Đang tải bài học…

AP Statistics

hệ số tương quan

correlation coefficient

Còn gọi: r

Hệ số tương quan là một con số đo độ mạnh và chiều của mối quan hệ tuyến tính giữa hai biến định lượng, luôn nhận giá trị trong khoảng từ −1 đến 1.

Khi nhà thống kê muốn biết hai biến định lượng liên hệ với nhau chặt chẽ đến mức nào, họ tính hệ số tương quan (correlation coefficient) — thường ký hiệu là $r$ . Giá trị này được tính theo công thức

$r = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_i - \bar{x}}{s_x}\right)\left(\frac{y_i - \bar{y}}{s_y}\right)$

trong đó $\bar{x}$ , $\bar{y}$ là trung bình của từng biến, còn $s_x$ , $s_y$ là độ lệch chuẩn (standard deviation) tương ứng. Mỗi tích trong tổng so sánh xem một điểm dữ liệu nằm cùng phía hay khác phía so với trung bình của cả hai biến; nhờ đó $r$ nắm bắt được đồng thời chiều và mức độ của mối quan hệ.

Dấu của $r$ cho biết chiều tương quan: $r > 0$ nghĩa là khi một biến tăng thì biến kia cũng có xu hướng tăng; $r < 0$ nghĩa là hai biến biến đổi ngược chiều nhau. Ngược lại, trị tuyệt đối $|r|$ phản ánh độ mạnh — giá trị càng gần 1 thì các điểm trên biểu đồ phân tán (scatterplot) xếp càng sát một đường thẳng, còn giá trị gần 0 cho thấy mối quan hệ tuyến tính hầu như không tồn tại. Tuy nhiên, $r = 0$ không có nghĩa là hai biến độc lập hoàn toàn; chúng vẫn có thể có quan hệ phi tuyến rõ ràng.

Một điểm quan trọng cần nhớ là $r$ chỉ đo quan hệ tuyến tính — nó không phản ánh các dạng quan hệ cong hay phức tạp hơn. Ngoài ra, giá trị ngoại lai (outlier) có thể kéo $r$ lệch đáng kể so với bức tranh chung của dữ liệu, vì vậy việc quan sát biểu đồ phân tán trước khi diễn giải $r$ luôn là bước không thể bỏ qua. Cuối cùng, $r$ là đại lượng không có đơn vị và không thay đổi khi dữ liệu được biến đổi tuyến tính, chẳng hạn chuyển từ xăng-ti-mét sang in-sơ.

Ký hiệu

• $r$ — hệ số tương quan mẫu
• $\rho$ (rho) — hệ số tương quan tổng thể

Trực giác: Hệ số tương quan giống như điểm số đánh giá mức độ các chấm trên đồ thị "chịu xếp hàng" theo một đường thẳng — điểm càng gần 1 hoặc −1 thì hàng càng thẳng, điểm gần 0 thì chấm nằm tứ tán.

Công thức

r = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_i - \bar{x}}{s_x}\right)\left(\frac{y_i - \bar{y}}{s_y}\right)

Dùng khi cần đo độ mạnh và chiều của mối quan hệ tuyến tính giữa hai biến định lượng; giá trị r luôn nằm trong đoạn [−1, 1].

Trong đó

r

hệ số tương quan mẫu

n

số cặp quan sát trong mẫu

x_i,\, y_i

giá trị quan sát thứ i của từng biến

\bar{x},\, \bar{y}

trung bình mẫu của từng biến

s_x,\, s_y

độ lệch chuẩn (standard deviation) mẫu của từng biến

r = b_1 \frac{s_x}{s_y}

Khái niệm này sinh ra từ đâu

1896Francis GaltonKarl PearsonAuguste Bravais

Ý tưởng đo mức độ đi cùng nhau của hai đại lượng do Francis Galton hình thành trong thập niên 1880 khi nghiên cứu số liệu sinh học, còn Karl Pearson là người dựng nên công thức chặt chẽ vào năm 1896.

