Đang tải bài học…

AP Statistics

biểu đồ phân tán

scatterplot

Còn gọi: scatter plot · biểu đồ tán xạ · đồ thị phân tán

Biểu đồ phân tán là đồ thị biểu diễn mỗi quan sát thành một điểm trên mặt phẳng, trục ngang là biến độc lập, trục dọc là biến phụ thuộc.

Biểu đồ phân tán (scatterplot) biểu diễn mỗi quan sát trong tập dữ liệu dưới dạng một điểm có tọa độ $(x_i, y_i)$ trên mặt phẳng Descartes, trong đó $x_i$ là giá trị của biến độc lập và $y_i$ là giá trị của biến phụ thuộc tương ứng với quan sát thứ $i$ . Nhờ cách biểu diễn này, người đọc có thể nhìn thấy toàn bộ mối quan hệ giữa hai biến cùng lúc thay vì chỉ đọc từng cặp số riêng lẻ. Do đó, biểu đồ phân tán trở thành công cụ trực quan đầu tiên để khảo sát xem hai biến định lượng có liên hệ với nhau hay không trước khi áp dụng các phương pháp định lượng phức tạp hơn.

Khi quan sát biểu đồ, người phân tích cần mô tả bốn đặc điểm chính: hướng, dạng, độ mạnh và các điểm bất thường. Hướng được xác định bằng việc các điểm có xu hướng đi lên từ trái sang phải (liên hệ dương) hay đi xuống (liên hệ âm); dạng cho biết mối quan hệ có tuyến tính hay cong; độ mạnh phản ánh mức độ bám chặt của các điểm vào một đường tưởng tượng; và các giá trị ngoại lai (outlier) là những điểm nằm tách biệt khỏi đám mây điểm chung. Vì vậy, việc mô tả đầy đủ bốn yếu tố này giúp người đọc hình dung được bản chất của mối quan hệ trước khi tính toán bất kỳ hệ số nào.

Tuy nhiên, biểu đồ phân tán chỉ dừng lại ở việc cho thấy sự liên hệ giữa hai biến chứ không chứng minh được quan hệ nhân quả. Để định lượng mức độ và hướng của liên hệ tuyến tính, người ta thường tính hệ số tương quan $r$ và vẽ đường hồi quy bình phương tối thiểu lên cùng biểu đồ. Nhờ đó, biểu đồ phân tán trở thành nền tảng cho phân tích hồi quy, cho phép kiểm tra xem mô hình tuyến tính có phù hợp với dữ liệu hay không qua việc quan sát phần dư (residual).

Ký hiệu

(x_i, y_i)

Trực giác: Hãy tưởng tượng bạn gieo một nắm hạt đậu lên bàn: nếu chúng rơi thành một dải dài nghiêng lên thì hai biến có liên hệ dương, nếu tạo thành đám mây tròn vo thì chúng hầu như không liên quan.

Khái niệm này sinh ra từ đâu

thế kỷ 17 (hệ tọa độ) — 1886 (Galton phổ biến)René DescartesFrancis GaltonEdward Tufte

Biểu đồ phân tán lớn lên từ hệ tọa độ vuông góc mà René Descartes xây dựng ở thế kỷ 17, nhưng phải đến khi Francis Galton dùng nó vào những năm 1880 để nhìn quan hệ giữa hai đại lượng thì công cụ này mới thành đồ thị chủ lực của khoa học. Không ai được ghi công là người phát minh duy nhất.

Thử nghiệm tương tác

Kéo một chấm ra xa khỏi đám — nhìn r tụt xuống trong khi đường vẫn dốc như cũ

Hay hiểu sai

Trục hoành luôn dành cho biến giải thích, không phải cho biến được nhắc tên trước.

"Mạnh" nói về độ bám sát mẫu hình, không phải về độ dốc.

Đám mây điểm không có xu hướng là không có liên hệ, đừng gọi là "liên hệ dương yếu".

Biểu đồ phân tán không chứng minh được quan hệ nhân quả.

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/2

Tại một sân bay lớn, người ta ghi lại dữ liệu của các chuyến bay đến trong một tháng: số kiện hành lý được dỡ khỏi máy bay và thời gian (phút) cần để chuyển toàn bộ số hành lý đó tới khu vực nhận hành lý. Năm chuyến bay dưới đây là một mẫu rút ra từ tập dữ liệu ấy: số kiện hành lý lần lượt là 20, 30, 40, 50, 60 và thời gian tương ứng là 10, 13, 17, 20, 25 phút.

aTrong biểu đồ phân tán của hai biến này, biến nào là biến giải thích và nó được vẽ trên trục nào? Giải thích.
bTính hệ số tương quan của năm chuyến bay trên và mô tả biểu đồ phân tán theo bốn phương diện quen thuộc.
cToàn bộ dữ liệu tháng cho thấy một liên hệ tuyến tính dương mạnh. Hãy giải thích từ "mạnh" (strong) có nghĩa gì trong ngữ cảnh này.

