AP Statistics

biểu đồ phần dư

residual plot

Còn gọi: đồ thị phần dư

Biểu đồ phần dư là đồ thị phân tán vẽ phần dư theo giá trị dự đoán hoặc theo biến x, dùng để đánh giá mức độ phù hợp của mô hình hồi quy tuyến tính.

Trong phân tích hồi quy (regression), chỉ dựa vào hệ số tương quan (correlation coefficient) hay đồ thị phân tán chưa đủ để kết luận mô hình tuyến tính có mô tả đúng quan hệ giữa hai biến hay không. Biểu đồ phần dư ra đời nhằm khắc phục hạn chế đó, vì nó tách phần "sai số" ra khỏi đường hồi quy và trình bày riêng. Nhờ vậy, ta dễ dàng phát hiện những quy luật ẩn mà mắt thường khó nhận ra trên đồ thị phân tán gốc.

Cụ thể, với mỗi điểm dữ liệu $(x_i, y_i)$ , phần dư được tính bằng $e_i = y_i - \hat{y}_i$ , trong đó $\hat{y}_i$ là giá trị dự đoán từ phương trình hồi quy. Biểu đồ phần dư đặt $\hat{y}_i$ (hoặc $x_i$ ) trên trục hoành và $e_i$ trên trục tung, vẽ mỗi quan sát thành một chấm. Vì trung bình của các phần dư luôn bằng không đối với đường hồi quy bình phương tối thiểu (least-squares regression line), trục hoành đóng vai trò đường chuẩn: phần dư dương nằm trên, phần dư âm nằm dưới. Bất kỳ cấu trúc nào trong dữ liệu mà đường thẳng chưa "bắt" được sẽ hiện ra rõ ràng quanh đường chuẩn này.

Cách đọc biểu đồ phần dư vì vậy khá trực tiếp. Nếu các chấm phân tán ngẫu nhiên quanh trục hoành mà không theo quy luật rõ rệt, mô hình tuyến tính là lựa chọn hợp lý. Ngược lại, một hình cong — chẳng hạn dạng parabol úp — báo hiệu quan hệ thực chất là phi tuyến và một mô hình khác sẽ phù hợp hơn. Một điểm có phần dư lớn bất thường so với các điểm còn lại là giá trị ngoại lai, tức là nơi đường hồi quy (regression line) dự đoán sai lệch đáng kể. Vì vậy, biểu đồ phần dư là công cụ không thể thiếu để kiểm tra giả định tuyến tính trước khi dùng phương trình hồi quy để dự đoán.

Trực giác: Hãy tưởng tượng bạn ném phi tiêu vào bia: biểu đồ phần dư giống như việc bạn chụp lại vị trí từng mũi phi tiêu so với hồng tâm rồi trải phẳng ra — nếu chúng rải đều quanh tâm, bạn biết mình ném khá chuẩn; nếu chúng xếp thành hình vòng cung lệch một bên, bạn hiểu có gì đó sai trong cách ngắm.

Công thức

e_i = \htmlClass{fp-1}{y_i - \htmlClass{fp-0}{\hat{y}_i}}

Dùng sau khi đã tìm được đường hồi quy tuyến tính: tính $e_i$ cho từng điểm rồi vẽ cặp $(x_i,\, e_i)$ lên trục tọa độ. Nếu phần dư phân bố ngẫu nhiên quanh đường 0 thì mô hình tuyến tính phù hợp; nếu tạo thành hình cong hoặc xu hướng rõ rệt thì cần chuyển sang mô hình phi tuyến.

Trong đó

e_i

phần dư tại điểm dữ liệu thứ

i

, tức chênh lệch giữa giá trị quan sát và giá trị dự đoán

y_i

giá trị thực tế quan sát được của biến phụ thuộc tại điểm dữ liệu thứ

i

\hat{y}_i

giá trị dự đoán từ đường hồi quy tuyến tính tại

x_i

x_i

giá trị của biến độc lập tại điểm dữ liệu thứ

i

Khái niệm này sinh ra từ đâu

Carl Friedrich Gauss

Ý tưởng phần dư gắn liền với Carl Friedrich Gauss, người đã độc lập xây dựng phương pháp bình phương nhỏ nhất và nối phần dư với phân phối chuẩn; từ nền tảng đó, việc vẽ phần dư thành biểu đồ trở thành cách kiểm tra xem một mô hình đường thẳng có thật sự phù hợp với dữ liệu hay không.

Khi người ta muốn tóm tắt một đám mây điểm bằng một đường thẳng, câu hỏi lập tức nảy sinh: đường nào là đường tốt nhất, và làm sao biết nó đủ tốt? Gauss trả lời phần đầu bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất (least squares), tức chọn đường làm nhỏ nhất tổng bình phương các khoảng cách theo chiều dọc từ điểm tới đường. Chính những khoảng cách còn sót lại đó, được ông đặt trong khuôn khổ xác suất gắn với phân phối chuẩn (normal distribution), về sau trở thành đối tượng để vẽ riêng ra. Nhờ vậy, thay vì chỉ nhìn đường thẳng, người phân tích nhìn vào phần dữ liệu mà đường thẳng chưa giải thích được.

Thử nghiệm tương tác

Kéo đám điểm cho cong lại — nhìn biểu đồ phần dư uốn thành chữ U

Hay hiểu sai

Không thấy mẫu hình nào mới là dấu hiệu tốt, chứ không phải ngược lại.

Phân tán ngẫu nhiên trong biểu đồ phần dư không có nghĩa là hai biến không liên hệ.

Hệ số tương quan lớn không thay thế được bằng chứng đọc từ biểu đồ phần dư.

Một điểm nằm lẻ loi không phải là một mẫu hình.

Mẹo phòng thi

Ví dụ có lời giải

1Ví dụ 1/1

Một kỹ sư cho rằng màng lọc càng dày thì lượng bụi mịn lọt qua càng ít. Ông thử 6 màng lọc có độ dày

x

(mm) khác nhau và đo lượng bụi lọt qua

y

(µg/m³), thu được:

x = 1, 2, 3, 4, 5, 6

và

y = 11{,}5;\ 8{,}8;\ 6{,}7;\ 5{,}2;\ 4{,}3;\ 4{,}0

. Đường hồi quy bình phương tối thiểu (least-squares regression line) là

\hat{y} = 12{,}0 - 1{,}5x

aTính phần dư (residual) tại $x = 1$ và tại $x = 4$ , rồi nêu ý nghĩa của phần dư tại $x = 4$ trong ngữ cảnh.
bLập đủ 6 phần dư và mô tả dạng của biểu đồ phần dư. Dựa vào đó, mô hình tuyến tính có phù hợp với dữ liệu này không?
cNếu mô hình tuyến tính là phù hợp thì biểu đồ phần dư phải cho thấy điều gì?