Vào thập niên 1880, Galton — anh em họ của Charles Darwin — loay hoay với một câu hỏi rất đời thường của nhà sinh học: chiều cao của con có "đi theo" chiều cao của cha mẹ hay không, và đi theo đến mức nào. Ông gọi hiện tượng ấy là "co-relation" và phát triển nó song song với ý tưởng hồi quy (regression). Tuy nhiên Galton nghiêng về trực giác và hình vẽ hơn là đại số. Phải đến năm 1896, Karl Pearson mới xử lý phần toán học một cách nghiêm ngặt trong các công trình về lý thuyết toán học của tiến hóa, cho ra đời đại lượng mà ngày nay đề thi ký hiệu là $r$ . Trước đó, ngay từ năm 1844, Auguste Bravais đã dẫn ra và công bố dạng công thức tương ứng.

Thử nghiệm tương tác

Kéo đám điểm — nhìn kim $r$ chạy từ $-1$ đến $+1$

Hay hiểu sai

Hệ số tương quan lớn không chứng minh biến này gây ra biến kia.

Giá trị $r$ gần 0 không có nghĩa là hai biến không liên quan gì nhau.

Đừng nhầm $r$ với $r^2$ — hai số này trả lời hai câu hỏi khác nhau.

Đổi đơn vị đo không làm thay đổi giá trị của $r$ .

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Một nhà nghiên cứu muốn biết có thể dự đoán cỡ giày của thiếu niên từ chiều cao hay không. Trên một mẫu ngẫu nhiên gồm 50 thiếu niên, độ lệch chuẩn (standard deviation) của chiều cao là 8,7 cm, còn độ lệch chuẩn của cỡ giày là 2,3. Đường hồi quy bình phương tối thiểu (least-squares regression line) tính được là

\hat{y} = -33{,}6 + 0{,}25x

, trong đó

x

là chiều cao tính bằng xăng-ti-mét và

\hat{y}

là cỡ giày dự đoán.

aTính hệ số tương quan $r$ giữa chiều cao và cỡ giày.
bDiễn giải giá trị $r$ vừa tìm được trong ngữ cảnh của bài toán.
cTính hệ số xác định (coefficient of determination) và cho biết bao nhiêu phần trăm biến thiên của cỡ giày không được giải thích bởi mô hình.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyPhân tích hồi quy · bài “Hệ số tương quan r” — khoá AP Statistics

Cần trướcbiến định lượng

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

hệ số xác định (coefficient of determination)coefficient of determination

Khác nhau ở đâuHệ số tương quan có dấu, nên cho biết chiều của quan hệ tuyến tính, trong khi hệ số xác định bằng bình phương của nó và chỉ cho biết tỉ lệ phương sai được giải thích, không cho biết chiều.

Hay nhầm khiThí sinh hay nhầm khi thấy

r^2

gần 1 thì kết luận ngay hai biến có tương quan âm mạnh, mặc dù hệ số xác định không chứa thông tin về dấu.

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 33, 154, 168.

Dùng khi đã biết hệ số góc của đường hồi quy bình phương nhỏ nhất (least squares regression line) và hai độ lệch chuẩn mẫu; đây là dạng rút gọn thường gặp trong câu hỏi cho sẵn kết quả hồi quy.