Bạn nắm chắc chưa?

Quiz câu thật từ ngân hàng đề

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.

Tạo tài khoản miễn phí

Học tiếp từ đây

Bài học chứa thuật ngữ nàyPhân tích hồi quy · bài “Đồ thị quan hệ hai biến định lượng (scatterplot)” — khoá AP Statistics

Cần trướcdữ liệu hai biến biến giải thích

Hay nhầm với

Thuật ngữKhác nhau ở đâuHay nhầm khi

biểu đồ phần dưresidual plot

Khác nhau ở đâuBiểu đồ phân tán vẽ giá trị thực của hai biến, còn biểu đồ phần dư vẽ phần dư so với biến giải thích để kiểm tra sự phù hợp của mô hình

Hay nhầm khiđề hỏi "sau khi khớp đường hồi quy, hãy kiểm tra điều kiện" — lúc đó cần biểu đồ phần dư, không phải biểu đồ phân tán gốc

Nguồn tham khảo

[1]Barron_AP_Stat_2026. tr. 154, 194, 204.

Thế kỷ 17, Descartes dựng hệ tọa độ (Cartesian coordinate system) với hai trục vuông góc để nối hình học với đại số; ông khó mà hình dung rằng mai sau người ta lấy nó chấm quan hệ giữa những đại lượng có thật. Các đồ thị đường và cột thời William Playfair chủ yếu phục vụ chuyện giá lúa mì hay cán cân thương mại theo thời gian, nên chưa cần đến cách vẽ này. Nhu cầu thực sự đến từ phòng thí nghiệm: nhà khoa học muốn thấy hai phép đo trên cùng một cá thể có đi cùng nhau hay không. Năm 1886, Galton chấm dữ liệu theo cách ấy và từ hình ảnh đám điểm ông lần ra tương quan (correlation) rồi hồi quy (regression) — nền móng của thống kê nhiều biến hiện đại. Từ đó biểu đồ phân tán chiếm lĩnh các tạp chí khoa học, tới mức Edward Tufte từng ước lượng hơn 70% đồ thị trong ấn phẩm khoa học thuộc loại này.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi ban đầu không phải "scatterplot" mà là "scatter diagram" — sơ đồ của những điểm nằm rải rác, bởi điều đập vào mắt trước tiên chính là đám chấm tản mát chứ không phải một đường liền mạch. Cách gọi này đi vào ngôn ngữ thống kê trong khoảng từ 1906 đến 1920, và mãi sau đó chữ "plot" mới xuất hiện thay cho "diagram". Một sách giáo khoa năm 1938 còn viết rằng người ta chấm dữ liệu lên sơ đồ phân tán "để nhìn thấy mối quan hệ", và chính ý ấy — dùng hình để đọc quan hệ giữa hai biến — được chính thức hóa trong tài liệu của Kurtz và Edgerton năm 1939. Tiếng Việt dịch sát nghĩa gốc: "phân tán" giữ nguyên hình ảnh đám điểm rời, còn tên tiếng Anh thì ghép thêm động tác chấm điểm lên mặt phẳng.

Kéo một chấm ra xa khỏi đám — nhìn r tụt xuống trong khi đường vẫn dốc như cũ

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — mở khoá bằng tài khoản 0đ.

Tạo tài khoản miễn phí

Mẹo phòng thi

Mô tả biểu đồ phân tán phải đủ bốn ý và có bối cảnh, thiếu một ý là mất điểm.

Khi hỏi biểu đồ có ủng hộ niềm tin hay không, phải so hướng liên hệ, đừng mô tả suông.

Kiểm tra cả hai biến có phải biến định lượng hay không trước khi chọn biểu đồ phân tán.

Tần suất trong đề AP StatisticsÍt gặp

Bước 1 — Xác định vai trò của hai biến (ý a): Câu hỏi đặt ra là số kiện hành lý có giúp dự đoán thời gian chuyển hành lý hay không, chứ không phải chiều ngược lại. Do đó số kiện hành lý đóng vai trò biến giải thích (explanatory variable) và được vẽ trên trục hoành, còn thời gian chuyển hành lý là biến phản hồi (response variable) nằm trên trục tung. Quy ước này không phải là hình thức: cả đường hồi quy lẫn phần dư về sau đều được tính theo chiều "dùng

x

dự đoán

y

", nên đảo trục là đảo luôn ý nghĩa của mô hình.

