AP Statistics

đường hồi quy bình phương tối thiểuleast-squares regression line

least-squares regression lineVietnamese: đường hồi quy bình phương tối thiểu

Còn gọi:Also called: đường hồi quy · LSRL · regression line · least-squares line

Đường hồi quy bình phương tối thiểu là đường thẳng có tổng bình phương các phần dư nhỏ nhất trong mọi đường vẽ qua đám mây điểm.The least-squares regression line is the line through a scatterplot that makes the sum of the squared residuals as small as possible.

Trực giác: Hãy tưởng tượng các chiếc đinh là các điểm dữ liệu (x, y) trên bàn; đường hồi quy bình phương tối thiểu là sợi dây sao cho tổng bình phương các khoảng cách thẳng đứng từ mỗi đinh lên dây là nhỏ nhất, chứ không phải tổng bình phương các khoảng cách vuông góc ngắn nhất.Intuition: Picture the data points $(x, y)$ as nails in a table. The least-squares line is the string positioned so that the sum of the squared vertical distances from the nails up or down to the string is smallest — not the sum of the squared shortest perpendicular distances.

Công thức chínhKey formula

\hat{y} = a + bx

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Đường hồi quy bình phương tối thiểu (least-squares regression line) là đường thẳng dự đoán $y$ từ $x$ bằng cách làm nhỏ nhất tổng bình phương các phần dư theo phương thẳng đứng. Hệ số góc bằng hệ số tương quan nhân với tỉ số độ lệch chuẩn của hai biến, nên cùng dấu với $r$ ; đường đi qua $(\bar{x},\,\bar{y})$ . Vì chỉ cực tiểu hóa sai số dọc, vai trò $x$ và $y$ không đối xứng.

The least-squares regression line predicts $y$ from $x$ by minimizing the sum of the squared vertical residuals. Its slope equals the correlation times the ratio of the two standard deviations, so the slope has the same sign as $r$ , and the line always passes through $(\bar{x},\,\bar{y})$ . Because only vertical errors are minimized, $x$ and $y$ play different roles and are not interchangeable.

Ký hiệuNotation

\hat{y} = a + bx

\hat{y} = a + bx

Công thức chi tiếtFormula details3 công thức3 formulas

\hat{y} = \htmlClass{fp-0}{a} + \htmlClass{fp-1}{b}x

\hat{y} = \htmlClass{fp-0}{a} + \htmlClass{fp-1}{b}x

Dùng để dự đoán $y$ từ $x$ bằng đường thẳng làm nhỏ nhất tổng bình phương phần dư.Predicts $y$ from $x$ using the line that minimizes the sum of the squared residuals.

Trong đóWhere

\hat{y}

giá trị dự đoán của biến phụ thuộcpredicted value of the response variable

a

hệ số chặn — giá trị của \hat{y} khi x = 0y-intercept, the value of \hat{y} when x = 0

b

hệ số góc — lượng thay đổi của \hat{y} khi x tăng thêm 1slope, the change in \hat{y} for each one-unit increase in x

x

giá trị của biến độc lậpvalue of the explanatory variable

b = \htmlClass{fp-0}{r} \cdot \htmlClass{fp-1}{\frac{s_y}{s_x}}

b = \htmlClass{fp-0}{r} \cdot \htmlClass{fp-1}{\frac{s_y}{s_x}}

Dùng để tính hệ số góc khi biết hệ số tương quan và độ lệch chuẩn của hai biến.Computes the slope from the correlation and the standard deviations of the two variables.

Trong đóWhere

b

hệ số góc của đường hồi quyslope of the regression line

r

hệ số tương quan tuyến tính giữa x và ylinear correlation coefficient between x and y

s_y

độ lệch chuẩn của biến phụ thuộc ystandard deviation of the response variable y

s_x

độ lệch chuẩn của biến độc lập xstandard deviation of the explanatory variable x

a = \bar{y} - b\bar{x}

Dùng để tính hệ số chặn sau khi có hệ số góc, đồng thời bảo đảm đường đi qua điểm trung bình.Computes the intercept once the slope is known, which also forces the line through the point of means.

Trong đóWhere

a

hệ số chặn của đường hồi quyy-intercept of the regression line

\bar{y}

giá trị trung bình của biến phụ thuộc ymean of the response variable y

b

hệ số góc đã tính ở công thức trênslope calculated in the formula above

\bar{x}

giá trị trung bình của biến độc lập xmean of the explanatory variable x

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Hệ số góc mô tả thay đổi dự đoán, không phải thay đổi chắc chắn.

Với chênh lệch nhiều đơn vị của $x$ , nhân hệ số góc với độ chênh $x$ ; nêu rõ chiều thay đổi và đơn vị.

Đường hồi quy đi qua $(\bar{x},\bar{y})$ , nhưng có thể không qua điểm dữ liệu nào.

Thay cặp trung bình vào phương trình có thể tìm một trung bình chưa biết mà không cần toàn bộ số liệu gốc.

Bình phương tối thiểu dùng phần dư dọc, không dùng khoảng cách vuông góc.