Trong đó

b_1

hệ số góc của đường hồi quy mẫu

s_x

độ lệch chuẩn mẫu của biến giải thích x

s_y

độ lệch chuẩn mẫu của biến phản hồi y

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi bắt nguồn từ chữ "co-relation" của Galton, nghĩa là hai đại lượng cùng biến thiên trong một mối quan hệ chung, về sau được viết gọn thành "correlation". Phần "hệ số" phản ánh đúng bản chất tính toán: đại lượng này là tỉ số giữa hiệp phương sai (covariance) của hai biến và tích hai độ lệch chuẩn (standard deviation) của chúng, nên nó chính là hiệp phương sai đã được chuẩn hóa và luôn rơi vào khoảng từ $-1$ đến $1$ . Nhờ phép chuẩn hóa đó, kết quả không còn đơn vị, và ta có thể so sánh độ mạnh của mối liên hệ giữa những cặp biến đo bằng những đơn vị hoàn toàn khác nhau. Điều thú vị là cái tên đầy đủ "Pearson product-moment correlation coefficient" khiến nhiều người lầm tưởng Pearson tự mình nghĩ ra tất cả, trong khi ý tưởng gốc thuộc về Galton và công thức đã xuất hiện từ Bravais; vì vậy nó thường được nêu như một ví dụ kinh điển của luật Stigler (Stigler's Law) — quy luật nói rằng phát minh khoa học hiếm khi mang tên người thực sự tìm ra nó đầu tiên.

Kéo đám điểm — nhìn kim $r$ chạy từ $-1$ đến $+1$

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mẹo phòng thi

Đọc kỹ chữ "not explained" trong đề — đó là $1 - r^2$ , không phải $r^2$ .

Khi câu tự luận yêu cầu diễn giải $r$ , phải nêu đủ ba thành phần mới trọn điểm.

Suy $r$ từ $r^2$ thì lấy căn xong phải quyết định dấu, đừng dừng lại ở số dương.

Tần suất trong đề AP StatisticsThường xuyên

Bước 1: Đề không cho trực tiếp

r

, nhưng cho hệ số góc cùng hai độ lệch chuẩn, nên ta dùng mối liên hệ giữa chúng:

b = r\cdot\dfrac{s_y}{s_x}

. Công thức này nói rằng hệ số góc chính là hệ số tương quan sau khi được "đổi đơn vị" từ thang chuẩn hóa sang thang đo thật của hai biến. Rút

r

ra, ta được

r = b\cdot\dfrac{s_x}{s_y}

2Bước 2: Ở đây

b = 0{,}25

(hệ số của

x

trong phương trình),

s_x = 8{,}7

là độ lệch chuẩn của chiều cao và

s_y = 2{,}3

là độ lệch chuẩn của cỡ giày. Thay số:

r = 0{,}25\times\dfrac{8{,}7}{2{,}3} = \dfrac{2{,}175}{2{,}3} \approx 0{,}946

. Lưu ý thứ tự

s_x

ở tử và

s_y

ở mẫu; đảo ngược hai giá trị này sẽ cho

0{,}066

, một đáp án sai thường được cài sẵn trong các phương án chọn.

3Bước 3: Kiểm tra dấu và độ lớn trước khi ghi đáp án. Hệ số góc dương nên

r

phải dương, và mọi hệ số tương quan đều nằm trong đoạn

-1 \le r \le 1

; giá trị

0{,}946

thỏa cả hai điều kiện nên kết quả hợp lệ.

4Bước 4: Khi diễn giải, phải nói đủ ba thành phần — chiều, dạng, độ mạnh — và luôn gắn vào ngữ cảnh: giữa chiều cao và cỡ giày của thiếu niên có mối liên hệ tuyến tính thuận và rất mạnh. Câu chữ cần tránh hai lỗi kinh điển: nói

r

đo mọi kiểu liên hệ (thực ra nó chỉ đo liên hệ tuyến tính), và nói chiều cao gây ra cỡ giày, vì tương quan mạnh không chứng minh quan hệ nhân quả.

5Bước 5: Hệ số xác định là

r^2 = (0{,}946)^2 \approx 0{,}894

, tức khoảng

89{,}4\%

biến thiên của cỡ giày được giải thích bởi liên hệ tuyến tính với chiều cao. Phần còn lại,

1 - 0{,}894 = 0{,}106

hay khoảng

10{,}6\%

, là phần biến thiên không được mô hình giải thích và nằm trong các phần dư.