2Bước 2 — Tính các độ lệch so với trung bình (ý b): Trước hết

\bar x=\dfrac{20+30+40+50+60}{5}=40

và

\bar y=\dfrac{10+13+17+20+25}{5}=17

. Lấy từng giá trị trừ đi trung bình tương ứng, ta được các độ lệch

x_i-\bar x

là

-20,\,-10,\,0,\,10,\,20

và các độ lệch

y_i-\bar y

là

-7,\,-4,\,0,\,3,\,8

. Điều đáng chú ý là hai cột độ lệch cùng dấu ở mọi điểm, dấu hiệu sớm cho thấy liên hệ có hướng dương.

3Bước 3 — Thay vào công thức hệ số tương quan (ý b): Ba tổng cần thiết là

\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)=140+40+0+30+160=370

\sum(x_i-\bar x)^2=400+100+0+100+400=1000

và

\sum(y_i-\bar y)^2=49+16+0+9+64=138

. Thay vào

r=\frac{\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum (x_i-\bar x)^2\;\sum (y_i-\bar y)^2}}=\frac{370}{\sqrt{1000\cdot 138}}=\frac{370}{371.48}\approx 0.996.

Công thức này đo mức độ mà các điểm bám sát một đường thẳng, với giá trị càng gần

1

thì càng bám sát; ở đây

r\approx 0.996

nên năm điểm gần như nằm trọn trên một đường thẳng đi lên.

4Bước 4 — Mô tả biểu đồ đủ bốn phương diện (ý b): Một mô tả đạt điểm phải nêu hướng, dạng, độ mạnh và các điểm bất thường, tất cả đều đặt trong ngữ cảnh. Ở đây liên hệ có hướng dương vì chuyến bay càng nhiều hành lý thì thời gian chuyển hành lý càng dài; dạng tuyến tính vì các điểm xếp quanh một đường thẳng chứ không cong; độ mạnh rất cao vì

r\approx 0.996

cho thấy các điểm sát đường thẳng đó. Cuối cùng, không có chuyến bay nào tách hẳn khỏi khối điểm chung, nghĩa là mẫu này không có giá trị ngoại lai (outlier).

5Bước 5 — Diễn giải đúng chữ "mạnh" (ý c): Nói liên hệ mạnh tức là các điểm trong biểu đồ nằm rất gần một đường thẳng, nhờ đó biết số kiện hành lý của một chuyến bay thì ta dự đoán được khá chính xác thời gian chuyển hành lý của chuyến đó. Có hai cách hiểu sai rất hay bị gài trong đề: "mạnh" không có nghĩa là đường thẳng dốc, vì độ dốc đo tốc độ thay đổi chứ không đo độ bám; và "mạnh" cũng không cho phép kết luận số hành lý gây ra thời gian chờ theo nghĩa nhân quả (causation), bởi đây là dữ liệu quan sát chứ không phải thí nghiệm.

Số kiện hành lý là biến giải thích và nằm trên trục hoành, thời gian chuyển hành lý là biến phản hồi và nằm trên trục tung. Với năm chuyến bay đã cho, $r\approx 0.996$ , nên biểu đồ phân tán cho thấy liên hệ tuyến tính, hướng dương và rất mạnh, không có chuyến bay nào bất thường. Từ "mạnh" ở đây nghĩa là các điểm bám rất sát một đường thẳng, nhờ đó thời gian chuyển hành lý được dự đoán khá chính xác từ số kiện hành lý — chứ không có nghĩa là mỗi kiện hành lý làm thời gian tăng nhiều, cũng không có nghĩa số hành lý là nguyên nhân gây ra thời gian chờ.

2Ví dụ 2/2

Một nghiên cứu y tế công cộng ghi lại, với mỗi bang, tỉ lệ người trưởng thành mắc hen suyễn và tỉ lệ người trưởng thành ít vận động thể chất. Nhà nghiên cứu muốn dùng tỉ lệ hen suyễn để dự đoán tỉ lệ ít vận động. Tám bang trong mẫu có số liệu (tỉ lệ hen suyễn %; tỉ lệ ít vận động %) như sau: (8,0; 21), (8,5; 23), (9,0; 24), (9,2; 38), (9,5; 26), (10,0; 27), (10,5; 29), (11,0; 30).

aBiến nào là biến giải thích của biểu đồ phân tán?
bMô tả biểu đồ phân tán mà tám cặp số liệu này tạo ra.
cNhà nghiên cứu kết luận rằng giảm tỉ lệ hen suyễn sẽ làm người dân vận động nhiều hơn. Nhận xét về kết luận này.