Tiêu chuẩn là tổng bình phương phần dư, không phải tổng phần dư; vì đo dọc nên hai vai trò biến không đối xứng.

The slope describes a predicted change, not a guaranteed one.

For a difference of several units in $x$ , multiply the slope by that difference, and state both the direction of the change and the units.

The line passes through $(\bar{x},\bar{y})$ , but it need not pass through any data point.

Substituting the pair of means into the equation can recover an unknown mean without the original data.

Least squares uses vertical residuals, not perpendicular distances.

The criterion is the sum of squared residuals, not the sum of the residuals, and measuring vertically makes the two variables' roles asymmetric.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Khi diễn giải hệ số góc, phải gọi đúng tên biến.

Nêu độ lớn, đơn vị của $y$ , mức tăng một đơn vị của $x$ và từ “dự đoán”.

Kiểm tra phạm vi của $x$ trước khi dự đoán.

Thay giá trị ngoài miền dữ liệu là ngoại suy; không kết luận từ dự đoán đó dù phép tính đúng.

Interpreting a slope requires naming the actual variables.

Give the size, the units of $y$ , the one-unit increase in $x$ , and the word "predicted."

Check the range of $x$ before predicting.

Plugging in a value outside the observed data is extrapolation, so draw no conclusion from that prediction even if the arithmetic is correct.

Tần suất trong đề AP StatisticsHow often it shows up on AP StatisticsHay gặpCommon

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

đầu thế kỷ 19Adrien-Marie LegendreCarl Friedrich GaussRobert AdrainPierre-Simon LaplaceFrancis GaltonKarl Pearson

Đầu thế kỷ 19, Legendre và Gauss độc lập tìm ra phương pháp nhằm chọn giá trị tốt nhất từ nhiều quan sát sai lệch.

In the early 19th century, Legendre and Gauss independently developed the method as a way to choose the best value from many imperfect observations.

Vì sao mang đúng cái tên này? Cái tên nghe vô lý nhất nằm ở chữ "hồi quy", vì bản thân phép tính chẳng "quay về" đâu cả. Nửa sau thế kỷ 19, Galton nghiên cứu chiều cao của cha mẹ và con cái rồi nhận thấy con của những người rất cao lại có xu hướng thấp hơn cha mẹ, tức là kéo trở lại phía giá trị trung bình; ông gọi hiện tượng đó là hồi quy về trung bình (regression to the mean). Điều thú vị là Galton không hề dùng phương pháp bình phương tối thiểu — ông chỉ ước lượng đường thẳng bằng mắt. Người nối hai mạch lại là Pearson: khi vẽ chiều cao cha mẹ theo trục hoành và chiều cao con theo trục tung, ông thấy đường khớp tốt nhất theo tiêu chuẩn bình phương tối thiểu có hệ số góc nhỏ hơn 1, đúng là dạng toán học của hiện tượng Galton mô tả. Do đó ông gọi luôn đường ấy là "đường hồi quy", và đến khoảng năm 1901 thì "regression line" đã được dùng để chỉ ước lượng bình phương tối thiểu. Vì vậy, tên gọi ngày nay là sự chồng lên nhau của hai câu chuyện: phần "bình phương tối thiểu" đến từ tiêu chuẩn tính toán, còn phần "hồi quy" đến từ một quan sát về di truyền chẳng liên quan gì tới tiêu chuẩn ấy.

Nguồn đối chiếuSources

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Kéo một con bò ra khỏi đám — nhìn đường bình phương tối thiểu ngả theo

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termHồi quy bình phương tối thiểuPhân tích hồi quy · khoácourse AP Statistics

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDự đoán với linear regression model (mô hình hồi quy tuyến tính)Phân tích hồi quy · khoácourse AP Statistics

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termResidual (phần dư) trong hồi quyPhân tích hồi quy · khoácourse AP Statistics

Cần trướcLearn firsthệ số tương quancorrelation coefficient biến giải thíchexplanatory variable

Dẫn tớiLeads tongoại suyextrapolation

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

đường hồi quyregression line

Khác nhau ở đâuHow they differĐường hồi quy là khái niệm tổng quát chỉ bất kỳ đường khớp nào, còn đường hồi quy bình phương tối thiểu là đường duy nhất cực tiểu hóa tổng bình phương phần dư

Hay nhầm khiMixed up whenđề hỏi "the least-squares line" mà thí sinh nhầm với đường nối hai điểm bất kỳ hoặc đường ước tính bằng mắt

quan sát có ảnh hưởnginfluential observation

Khác nhau ở đâuHow they differĐiểm có đòn bẩy cao nằm xa theo trục biến giải thích, còn quan sát có ảnh hưởng là điểm mà khi loại bỏ thì hệ số góc của đường hồi quy bình phương tối thiểu thay đổi đáng kể

Hay nhầm khiMixed up whenđề cho một điểm nằm xa góc biểu đồ và hỏi nó tác động đến đường hồi quy như thế nào

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Học tiếp từ đâyKeep learning

Hay nhầm vớiOften confused with

Cùng chủ đềSame topic