Hệ số tương quan là $r \approx 0{,}946$ : chiều cao và cỡ giày của thiếu niên trong mẫu có liên hệ tuyến tính thuận, rất mạnh. Khoảng $89{,}4\%$ biến thiên của cỡ giày được giải thích bởi liên hệ tuyến tính với chiều cao, còn khoảng $10{,}6\%$ thì không.

2Ví dụ 2/2

Quản lý một chuỗi nhà hàng thu thập dữ liệu hằng tháng để dự đoán doanh thu từ chi phí quảng cáo. Tại chi nhánh thứ nhất, mô hình hồi quy có dạng

\hat{y} = 245 + 3{,}8x

, trong đó

x

là chi phí quảng cáo trong tháng (trăm đô la) và

\hat{y}

là doanh thu dự đoán (nghìn đô la); mô hình này cho biết

36\%

biến thiên của doanh thu được giải thích bởi chi phí quảng cáo. Tại chi nhánh thứ hai, người quản lý chỉ ghi lại được hệ số tương quan

r = 0{,}66

aTìm hệ số tương quan của chi nhánh thứ nhất.
bVới chi nhánh thứ hai, tính tỉ lệ biến thiên của biến phản hồi (response variable) không được giải thích bởi liên hệ tuyến tính với biến giải thích (explanatory variable).
cNgười quản lý kết luận: "Vì tương quan dương nên tăng chi quảng cáo sẽ làm doanh thu tăng." Hãy nhận xét kết luận này.

1Bước 1: Con số

36\%

mà đề cho là hệ số xác định chứ không phải hệ số tương quan, tức

r^2 = 0{,}36

. Muốn quay ngược về

r

ta lấy căn bậc hai:

r = \pm\sqrt{0{,}36} = \pm 0{,}6

. Phép khai căn luôn để lại hai khả năng, nên bắt buộc phải có thêm thông tin về chiều của mối liên hệ.

2Bước 2: Thông tin đó nằm ở hệ số góc của đường hồi quy:

b = 3{,}8 > 0

, nghĩa là doanh thu dự đoán tăng khi chi phí quảng cáo tăng. Vì

r

và

b

luôn cùng dấu, ta chọn nghiệm dương và kết luận

r = 0{,}6

cho chi nhánh thứ nhất.

3Bước 3: Sang chi nhánh thứ hai, đề cho sẵn

r = 0{,}66

nên phải bình phương trước rồi mới lấy phần bù:

r^2 = (0{,}66)^2 = 0{,}4356

. Tỉ lệ biến thiên không được giải thích là

1 - r^2 = 1 - 0{,}4356 = 0{,}5644

, tức khoảng

56\%

. Đáp án

0{,}34

(lấy

1 - r

) là bẫy phổ biến nhất ở dạng câu hỏi này, vì nó quên mất bước bình phương.

4Bước 4: Cuối cùng, hệ số tương quan chỉ mô tả xu hướng đồng biến của hai biến trong dữ liệu quan sát được, chứ không xác lập quan hệ nhân quả. Dữ liệu ở đây là dữ liệu quan sát chứ không phải thí nghiệm có phân nhóm ngẫu nhiên, nên hoàn toàn có thể tồn tại biến gây nhiễu (confounding variable) — chẳng hạn mùa lễ hội vừa khiến nhà hàng chi quảng cáo nhiều hơn, vừa tự nó kéo khách đến đông hơn. Vì vậy kết luận của người quản lý là không chính đáng.

Chi nhánh thứ nhất có $r = 0{,}6$ (lấy dấu dương vì hệ số góc $3{,}8$ dương). Ở chi nhánh thứ hai, khoảng $56\%$ biến thiên của doanh thu tháng không được giải thích bởi liên hệ tuyến tính với chi phí quảng cáo. Dù cả hai tương quan đều dương, dữ liệu quan sát này không cho phép khẳng định tăng chi quảng cáo sẽ làm doanh thu tăng.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.