattern of the rest of the data. A value of $r=0$ does not mean the two variables are unrelated, since a nonlinear relationship may still be present.

Ký hiệuNotation

• $r$ — hệ số tương quan mẫu
• $\rho$ (rho) — hệ số tương quan tổng thể

• $r$ — sample correlation coefficient
• $\rho$ (rho) — population correlation coefficient

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

r = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_i - \bar{x}}{s_x}\right)\left(\frac{y_i - \bar{y}}{s_y}\right)

Dùng để đo chiều và độ mạnh của mối quan hệ tuyến tính giữa hai biến định lượng.Use this to measure the direction and strength of the linear relationship between two quantitative variables.

Trong đóWhere

r

hệ số tương quan mẫusample correlation coefficient

n

số cặp quan sát trong mẫunumber of observed pairs in the sample

x_i,\, y_i

giá trị quan sát thứ i của từng biếnthe

i

th observed value of each variable

\bar{x},\, \bar{y}

trung bình mẫu của từng biếnsample mean of each variable

s_x,\, s_y

độ lệch chuẩn (standard deviation) mẫu của từng biếnsample standard deviation of each variable

r = b_1 \frac{s_x}{s_y}

Dùng khi biết hệ số góc của đường hồi quy bình phương nhỏ nhất và độ lệch chuẩn mẫu của hai biến.Use this when you know the slope of the least-squares regression line and the sample standard deviations of both variables.

Trong đóWhere

b_1

hệ số góc của đường hồi quy mẫuslope of the sample regression line

s_x

độ lệch chuẩn mẫu của biến giải thích xsample standard deviation of the explanatory variable

x

s_y

độ lệch chuẩn mẫu của biến phản hồi ysample standard deviation of the response variable

y

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Hệ số tương quan mạnh không chứng minh quan hệ nhân quả.

Dữ liệu quan sát chỉ cho thấy hai biến cùng biến thiên; biến thứ ba có thể chi phối cả hai.

$r$ gần 0 không có nghĩa hai biến hoàn toàn không liên quan.

Hệ số này chỉ đo liên hệ tuyến tính, nên quan hệ phi tuyến mạnh vẫn có thể cho $r$ gần 0. Hãy xem biểu đồ phân tán; ngoại lai cũng có thể làm $r$ thay đổi đáng kể.

Đừng nhầm $r$ với $r^2$ .

$r$ cho biết chiều và độ mạnh của liên hệ tuyến tính; $r^2$ cho biết tỉ lệ biến thiên của biến phản hồi được mô hình đường thẳng giải thích. Khi suy $r$ từ $r^2$ , phải chọn dấu theo chiều liên hệ.

A strong correlation does not prove causation.

Observational data only show that two variables move together, and a third variable may be driving both.

An $r$ near 0 does not mean the two variables are unrelated.

Correlation measures only linear association, so a strong curved relationship can still give $r$ near 0; always look at the scatterplot, and remember that outliers can change $r$ substantially.

Do not confuse $r$ with $r^2$ .

The value $r$ gives the direction and strength of the linear association, while $r^2$ gives the proportion of variation in the response variable explained by the linear model; when finding $r$ from $r^2$ , choose the sign that matches the direction of the association.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Trong mô hình đường thẳng, đọc đúng phần được giải thích.

Tỉ lệ được giải thích là $r^2$ ; tỉ lệ còn lại là $1-r^2$ . Khi suy $r$ từ $r^2$ , chọn dấu theo hệ số góc hoặc mô tả chiều; nếu thiếu manh mối, nêu cả hai khả năng.

Khi diễn giải $r$ , phải nêu đủ ba thành phần.

Nêu chiều, độ mạnh và liên hệ tuyến tính giữa hai biến trong ngữ cảnh của bài; thiếu chiều hoặc ngữ cảnh có thể mất điểm.

In a linear model, report the explained proportion correctly.

The explained proportion is $r^2$ and the unexplained proportion is $1-r^2$ ; when computing $r$ from $r^2$ , take the sign from the slope or from a stated direction, and if no clue is given, state both possibilities.

An interpretation of $r$ needs all three components.

Give the direction, the strength, and the fact that the association is linear, stated in the context of the problem; omitting the direction or the context can cost points.

Tần suất trong đề AP StatisticsHow often it shows up on AP StatisticsThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1896Francis GaltonKarl PearsonAuguste Bravais

Trong thập niên 1880, Francis Galton hình thành ý tưởng này để đo mức độ hai đại lượng đi cùng nhau trong số liệu sinh học.

Francis Galton developed this idea in the 1880s to measure how closely two quantities varied together in biological data.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi bắt nguồn từ chữ "co-relation" của Galton, nghĩa là hai đại lượng cùng biến thiên trong một mối quan hệ chung, về sau được viết gọn thành "correlation". Phần "hệ số" phản ánh đúng bản chất tính toán: đại lượng này là tỉ số giữa hiệp phương sai (covariance) của hai biến và tích hai độ lệch chuẩn (standard deviation) của chúng, nên nó chính là hiệp phương sai đã được chuẩn hóa và luôn rơi vào khoảng từ $-1$ đến $1$ . Nhờ phép chuẩn hóa đó, kết quả không còn đơn vị, và ta có thể so sánh độ mạnh của mối liên hệ giữa những cặp biến đo bằng những đơn vị hoàn toàn khác nhau. Điều thú vị là cái tên đầy đủ "Pearson product-moment correlation coefficient" khiến nhiều người lầm tưởng Pearson tự mình nghĩ ra tất cả, trong khi ý tưởng gốc thuộc về Galton và công thức đã xuất hiện từ Bravais; vì vậy nó thường được nêu như một ví dụ kinh điển của luật Stigler (Stigler's Law) — quy luật nói rằng phát minh khoa học hiếm khi mang tên người thực sự tìm ra nó đầu tiên.

Nguồn đối chiếuSources

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Kéo đám điểm — nhìn kim $r$ chạy từ $-1$ đến $+1$

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termHệ số tương quan rPhân tích hồi quy · khoácourse AP Statistics

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐồ thị quan hệ giữa hai biến định lượngPhân tích hồi quy · khoácourse AP Statistics

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDự đoán với linear regression model (mô hình hồi quy tuyến tính)Phân tích hồi quy · khoácourse AP Statistics

Cần trướcLearn firstbiến định lượngquantitative variable

Dẫn tớiLeads tođường hồi quy bình phương tối thiểuleast-squares regression line

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

hệ số xác định (coefficient of determination)coefficient of determination

Khác nhau ở đâuHow they differHệ số tương quan có dấu, nên cho biết chiều của quan hệ tuyến tính, trong khi hệ số xác định bằng bình phương của nó và chỉ cho biết tỉ lệ phương sai được giải thích, không cho biết chiều.

Hay nhầm khiMixed up whenThí sinh hay nhầm khi thấy

r^2

gần 1 thì kết luận ngay hai biến có tương quan âm mạnh, mặc dù hệ số xác định không chứa thông tin về dấu.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 33, 154, 168.