1Bước 1 — Đọc kỹ chiều dự đoán (ý a): Đề nói rõ nhà nghiên cứu dùng tỉ lệ hen suyễn để dự đoán tỉ lệ ít vận động, nên tỉ lệ hen suyễn là biến giải thích và đặt trên trục hoành. Tỉ lệ ít vận động là biến phản hồi và đặt trên trục tung. Cần nhớ rằng vai trò của hai biến do câu hỏi nghiên cứu quyết định chứ không do bản thân số liệu, vì cùng một cặp biến hoàn toàn có thể đổi vai nếu người ta hỏi ngược lại.

2Bước 2 — Nhìn xu thế của bảy điểm còn lại (ý b): Bỏ tạm bang có cặp (9,2; 38) sang một bên, bảy điểm còn lại đi lên đều đặn: khi tỉ lệ hen suyễn tăng từ 8,0% lên 11,0%, tỉ lệ ít vận động tăng từ 21% lên 30%. Trung bình mỗi khi tỉ lệ hen suyễn tăng 1 điểm phần trăm thì tỉ lệ ít vận động tăng khoảng

9/3=3

điểm phần trăm, và mức tăng này khá ổn định qua các điểm. Vì vậy bảy điểm ấy tạo thành một dải hẹp, thẳng và dốc lên.

3Bước 3 — Nhận diện điểm bất thường (ý b): Bang có cặp (9,2; 38) nằm hẳn phía trên dải điểm chung: tỉ lệ hen suyễn của bang này chỉ ở mức trung bình nhưng tỉ lệ ít vận động lại cao vọt so với xu thế. Đây là một giá trị ngoại lai theo chiều dọc, tức là điểm có phần dư (residual) rất lớn nếu ta vẽ đường hồi quy. Tuy nhiên vì hoành độ của nó gần với hoành độ trung bình nên nó không có đòn bẩy (leverage) đáng kể; hệ quả là nó kéo cả đường thẳng lên một chút và làm tương quan yếu đi, nhưng gần như không đổi độ dốc.

4Bước 4 — Viết câu mô tả hoàn chỉnh (ý b): Gộp lại theo đúng bốn phương diện mà giám khảo tìm: hướng dương, dạng tuyến tính, độ mạnh từ khá mạnh đến mạnh nếu không kể bang bất thường, và có một bang tách khỏi mẫu chung. Câu mô tả nên viết kèm tên biến chứ đừng nói trống không, chẳng hạn: các bang có tỉ lệ hen suyễn cao hơn có xu hướng có tỉ lệ ít vận động cao hơn, quan hệ gần như tuyến tính, ngoại trừ một bang có tỉ lệ hen suyễn trung bình nhưng tỉ lệ ít vận động cao bất thường.

5Bước 5 — Phản biện kết luận nhân quả (ý c): Kết luận của nhà nghiên cứu vượt quá điều dữ liệu cho phép, vì đây là nghiên cứu quan sát (observational study) trên các bang chứ không phải thí nghiệm có phân nhóm ngẫu nhiên. Hai tỉ lệ cùng cao có thể do một biến gây nhiễu (confounding variable) chung như mức thu nhập, tỉ lệ béo phì hay chất lượng không khí của bang, chứ không nhất thiết cái này sinh ra cái kia. Ngoài ra, mỗi điểm ở đây là một bang chứ không phải một người, nên suy diễn về hành vi của từng cá nhân từ số liệu gộp theo bang lại càng thiếu cơ sở.

Biến giải thích là tỉ lệ người trưởng thành mắc hen suyễn, vẽ trên trục hoành; tỉ lệ ít vận động là biến phản hồi trên trục tung. Biểu đồ phân tán cho thấy liên hệ tuyến tính, hướng dương và tương đối mạnh giữa hai tỉ lệ — bang nào có tỉ lệ hen suyễn cao hơn thường có tỉ lệ ít vận động cao hơn — nhưng có một bang với tỉ lệ hen suyễn 9,2% lại có tỉ lệ ít vận động 38%, nằm hẳn trên xu thế chung. Dù liên hệ rõ như vậy, không thể kết luận giảm hen suyễn sẽ làm dân vận động nhiều hơn, bởi dữ liệu chỉ là quan sát và hoàn toàn có thể tồn tại biến gây nhiễu tác động lên cả hai tỉ lệ.

Mục tiêu và lộ trình unit xem miễn phí — làm bài tập và lưu tiến độ cần tài khoản 0đ.